分層視角下《函數》章節的有意義教學*

◎福建師范大學附屬中學　張春曉　黃曉濱

分層視角下《函數》章節的有意義教學*

◎福建師范大學附屬中學張春曉黃曉濱

伴隨著選課走班模式的推進，本文探討如何根據學生的實際認知水平，在有意義學習理論的指導下，展開分層次的教學備課，從而實現高中《函數》章節內容的有意義教學.這對高中一線教師具有現實的指導意義，同時對實現學生的可持續發展也具有重要意義.

有意義學習；分層次教學；函數周期性

隨著高中新課程改革的不斷深入，新課改的學生在思維的嚴謹性、推理的邏輯性方面尚有不足.受制于高考要求，高中數學在內容、難度方面與初中相比都有較大不同，高中的“函數”定義及其有關性質十分抽象，讓剛進入高中學習的學生難以適應.為此，筆者從所在學校高一年段約700人中做了一項調查問卷，結果顯示：79%的同學在運用基本初等函數的性質時會發生困難，60%的同學認為高中函數模塊難理解，63%的同學認為部分解題方法在初高中數學中存在明顯斷層.

剛進入高中學習的學生，在知識背景、思維方式方面存在明顯差異，為了實現高中函數的有意義教與學，使得高中學生能較快適應高中的數學學習習慣與思維方式，筆者認為，在高中函數性質的教學中可采用分層次教學.通過實施分層次的教學，為學生的自主學習、個性發展創造了條件，也為學生的可持續發展奠定了基礎，從而實現“人人都能在數學上得到不同的發展”.

一、有意義學習理論

奧蘇貝爾的認知同化學習理論指出，有意義學習是新舊知識的聯系與同化.其產生的條件，在客觀上，學習材料本身要有邏輯意義；在主觀上，學習者本人應具備有意義學習的心向，同時其認知結構中應具有同化新知識的原有觀念，這樣新舊知識才能建立起非人為性和實質性的聯系.奧蘇貝爾的觀點告訴我們，教學的一個最重要的出發點是學生已經知道了什么.教學的策略就在于怎樣建立學生原有認知結構中相應的知識和新知識的聯系.這就要求教師必須全面、深入地了解學生，使教學方法、教學內容與學生的認知結構相適應，才能保證學生學到最基本的知識，又能理解知識的內在邏輯性.

二、分層次教學中的有意義學習

這里的分層次指的是在原班不變的情況下，實施數學教學的動態組合班制，即把同一個班級的同學按照數學水平的不同在數學課堂上實行走班制，與同一年段水平相差不大的學生共同學習.針對不同層次的班級，不同層次的學生，授課教師從不同的起點、不同的角度開展教學，通過調整教學方式與教學內容，促進各個層次的學生共同發展.這種分層次將認知結構、能力水平相當的學生分在同組，為學生個性發展提供了平臺.本文僅討論在此種分層下，如何進行高中函數的有意義教與學.

以函數周期性為例，教材（人教版A）僅在必修4中討論過三角函數的周期性，而對非三角函數的周期性未加以提及，但一些非三角函數如果既具有對稱性又具有奇（偶）性，也可使得這類函數具有周期性.縱觀歷年的各類高考試題，關于非三角函數的周期性屢見不鮮.周期性作為函數的重要基本性質，與函數的單調性、奇偶性具有“非人為性和實質性”的聯系.另一方面，對層次較高的學生，像一類校中被提前錄取的實驗班學生，均是經過層層考核被選拔上來的，已具有較強的邏輯推理能力和較好的學習習慣，同時也具備一定的抽象思維能力，其認知中已具有接受函數周期性的“固定點”.對他們而言，教師在函數的單調奇偶性之后滲透周期性教學，符合該類學生的認知發展水平，同時也符合有意義學習產生的條件.對于這一層次學生，在探究完函數的奇偶性后，可考慮讓其進入函數周期性的學習.從有意義學習理論來看，函數的周期性與奇偶性屬于并列結合關系，這樣安排教學，可將前后出現的學習內容統一為一個完整的知識體系，并將之固定在學生的認知結構中.由于這一層次的學生還沒有學過三角函數，可直接通過股票漲跌、簡諧振動、自然現象等形象的生活實例，引申出周期性概念，給出函數周期性定義.同時通過一些輔助性的解釋說明，幫助學生了解周期的不唯一性及變量取值范圍的無限性.為引導學生在比較中實現新舊知識的同化.可讓其對例1進行探究.

