用好教材例習題，編擬數學好題目

☉江蘇省如皋初級中學　薛　俊

用好教材例習題，編擬數學好題目

☉江蘇省如皋初級中學薛俊

隨著《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課標（2011年版）”）的頒布，世紀之初推行的“課改”經過反思后又走上了“再出發”階段，在教學研究的取向上呈現出很多“回歸”的現象，比如，近期《中學數學》初中版多篇文章關注的教材研究、命題研究也可回歸教材等.筆者以為，這種“回歸”并不是簡單意義上的回歸，應當屬于“在這里，到那里，回到這里”（馬林諾夫斯基語，詳見文1）.受到文2啟發，本文講述這段時間針對教材例習題而開發“真正的數學題”（章建躍語，見文3）的編題實踐與反思，與同行們研討.

一、編題案例及編擬解讀

限于篇幅，下面僅針對人民教育出版社編著義務教育教科書數學七年級上冊的四章內容，各提供一個編題案例及編擬解讀.

例1（來源：七上教材第30頁，例2）用正負數表示氣溫的變化量，上升為正，下降為負.登山隊攀登一座山峰，每登高1km氣溫的變化量為-6℃，攀登3km后，氣溫有什么變化？

變式改編：

（1）若山腳下此時20℃，試問登山隊攀登到3km后，氣溫是多少呢？

（2）受（1）的啟發，請你也圍繞教材例題設計一個問題，并解答.

編擬解讀：這是新授課教學時對例2的當堂變式練習，教學預設時就設計好.第（1）問是想讓學生從不同角度理解問題情境、訓練有理數運算；而第（2）問是想讓學生在第（1）問的啟發下，自主設計問題，培養創造性思維.如，在課堂教學中，有學生設計出如下的問題：若登山隊從山腳下攀登3km后的溫度為2℃，求此時山腳下的溫度是多少呢？

例2（來源：七上教材第58頁，例4）

【閱讀理解】學生數學寫作片斷

對教材例題運算的簡化

七年級蘇夢睿

學習教材第58頁例題時，我的一次簡化運算得到了老師的表揚，請看題目：

圖1

例題如圖1，用式子表示圓環的面積.當R＝15cm，r＝10cm時，求圓環的面積（π取3.14）.

解：外圓的面積減去內圓的面積就是圓環的面積，所以圓環的面積是πR2-πr2.

當R＝15cm，r＝10cm時，圓環的面積（單位：cm2）是πR2-πr2＝3.14×152-3.14×102＝392.5.

這個圓環的面積是392.5cm2.

我感覺課本上的運算太繁，想起小學里做類似問題時，我是先把π提出來，先算兩個半徑的……

老師表揚了我追求運算的簡化，又有一定的質疑能力.還說，教材之所以這樣計算，大概有兩個原因，一是這里允許使用計算器；二是下一節將學習……

我隱約感受到教材編寫者的良苦用心.

【問題解決】

（1）請用上文小蘇同學提及的“方法”計算例題中的圓環面積；

（2）老師點評時提及“下一節將學習……”，請結合整章的學習，猜想老師大概說的是什么？

編擬解讀：小蘇同學用“數學寫作”反思了教材上一道例題的不同解法，并初步理解教材解法的意圖.在第二章“整式的加減”章末復習課的教學預設時，筆者將小蘇同學的“數學寫作”挖空、留白設計成上面這個“問題解決”.從教學情況來看，學生都能把第（1）問按添括號的方法簡化運算，但是第（2）問不少學生想不起來，還靠小蘇同學給出了解讀：老師當時說“下一節還將學習合并同類項、去括號、添括號等新知識.”

例3（來源：七上教材第79頁，例1（1））用一根長24cm的鐵絲圍成一個長方形.

（1）設圍成的長方形的長為acm，則寬為_______cm（用含a的代數式表示）.

（2）想一想圍成的長方形的面積可能為35cm2嗎？如果能，直接寫出該長方形的長與寬；如果不能，說明理由.

（3）如果恰能圍成一個正方形，則該正方形的面積是多少？（請列一元一次方程解問題）

編擬解讀：這是筆者在七年級上冊期末復習卷中編擬的一道解答題，第（1）問兼顧了第二章“整式的加減”列代數式的知識點；第（2）問考查學生的“數感”，直接寫出答案，如果深究下去，用方程的方法會走上一元二次方程的路子；第（3）問是在第（2）問的基礎上自然生長，追問圍成長方形面積最大值問題，這時學生有小學的經驗可能會直接知道答案，但這里要求學生列一元一次方程解答，學生由第（1）問可得a=12-a，得a=6，從而求出此時正方形的面積是36cm2.這也是想檢查學生用一元一次方程解應用問題的技能.

例4（來源：七上教材第140頁，第11題）如圖2～圖5，將一副三角尺按不同位置擺放：

圖2

圖3

圖4

圖5

（1）其中∠α與∠β一定相等的擺放方式有（）.

