初中數學慢教育設計應遵循的“四原則”

☉江蘇省連云港市新浦中學　朱桂鳳

☉江蘇省連云港市教育科學研究所孫朝仁

·江蘇省連云港市孫朝仁名師工作室·

初中數學慢教育設計應遵循的“四原則”

☉江蘇省連云港市新浦中學朱桂鳳

☉江蘇省連云港市教育科學研究所孫朝仁

任何一種教育教學方式都有獨特的設計視角和關注的焦點，初中數學慢教育作為教育世界的本真方式也不例外.其設計除遵循共性的一般學科原則外，還應著力遵循能體現其個性的整體性、過程性、變式性以及體驗性等基本原則.

一、整體性原則

數學慢教育的最突出表征就是設計視角的整體性.這里的“整體性”不止于以單元為單位，將目標的設定和指導過程加以分段，在單元外更大的整體范圍內對具體一堂課的教學目標、內容、方法、策略以及教學組織形式進行具象設計，更在于讓課堂因問題設計的整體性而層次分明，因建構方法的整體性而渾然一體，因思維外擴的整體性而通體相關.這些科學構想比數學慢教育實施本身更重要，因為“凡事預則立，不預則廢”（《禮記》語）.

“一個專心的認真備課的教師，能夠拿出有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道門就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的知識領域.”從數學家波利亞的教育論斷里，我們至少能獲悉關于整體性設計原則的三個維度：一是體現整體性的問題構想；二是反映整體性的方法建構；三是回應整體性的認知遷移.

比如，在學習“一元二次方程”章頭課時（蘇科版九年級上），讓學生閱讀第80頁到第81頁，然后讓學生概括本節課要研究哪些內容，并提煉本節課理應實現的學習目標.提出該問題目的有兩個：一是讓學生了解一節課主要內容的整體性，即一元二次方程的概念及其一般形式；二是開課伊始就讓學生明白本節課要達到和能達到的學習目標，即理解一元二次方程的概念和在具體情境中探索一元二次方程概念的過程，發展學生的方程思想.讓學生歸結本節課的研究方法、還應該研究哪些內容以及怎樣研究.這能讓學生站在類比思想整體的平臺上發展方程建模意識，經歷整體性的元認知活動，終歸于一元二次方程概念的形成.為將課內思維延伸于課外，又呈現基于整體表達的差異論問題：以“一元二次方程”為話題，寫一篇數學短文.這給不同學生提供整理知識經驗、思想方法不同層面的契機，讓每個學習者都有話可說、有事可做，能讓零散的知識結構在整體思維的參與下轉化為個體的認知結構，從而發展學生的數學能力.

反觀案例分析，不難發現整體性原則是數學慢教育設計的關鍵.因為整體性閱讀意識，讓學生有整體把握新知的契機，使得待學內容主題聚焦，屏蔽快教育課堂的瑣碎傾向；因為整體性建構方法，讓學生在思路回流中領悟思想，使得經驗方法開放，屏蔽快教育課堂的封閉傾向；因為整體性的反思意識，讓學生在“數學地”表達中體驗思維的關聯，使得分析思維深刻，屏蔽快教育課堂的淺化傾向.基于整體性原則設計慢教育課堂，終歸于讓學生能整體把握裴光亞先生對“數學性”的數學表達，即通過樹木見到森林的哲學境界，這就是慢教育設計原則的整體性帶來的效益.

二、過程性原則

過程性原則是數學慢教育設計的核心原則.《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下稱為“課標”）在課程目標中指出，數學課程目標包括結果目標和過程目標.結果目標使用“了解”“理解”“掌握”“運用”等行為動詞表述，過程目標使用“經歷”“體驗”“探索”等行為動詞表述.如果說結果目標動詞本身就是一種思維過程性的結果，那么過程目標動詞本身則是一種思維過程的過程.其實，經歷是體驗的前提，探索是體驗的過程，而數學慢教育的本質就是過程性.因此這里的“過程性原則”包含三層意義：一是指問題設問形式開放，適合在思考的過程中經歷知識的發生、發展過程；二是問題解決過程開放，適合在由“條件→行動”的過程體驗中形成解決問題的產生式系統；三是問題解決方法開放，適合差異落實因“才”施教，讓不同層面的學生在探索的過程中都“做”有所獲、“研”有所得.