例1.（2009年全國卷）函數f（x）的定義域為R，若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數，則

A.f（x）是偶函數B.f（x）是奇函數

C.f（x）=f（x+2）D.f（x+3）是奇函數

該例以函數奇偶性作為背景，實則考察周期性與對稱性的聯系，通過學生自主研究，在解決問題的過程中建構起周期性與對稱性間的聯系.這樣安排，恰可使學生從貌似無關的概念中發現它們共同的關鍵特征，不僅可以鞏固已有“固定點”的強度，加深對函數奇偶性的認識，又可對所學知識進行縱向延伸，實現函數周期性的有意義學習.

在本題后可對該題結論進行延伸，提出一般抽象函數周期性與對稱性間的聯系：若函數y=f（x）的圖像有一個對稱中心A（a，0）和一條對稱軸x=b，則f（x）是周期函數，且其周期是T=4|b-a|；若函數y=f（x）的圖像有兩個對稱中心為A（a，0）和B（b，0），則f（x）仍然為周期函數，其f（x）周期為T=2|b-a|；若函數y=f（x）的圖像關于直線x=a及x=b對稱，則的周期為T=2|b-a|.這里采用猜測歸納及類比同化模式，從具體問題導出一般性結論，符合學生認知規律，讓其進一步體會周期性與對稱性的聯系.在后續練習中，為鞏固并強化對這種聯系的認識，可設置如下練習.

練習1.設f（x）是定義在R上的奇函數，且對任意實數x，恒有f（x+2）=-f（x）.當x∈［0，2］時，f（x）=2x-x2.（1）求證：f（x）是周期函數；（2）當x∈［0，2］時，求f（x）的解析式；

（3）計算f（1）+f（2）+…+f（2012）的值.

練習2.設函數f（x）在（-∞，+∞）上滿足f（2-x）= f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在閉區間［0，7］上，只有f（1）= f（3）=0.（1）證明：函數f（x）為周期函數；

（2）試求方程f（x）=0在閉區間［-2005，2005］上的根的個數，并證明你的結論.

以上兩個練習均以抽象函數作為載體，通過函數的對稱性導出函數的周期性，通過這種練習，可進一步幫助學生鞏固認知中對性質間內在聯系的認識，實現思維水平上的升華.

對于分層中水平中游的學生，由于他們剛進入高中，其思維狀態尚處于從形象到抽象的過渡階段，對抽象函數的對稱性及奇（偶）性理解不夠透徹，認知中尚不完全具備有意義學習周期性的心向，對于此層次學生，可等到他們學到三角函數時，將其與周期性相結合，通過正（余）弦函數出現周而復始的變化規律，引入函數周期性.這里以三角函數為載體，讓學生通過具體函數，建立起對稱性與周期性間的聯系，實現函數基本性質的整合協調.這種設計基于學生認知中起固定點作用的概念（即三角函數的定義與圖像）較穩定、清晰，且經過高中一段時間的學習，學生已具備了一定的觀察發現與抽象概括能力.另一方面，此層次學生在學習三角函數前，已完整學習過基本初等函數及性質，并能利用數學符號進行一些稍繁雜的數學推理.在此基礎上，為實現其對周期性認識的縱向延伸，實現有意義學習，在教學設計時，可考慮以三角函數為載體，對有關類似的三角型函數周期性進行研究.考慮如下例.

例2（.2014年福建省質檢）在平面直角坐標系xOy中，Ω是一個平面點集，如果存在非零平面向a，對于任意點P∈Ω，都有點Q∈Ω，使，則稱→a為平面點集Ω的一個向量周期.現有以下四個命題：

1.若平面點集Ω存在向量周期→a，則k→a（k∈Z，k≠0）也是的向量周期；

2.若平面點集Ω形成的平面圖形的面積是一個非零常數，則Ω不存在向量周期；

3.若平面點集Ω=｛（x，y）|x＞0，y＞0｝，則b→=（-1，2）為Ω的一個向量周期；

4.若平面點集Ω=｛（x，y）|sinx|-|cosx|｝，則為Ω的一個向量周期.

