具有非期望產出的隨機DEA模型研究

朱佳欣++孫玉華++楊麗明

摘要為解決含有不確定信息的非期望產出效率評價問題，建立了一個非期望產出的隨機DEA模型.該模型將非期望產出作為負期望產出進行處理，引入了期望效率值、顯著性水平來刻畫隨機問題，并通過機會約束規劃的相關知識將模型轉化為確定形式.對模型的最優值的相關性質進行了探討，說明最優值與期望效率值、顯著性水平之間的關系.最后給出數值實驗說明該模型的有效性.

關鍵詞數據包絡分析；非期望產出；隨機性

中圖分類號O221.2 文獻標識碼A

Research on Stochastic DEA Model

for Undesirable Outputs Evaluation

ZHU Jiaxin1 ，SUN Yuhua1 ，YANG Liming2

（1.School of Mathematics and Physics， University of science and technology Beijing， Beijing100803， China；

2.College of Science， China Agricultural University， Beijing100083，China ）

Abstract In order to solve the evaluation problem with undesirable outputs and uncertain information， this paper established a stochastic DEA model with undesirable outputs. The model treats undesirable outputs as negative desirable outputs. Meanwhile， it introduces the desired value and the efficiency of the significant level to describe the stochastic problem. By using the knowledge of chance constrained programming， we derived a deterministic equivalent model， discussed the related properties of the optimal value of the model， and explained the relationship among the optimal value， the efficiency value and the significant level. Finally， numerical experiments were presented to illustrate the validity of the model.

Key wordsdata envelopment analysis（DEA）； undesirable outputs； stochastic

1引言

數據包絡分析（data envelopment analysis，DEA），是數學、運籌學、數理經濟學、管理科學和計算機科學的一個交叉領域，是使用數學規劃模型評價具有多個投入和產出的部門或單位間相對有效性的分析方法[1].傳統DEA模型都是基于確定性問題進行研究，但是在實際生活中，由測量、經濟規律隨機性等因素的干擾會產生非精確數據問題.隨機DEA主要用于處理具有不確定信息下的同類決策單元的相對績效評價問題，現在越來越受到學者的重視.Sengupta[2]最先提出了隨機DEA模型，之后許多學者使用不同方法對具有隨機性影響的效率評價問題進行了研究.Cooper等[3]提出了機會約束方法，將約束條件表達成概率函數的形式，以此來對隨機性進行分析.Sueyoshi等[4]為了預測決策單元的未來績效，提出了未來DEA隨機模型.藍以信等[5]從理論上對未來DEA隨機模型的性質進行了探討.Tosionas等[6]引入貝葉斯后驗概率的方法，對機會約束DEA模型的評價效率值進行統計推斷，并對希臘銀行進行了效率評估.Udhayakumar等[7]則將遺傳算法的隨機模擬與機會約束方法結合起來對DEA模型進行了研究.

從環境治理方面考慮，帶有污染性的非期望輸出如廢水、廢氣、廢渣都是不可避免的.國內外許多學者從不同方面對具有非期望產出的評價問題進行了研究.Fare等[8]提出了一種非線性的曲線測度評價方法，用“非對稱”的方式處理非期望產出，但是計算上較為復雜.Zhou等[9]為了對環境性能進行評價，在非期望產出的非參數DEA效率模型的基礎上，結合非徑向Malmquist環境性能指標建立了新模型，對多邊環境性能進行了比較分析.Hua等[10]對非期望產出量做數據變換，定義了一個參考集，在保持投入量恒定的前提下對生態效率進行了評價.Hailu等[11]將污染物作為投入指標來處理，用DEA模型分析了加拿大的造紙工業的環境效率.許平等[12]結合生產可能集建立了徑向和非徑向的具有非期望產出的模型，并對兩種模型的效率值大小、相對有效性等問題進行了證明.

經濟數學第 32卷第3期

朱佳欣等：具有非期望產出的隨機DEA模型研究

以上學者都是從隨機方面或者非期望產出方面來考慮效率評價問題.將兩者結合起來，將非期望產出作為負期望產出進行處理，在文獻[4]的基礎上提出了具有非期望產出的隨機DEA模型.利用機會約束規劃將模型轉化為確定形式，并對確定形式的模型最優值的相關性質進行探討，說明了最優值與期望效率值、顯著性水平之間的關系.最后用數值模擬驗證了該模型的有效性.endprint

2模型描述

假設有n個決策單元，DMUj（j=1，2，…n）為第j個決策單元，它的投入、期望產出、非期望產出向量分別為xj=（x1j，…，xmj）T，j=（1j，…，sj）T，j=（1j，…，rj）T，j=1，…，n.