H.Wu在《美國數學學會》2011年第三期發文，闡述了“數學的基本原則”：每一個概念都是被精確定義的，且定義為邏輯推理提供了基礎；數學陳述是準確的，在任何時刻已知與未知都是明確的；每個論斷都能被邏輯推理支持；數學是連貫的，它是一個掛毯，里面所有的概念和技巧邏輯上交織成一個單件；數學是有目標導向的，標準課程中的每一個概念或技巧都是有目的的.對于“希望教好學生”的教師而言，必須意識到這些原則，方能釋放數學學科教育的正能量.若把這些原則用在數學慢教育課堂，則與過程性原則一脈相通.概念是一個概括化過程；找出已知、待知和未知是思維聯系的過程；邏輯推理是分析思維施加作用的過程；數學的連貫性是靠橫向數學生活化、縱向數學數學化的過程來表現的；數學目標導向是在過程中得以體認的.過程是數學慢教育的靈魂，唯有抓住過程性設計慢教育，方能讓數學慢教育以過程的方式釋放過程的力量.

比如：在學習“中點四邊形”時，基于“過程性原則”呈現的問題組是：（1）在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，四邊形EFGH是怎樣的四邊形？為什么？（2）畫出一個矩形和菱形的中點四邊形，你發現了什么？（3）經歷上述研究，你認為中點四邊形的形狀由原四邊形的什么要素決定？如何決定的？（4）一個四邊形具備怎樣的條件，才能保證它的中點四邊形是正方形？為什么？問題（1）是研究中點四邊形的基本問題，體現教材編者重視基本問題的設計，問題解決方式半開放，用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”或“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”來判定；問題（2）從“特殊”入手，為后續“一般”研究提供思維上的鋪墊，讓學生在直觀畫圖的過程中，感受矩形的中點四邊形是菱形，而菱形的中點四邊形是矩形；問題（3）有了問題（2）特殊思維奠基，在三角形中位線性質的幫助下，借助從特殊到一般的方法，終歸于由原四邊形的對角線的數量關系和位置關系確定其中點四邊形的形狀；問題（4）在前面3個問題研究結論的基礎上，推演出原四邊形的對角線垂直且相等的論斷并不困難.

縱觀上述案例，梯級問題組設問的形式均開放，為學生有過程的“做”提供廣闊的思維空間；就問題解決的過程而言：可以獨立完成，可以合作完成，還可以半獨立半合作完成，可以組內研究，也可以組際研究，可以生生交流，也可以師生交流，終歸于不同層面過程性思維的發展；就問題解決的方法而言：可以直觀的“畫+度量”，可以“猜想+驗證”，可以推理演繹，還可以借助媒體直觀演示等，終歸于過程性問題論斷.如果說“畫”的過程是慢教育的基本方式，那么說理的過程則是慢教育的主流形式，則概括歸結的過程是慢教育的集大成者.因此，過程性是數學慢教育設計的核心原則.

三、變式性原則

變式性原則是數學慢教育設計的主體性原則.“變式”教學是中國數學教育的優良傳統，是防止非本質屬性泛化的有效舉措.就這個層面而言，設計變式問題是課堂教育教學的重要環節和關鍵所在.由于數學慢教育“過程”的過程性，課時容量相對快教育偏少是可想而知的，因為要騰出更多空間讓學生進行必要的深度思考，造就了數量和質量不能兩全的認知現實的矛盾.而慢教育的本質就是追求高效，這就勢必要在變式上下功夫，以精煉的變式問題拉動豐富的課堂體驗，讓知識經驗、思想方法在變化的載體中漸次圖式化和結構化.這里的“變式”不在于一般課堂的形式化變式即大量的題海訓練，而在于變式的本質初衷.一是讓學生在變化的問題中把握不變的本質；二是讓學生在變式問題的解決中獲得變式的能力，這是數學慢教育課堂設計的本質特征.

“智慧技能學習的唯一有效方法就是建立在理解基礎上的變式練習”，換句話說，心智技能的形成離不開數學變式，這就從另一個側面確認了變式性原則是數學慢教育設計的主體性原則，唯有變式練習和變式聯系，方能將數學命題的陳述形態轉化為以產生式或產生式系統表征的程序性形態，即形成一定的技能.而變式問題是數學命題學習的一項重要技術，應用初期宜采用顯性變式（數量的變化、圖形位置的變化等），應用后期宜采用隱性變式（變化背景、變化參數等），方能促進學生數學命題能力的縱向遷移，這也是數學慢教育設計應把握的變式設計問題的導向.事實上，變式觀點得到馬頓變異理論的強有力支撐，歸因于顯性變式提供問題情境的相似性有助于數學命題的自動生成，隱性變式提供問題情境的不同性有助于數學命題圖式的獲得.因此就這個層面而言，數學慢教育的變式原則更具有一般設計的指導意義.

比如，在學習“生活中的不等式”章頭課時，筆者基于變式性原則設計變式題組.