A.1種 B.2種 C.3種 D.4種

（2）你發現上述擺放方式中的∠α與∠β還有怎樣的數量關系？

編擬解讀：這是筆者在第四章“幾何圖形初步”的章末復習時編擬的一道習題.與教材上直接提問“哪種擺放方式中∠α與∠β互余、互補或相等”相比，上面的設計在第（1）問突出∠α與∠β相等關系的識別，再引導學生發現其余擺放方式中∠α與∠β的特殊數量關系.批閱學生解答發現，不少學生解答第（1）問時有漏解、多解的情況，相應地也影響了第（2）問的解答.

二、圍繞教材例習題編擬“好題”時的幾點思考

章建躍教授曾在文3中指出：“解題目的應聚焦于：加深理解和掌握雙基；學會思考、培養和發展思維能力；查漏補缺；培養良好的學習習慣；培養創造力等.其中應以發展推理能力為核心目標.而這些目標的實現，根本上還要依靠‘好題’.”并進一步指出：“‘好題’絕不是當前教輔資源中盛行的那種人為制造的‘題目’，而應該是‘真正的數學題’.”作為有著多年初中數學教學經歷的筆者來說，對章教授立足數學、基于教學，直面現實、敢說真話很是敬佩.下面圍繞上文“例1～例4”作出進一步的解讀和反思.

1.改編教材例習題需要深刻理解和精心篩選內容

關于“真正的數學題”，章教授在文3中認為：“這樣的題目應該滿足一些基本條件，例如，反映數學本質，與重要的數學概念和性質相關，不糾纏于細枝末節，體現基礎知識和聯系性，解題方法自然、多樣，具有發展性，表述形式簡潔、流暢且好懂等.”受此啟發，首先要認真讀懂教材例習題，這樣才能在開發和編擬試題時，找出那些反映數學本質、與重要數學概念和性質相關的例習題，并對這類問題進行重新設計、改編，把學生有限的精力都用在這些“好題”、“真正的數學題”的訓練上.拿上文中的“例1”來說，從變式練習、重新設計問題的角度讓學生訓練同一個背景，幫助學生追求“做一題·會一類·通一片”的效果；而“例4”對課本習題改變設問方式，訓練了學生對這類問題的理解深度，因為在不同擺放方式中“∠α與∠β的數量關系”，將會是學生未來幾何解題的基礎，根據解題教學經驗，不少八、九年級學生在幾何問題的解題思路、速度上的差異，往往就在這些基礎圖形及性質的快速識別上.

2.改編教材例習題需要跨年級的“上通下達”

我們都知道，教材不同于一般數學教輔資料，“教材的結構體系、內容順序是經過反復考量的，語言是字斟句酌的，例題是反復打磨的，習題是精挑細選的.”研讀人教版教材發現，上文展示的“例3”就是被教材在不同年級重點關注的問題背景，這種背景學生在小學就已接觸，除了上面提及的七年級上冊例題和習題（如第91頁第7題）反復訓練之外，在八年級分式、九年級一元二次方程與二次函數等章節中仍然有體現.我們在面對這種背景的問題教學時，要像對待核心概念的訓練那樣，不惜時、不惜力.當然，由于教材對這類“真正的數學題”并沒有貼上標簽，而且本著螺旋上升的原則，零散地分布在教材各分冊中，這就需要廣大教師發揮專業能力，敏于發現、勤于積累、精于鏈接，而不是在七年級教學時只考慮七年級“眼前利益”，忘記八、九年級這類問題的“長遠利益”.事實上，留心處“滿眼風景”，即教材中很多例題的設計、習題的布置（特別是拓廣探索）都富有生長空間、上通下達.

3.改編教材例習題勿忘學生生成性資源

《課標（2011年版）》對“生成性資源”進行了如下的描述：“生成性資源是在教學過程中動態生成的，如師生交互及生生交流過程中產生的新情境、新問題、新思路、新方法、新結果等.”并指出“合理地利用生成性資源有利于提高教學的有效性”.經常發現很多老師課后到辦公室繪聲繪色地講述剛剛課堂中的一次精彩生成、深度對話或者學生作業中一個優秀解法.可是，這些優秀的生成性資源又有多少被及時記錄甚至開發利用呢？其實，像上文“例2”這樣，截取學生數學寫作片斷并挖空、留白開發成數學習題就是一種可行的方式，學生感到這樣的問題背景貼近自己的學習生活，喜歡練習這類問題，認為除訓練數學知識外，還學會了怎樣架構數學寫作、記錄并分享自己的數學學習困惑與經驗.

1.成尚榮.在這里，到那里，回到這里［J］.基礎教育課程，2011（12）.

2.劉東升.“以課本為本”：誰解其中味［J］.中小學數學，2013（1-2）.

3.章建躍.發揮數學的內在力量，為學生謀取長期利益［J］.數學通報，2013（2）.

4.章建躍.中學數學課改的十個論題［J］.中學數學教學參考（上），2010（3-5）.