其中真命題的個數是

A.1B.2C.3D.4

該例以三角函數做載體，以向量為背景，考察學生對平面向量周期的理解.它要求學生必須充分了解函數周期性的特點，熟練運用數學思想方法，才能把數學的知識與技能轉化為分析問題和解決問題的能力.這對學生鞏固其認知中的向量、三角函數知識，對提高函數周期性的認識，實現其有意義學習是具有積極作用的.

對于分層中基礎相對薄弱的學生，在周期性教學中，考慮到其思維特點，宜采用直觀教學，側重夯實基礎，進行低起點、小步子的教學，注重培養學生數形結合的思想方法.側重從三角函數的圖像中，得到函數周期性的相關公式及結論，借助圖形幫助學生理解周期性特點.考察以下兩例.

例3.下列函數是否是周期函數，若是，求出其周期；若不是，說明理由.

（1）y=|sinx|；（2）y=sin|x|；

（3）y=|sin|x||.

以上兩例的共同點在于均可通過函數圖像分析其周期性，其中例3將周期性與函數圖像變換結合，例4將周期性與向量知識結合.這兩例均是以三角函數作為背景，在學生已有的認知范圍內，拓廣其認知結構，同時鞏固已學過知識，實現有意義學習.當然，在接下來練習中，可考慮將三角恒等變換、三角函數的圖像與周期性相結合，考察學生對周期性公式及相關結論的掌握.

三、有意義學習理論對高中數學學習的啟示

1.形成良好的學習習慣、重視新舊知識的聯系與區別

有意義學習理論指出，有意義學習是新舊知識的聯系與同化，這就要求學生認知結構中必須具有能與新教材建立聯系的有關概念，而初高中教材還存在著知識脫節的現象，在初中數學教材中沒有重點講解的知識有很多卻在高中學習過程中經常用到.例如“因式分解、根式有理化、韋達定理、二次函數……”因此，在學習高中函數知識前，應有意識地對初中基本函數知識點進行回顧、復習，同時做好對新教材的預習，并能對某些問題提出質疑，建立知識網絡，為學習和記憶新知識提供必要的“固定點”.

2.增強學習興趣

有意義學習理論認為，在主觀上，學習者本人應具備有意義學習的心向，即內部學習動機，這是有意義學習產生的學習條件之一.因此在學習中可以多閱讀一些數學課外書籍，運用數學知識解決這些問題，在解決的過程中享受數學，樹立信心；多了解一些數學家的成長故事，在了解的過程中增強學習毅力，在歸納和探索中認識數學的魅力，激發對數學學習的興趣.

3.培養自我反思、自我總結的良好習慣

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾曾指出：“反思是數學思維活動的核心和動力.”相比初中，高中的函數知識內容加深了，研究范圍擴大了.在學習中培養反思習慣，可以了解初高中函數的區別，掌握它們之間的縱橫向聯系；在解題中學會反思，可以了解出題者意圖，總結規律，使分析問題、解決問題的能力不斷提高.所以在學習中，要注重對知識的消化與反思，對典型解題方法的歸納與整理.

四、反思

上文從奧蘇貝爾的認知結構同化學習理論出發，對目前高中函數有意義學習提出了若干教學建議，強調了有意義學習需建立在學生已有認知結構，并從理論和實踐上論證了分層次教學的重要性，對以后選課走班模式的授課有現實的意義.同時，對高一學生在進入高中的學習提供了學法上的指導.但高中函數教與學并不是任何單一教學理論能夠解決的，它要求一線教師在教學實踐中，不斷提高自身的理論水平和業務水平，從學生實際出發，更多地考慮學生的“最近發展區”，通過把握個體的差異性進行分層次教學，多給學生創造成功的機會，激發學生的學習熱情.同時要求學生注重初高中數學學習方法上的調整，培養良好的學習習慣.只有這樣，才能真正實現有意義的教與學，不同的學生才能在數學上得到不同的發展.

（責任編輯：王欽敏）

*本文系福州市教育科學研究2014年課題“基于高中函數教學的適應性與有意義學習的研究”（項目編號：FZ2014GH001）研究成果之一。