一只紙箱質量為1kg.當放入一些蘋果（每個蘋果的質量為0.25kg）后，箱子和蘋果的總質量不超過10kg.

（1）填表：

（2）估計這只紙箱內最多能裝多少個蘋果？

（3）當箱子里放入x個蘋果時，你能用不等式表示題目中的數量關系嗎？

（4）若該箱蘋果的包裝盒上印有這樣的字樣“凈含量：9±0.25kg”，設這箱蘋果的實際質量為mkg.你能用不等式表示這箱蘋果的實際質量嗎？

（5）你能解釋不等式0.25x+1≤10其他的實際意義嗎？

設計說明：問題（1）和（2）屬于顯性變式，而問題（3）和（4）屬于隱性變式，問題（5）屬于更高級的顯性變式，涉及逆向思維經驗的調用.經歷這樣問題變式組的探究過程，既排除了數學命題無關特征的干擾，又形成問題解決的產生式系統，促進學生將數學命題的陳述形態轉化為程序形態的能力，實現數學慢教育變式設計的功能，提升了方法經驗遷移的水平.

四、體驗性原則

數學慢教育是以“興發教學論”為支撐的“體驗性”學習方式，因此體驗性原則是數學慢教育設計的重要原則.體驗學習是一種以學習者為中心，通過親身體驗與自覺反思相結合來獲得知識、技能和情感、態度的行為方式.這里的“體驗性”強調個體經驗對學習的指導意義，不是簡單主張在“實踐”中獲得新知識和新能力，而更關注對經驗的概括與總結、反思與提煉，強調在“親自經歷”中不知不覺地領會知識技能的狀態，而且要求能在深刻的反思中獲得結構性經驗的提升，使學習者通過反思與體驗過程獲得成長發展內力，所以數學慢教育設計的體驗性原則應該是“做中學”與“思中學”的復合體.這和“課標”倡導的“數學活動經驗需要在‘做’的過程和‘思考’的過程中積淀”的學習原則是一脈相承的.

體驗學習有不同的理論模型，其中庫博（Kolb）用四個元素建立起的四階段循環模型是最具代表性的體驗學習理論，即由體驗階段（Experiencing）、反思內省階段（Reflecting）、歸納階段（Generalizing）、應用階段（Applying）組成的體驗學習圈模式.把這四個階段用在數學課堂設計層面，則反映數學慢教育“體驗性原則”設計的四層要義.一是問題設計以活動的形式梯級展開，有利于學生“以身體之、以心驗之”；二是以活動為載體的問題開放，有利于不同個體經驗水平的提升和能力生長；三是問題解決的思想方法多樣，有利于不同思維水平的學生都能找到思維的切入點并有所發展；四是問題設計體現“學以致用”的意識，有利于學生借助既得經驗方法解決新問題并形成一定的心智技能.

比如，在“制作無蓋的長方體紙盒”活動中，基于“體驗性原則”創設問題：（1）用一根長為20cm的繩子圍成一個長方形，怎樣才能使長方形的面積盡可能大？（2）如何用一張正方形的硬紙板制作無蓋的長方體紙盒？（3）若正方形硬紙板的邊長為20cm，每個小正方形的邊長為xcm，你能用含x的代數式表示無蓋的長方體紙盒的容積V嗎？當x為多少時，V的值盡可能的大？

設計說明：這是課題學習類活動，反映學習圈模式四個階段的思想內涵，回應“體驗性原則”的設計意義.3個問題由特殊到一般按照思維的內邏輯順序梯級展開，問題（1）方法開放，體驗借助已有經驗水平解決問題（周長相同的四邊形，正方形面積最大）；問題（2）活動開放，體現在做的過程中積累并概括經驗；問題（3）體現在思考中積累并應用經驗方法研究新問題.如果說三個活動均在不同層面與體驗階段合拍，那么第1個問題是反思階段的具體表現，第2個問題是歸納階段的再現，第3個問題是應用階段的復合反應，其間既有體驗的成分，也有反思和歸納的成分，更有應用的眼光.

概而言之，初中數學慢教育設計的基本原則相輔相成，貫穿慢教育課堂的終始.整體設計是關鍵，過程設計是核心，變式設計是主體，體驗設計是基調，各原則之間既獨立又復合，既聯系又區別，辯證地行走在慢教育課堂的前沿.

1.朱桂鳳.從容行走在“慢”與“不慢”之間——初中數學課堂慢教育哲學［J］.中學數學（下），2014（8）.

2.朱桂鳳，孫朝仁.數學慢化教育元話語與操作要義［J］.中學數學（下），2014（10）.

3.朱桂鳳，孫朝仁.數學慢教育研究綜述［J］.江蘇教育研究，2013（7A）.