其中，m表示投入量的個數，投入是精確數據；s和r分別表示期望產出和非期望產出的個數，期望產出和非期望產出是隨機數據.為了方便起見，記DMUj0為DMU0，則DMUj0的投入量、期望產出量和非期望產出量分別記為xj0=x0，yj0=y0，zj0=z0，1≤j0≤n.

借鑒隨機DEA期望值模型，可得到第j01≤j0≤n個決策單元對應的具有非期望產出的隨機DEA期望值模型（I）：

maxE∑sp=1μpp0-∑rq=1ωqq0∑mi=1υixi0

s.t.P∑sp=1μppj-∑rq=1ωqqj∑mi=1υixij≤β≥1-αμp≥0，ωq≥0，υi≥0，j=1，…，n；p=1，…，s；q=1，…，r；i=1，…，m.

其中，E·表示期望值，表示概率.在傳統DEA模型中，通常要求決策單元產出的組合與投入的組合之比，即效率值不大于1.為了更具一般性，在本文模型中，要求決策單元DMUj在顯著性水平α下所得的隨機效率不大于β.β∈0，1代表決策單元的期望效率水平，由決策者根據外部條件來進行限制.α∈0，1表示產出的組合與投入的組合之比大于β的可能性，可以當作一個風險標準，1-α則是代表滿足約束條件的可能性.易知，當β=1，α=0時，約束條件的形式與傳統DEA模型一致.

利用CharnrsCooper變換，原模型可以改寫成模型（II）：

maxE∑sp=1upp0-∑rq=1wqq0

s.t.∑mi=1vixi0=1；P∑sp=1uppj-∑rq=1wqqj≤β∑mi=1vixij≥1-α；up≥0，wq≥0，vi≥0，j=1，…，n；p=1，…，s；q=1，…，r；i=1，…，m.

為了讓模型計算具有可行性，下面利用機會約束規劃的概念將模型（II）轉化成確定形式.模型中期望產出變量pj、非期望產出變量qj都是隨機變量。假設隨機變量pj可以表示為pj=pj+bpjε，p=1，…，s；j=1，…，n，pj是pj的期望，bpj是pj的標準差；qj表示為qj=qj-cqjε（q=1，…，r；j=1，…，n），qj是qj的期望，cqj是qj的標準差.由于隨機干擾來源于數據，由中心極限定理可知，大量數據通常滿足于正態分布，故假設ε服從正態分布N0，σ2.由上面假設，將目標函數表示成

E∑sp=1uppo-∑rq=1wqq0

=∑sp=1upp0-∑rq=1wqq0.（1）

另外，約束條件

P∑sp=1uppj-∑rq=1wqqj≤β∑mi-1vixij≥1-αj的等價形式為

P∑sp=1uppj-∑rq=1wqqj-EjVj≤β∑mi-1vixij-EjVj≥1-αj，j=1，…，n.

其中，Ej=∑sp=1uppj-∑rq=1wqqj，

Vj=∑sp=1upbpj+∑rq=1wqcqj2σ2.

定義一個新變量

zj=∑sp=1uppj-∑rq=1wqqj-EjVj， 顯然，zj服從標準正態分布，則約束條件寫成Pzj≤β∑mj=1vixij-EjVj≥1-α，j=1，…，n，轉化成

β∑mi-1vixij-EjVj≥F-11-α.（2）

其中F表示標準正態分布的分布函數，F-1為其逆函數.將（1） （2）代入模型（II）中可得模型（III）：

maxM0=∑sp=1upp0-∑rq=1wqq0，

s.t ∑mi=1vixi0=1，（3）

∑mi=1viβxij-∑sp=1uppj+bpjσF-1（1-α）+∑rq=1wqqj-cqjσF-1（1-α）≥0，

up≥0，vi≥0，wq≥0，j=1，…，n，p=1，…，s，i=1，…，m，q=1，…，r.（4）

定義1 對于任意DMU0，若有M0<β，則稱DMU0在期望效率β下是無效的.

定義2 對于任意DMU0，若有M0=β，則稱DMU0在期望效率β下是有效的.

定義3 對于任意DMU0，若有M0>β，則稱DMU0在期望效率β下是超有效的.

定理1 模型（III）存在可行解，且關于最優值M有以下結論：

1）當0<α<0.5時，M<β對所有決策單元恒成立.

2）當α=0.5時，M

SymbolcB@ β對所有決策單元恒成立.

3）當0.5<α<1時，M≥β對某些決策單元成立.

證明先證明存在可行解.令v*=x0‖x0‖2≥0，u*=u*1，0，…，0T≥0，u*1=min1≤j≤nv*Tβxj1j+b1jσF-11-α>0，w*=（0，…，0）≥0，則有v*Tx0=xT0‖x0‖2x0=1，式（3）成立.

又因為

∑mi=1v*iβxij-∑sp=1u*ppj+bpjσF-11-α+∑rq=1w*qqj-cqjσF-11-α=∑mi=1v*iβxij-u*11j+b1jσF-11-α≥0，

式（4）成立，故u*，v*，w*是原模型的可行解.證畢.

1）當0<α<0.5時，有F-11-α>0.當j=j0時，由式（4）可知

β≥

∑sp=1up（p0+bp0σF-1（1-α））-∑rq=1wq（q0-cq0σF-1（1-α））∑mi=1vixi0.endprint

又因為∑mi=1vixi0=1，故

β≥∑sp=1up（p0+bp0σF-1（1-α））

-∑rq=1wqq0-cq0σF-11-α.

由F-11-α>0，知

∑sp=1upp0-∑rq=1wqq0

<∑sp=1upp0+bp0σF-11-α

-∑rq=1wqq0-cq0σF-11-α≤β.

再由j0的任意性可知，對所有決策單元，M<β恒成立.證畢.

2）當α=0.5時，由正態分布函數逆函數的性質，F-11-α=F-10.5=0，易知對所有決策單元均有M≤β成立.證畢.

3）假設DMU0在α=0.5下存在一組最優解u*，v*，w*使最優值滿足M0=β.

此時F-11-α=F-10.5=0，模型（Ⅲ）化成

maxM0=∑sp=1upp0-∑rq=1wqq0，

s.t ∑mi=1vixi0=1，

∑mi=1viβxij-∑sp=1uppj+∑rq=1wqqj≥0，

up≥0，vi≥0，wq≥0，j=1，…，n，

p=1，…，s，i=1，…，m，q=1，…，r.

當0.5<α<1時，由F-11-α

∑mi=1viβxij-∑sp=1uppj+bpjσF-11-α+∑rq=1wqqj-cqjσF-11-α>∑mi=1viβxij-∑sp=1uppj+∑rq=1wqqj≥0.

即式（4）成立，因此u*，v*，w*是模型（III）在0.5<α<1時的一組可行解，此時目標值為M0=β.假設當0.5<α<1時，DMU0在模型（III）下的最優值為M，有M≥M0=β.證畢.

定理2在模型（III）中，當期望效率β保持不變時，最優值M隨著α的增大而增大.

證明設0<α1<α2<1，有

F-11-α2

α1對應的模型（IV）為

max∑sp=1upp0-∑rq=1wqq0，

s.t ∑mi=1vixi0=1，

∑mi=1viβxij-∑sp=1uppj+bpjσF-1（1-α1）

+∑rq=1wqqj-cqjσF-1（1-α1）≥0.

α2對應的模型（V）為

max∑sp=1upp0-∑rq=1wqq0，s.t∑mi=1vixi0=1，∑mi=1viβxij-∑sp=1uppj+bpjσF-1（1-α2）+∑rq=1wqqj-cqjσF-1（1-α2）≥0，up≥0，vi≥0，wq≥0，j=1，…，n，p=1，…，s，i=1，…，m，q=1，…，r.

記M01和M02分別為模型（IV）和（V）的最優值，假設u*，v*，w*是模型（IV）的最優解.由

F-11-α2

定理3在模型（III）下，當顯著性水平α保持不變時，最優值M隨著β的增大而增大.

證明與定理2類似，此處略.

3結束語

將隨機DEA模型推廣到具有非期望產出的問題，建立的模型（I）是具有非期望產出的隨機DEA模型，并結合機會約束的相關知識得出了確定型模型（III）.對確定型模型（III）的可行性進行了分析，對不同顯著性水平下模型最優值與期望效率值之間的關系進行了研究.由定理2和定理3知，固定顯著性水平值和期望效率值中任意一個，最優值都隨著另外一個指標的增大而增大，這為決策者在實際中對決策單元進行評價時提供了更多有效信息.最后的數值模擬也進一步驗證了模型的可行性和結論的正確.

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