在思辨中感悟概念本質

肖備荒

前不久，筆者有幸聆聽了特級教師張齊華的“圓的認識”一課。這節課真是與眾不同，他從整體的視角，對這一傳統題材進行了獨特的加工和全新的演繹，讓學生在類比、推想、找活動中感悟知識本質，現擷取幾個教學片段與大家共賞。

【片段一】類比中觸摸概念本質

師：我們學過哪些平面圖形？（教師根據學生回答，用多媒體出示）如果要確定一個長方形的大小，需要告訴你幾個數據？

生1：2個。

師：哪2個？

生2：長和寬。

師：如果要確定一個正方形的大小，需要告訴你幾個數據？

生3：1個，正方形的邊長。

師：張老師很好奇，長方形、正方形都有四條邊，為什么確定它們的大小，長方形要兩個數據，而正方形只要一個數據？

生4：長方形兩條長相等，兩條寬相等。正方形四條邊都相等。

師：張老師今天給大家帶來了一個圓，這個圓看起來比其他平面圖形更復雜些。要確定這個圓的大小，至少需要幾個數據？大家琢磨琢磨再告訴我。（張老師依次詢問幾個舉手的學生。）

師：大家有的說要2個，有的說要1個。究竟是2個還是1個？大家比劃比劃，想想為什么，在四人小組內說一說。

（小組活動后，教師以舉手的方式，檢查交流效果。）

師：開始大家的意見不統一，現在討論后都認為只要1個數據了，這就是討論的妙處所在。請每個同學拿出畫有圓的作業紙，想辦法用自己的方式證明：為什么一個數據就能確定這個圓的大小？

（學生獨立思考，動手操作，教師巡視指導。）

師：下面進入展示環節。哪個同學帶著自己的作品給大家說明一下？

生5：我在圓上任意取了幾個點A、B、C、D、E，測量了它們到圓中間這個點的距離都相等，都是3厘米，所以只要一條這樣的線段就能確定這個圓的大小。

師：你是一個有數學思維能力的孩子，還有誰對他的發言有補充的嗎？

生6：我在畫圓的時候，圓規針尖的腳固定不動，圓規兩腳間的距離始終不變，才能畫成圓；如果要把圓畫大些，圓規兩腳間的距離就定大些。所以只要知道圓規兩腳間的距離也就是半徑就能確定圓的大小。

師：說得非常好。在數學上，圓規針尖固定的這個點叫做圓心，用字母O表示。圓規兩腳間的距離就是連接圓心到圓上任意一點的距離，我們叫它為半徑，用字母r表示。

【賞析】張老師采用了新穎的開課方式，在學生歷數已學過的平面圖形后，讓學生通過長方形、正方形特征的比較，得出“確定一個長方形、正方形的大小，分別需要2個、1個數據”。而后順勢提出：“要確定一個圓的大小，至少需要幾個數據？”學生琢磨、比劃后，形成了初步的大膽猜測：確定這個圓的大小，只要一個數據。緊接著張老師揭示一個貫徹全課始終、直指圓本質特征的關鍵問題：“為什么一個數據就能確定圓的大小？”把學生帶入探究、推理、論證的學習之旅。這里類比推測，層層遞進，讓學生很快地抓住了概念的本質，為全課的學習做了很好的鋪墊。接著，張老師給足學生自主探究的時間和空間，讓他們重現生活經驗，獨立思考，動手操作，用自己獨特的方式分析問題、解決問題。有的學生取點連線，測量比較，得出“圓上的點到圓中間這個點的距離都相等”；有的學生從畫圓的經驗中感受到“圓規兩腳間的距離始終不變”，圓規兩腳間的距離能確定圓的大小。這些發現，說明學生已經初步感知“圓中心這個點到圓上的距離都相等”這個圓的本質特征。張老師及時予以肯定，提出圓心、半徑等概念，為后續更深刻的探究活動起了很好的導向作用。

【片段二】推理中探究概念本質

師：像半徑這樣的線段有多少條？

生（齊）：無數條。

師：為什么？（學生無人舉手）這是一個相當有難度的問題。四人小組商量商量，看能不能想出更多的思路來說明半徑有無數條。

（小組討論，全班交流。）

生1：圓是軸對稱圖形，它有無數條對稱軸，每條對稱軸對應著兩條半徑。所以這個圓有無數條半徑。

生2：我一直畫半徑，怎么也畫不完。所以有無數條半徑。

師：你想的這件事，張老師20年前就干過。我的數學老師說圓有無數條半徑，我不同意，他叫我回家去畫。我回家后，畫了一條又一條，一共畫了563條半徑，終于把整個圓畫滿了。

生3：你的鉛筆太粗了，要把鉛筆削細點，細到1微米。

生4：還可以再細點呀，可以細到看不清，細到沒有。

師：你說出了一個偉大的結論。在數學上，線是沒有寬度的，所以就可以細到沒有。如果半徑細到沒有的話，這個圓里有多少個這樣的沒有？

生5：無數。

師：簡直就是一個數學家的坯子，太了不起！有的同學從對稱軸角度，有的同學從畫線的角度說明了圓有無數條半徑，我們還可以從什么角度來說呢？

生6：圓上的點也可以細到沒有，所以圓上有無數個點。圓心可以和圓上的任何一點畫出一條半徑，所以一個圓有無數條半徑。

師：非常棒。既然一個圓的半徑有無數條，那應該用無數個數據才能確定一個圓的大小，為什么只用一個數據就行呢？

生7：無數條半徑都相等。

師：除了用半徑確定圓的大小，還有一種線段也能確定它的大小。

生8：直徑。

師：對，現在請4個同學到黑板上來分別指出一條直徑，大家在看的同時，想想直徑有什么共同的特點。

（4個同學分別指出了4條不同的直徑。）

生9：一個圓有無數條直徑。

生10：直徑都是兩條半徑加起來的，所以都相等。

生11：直徑都相交于圓心。

師：相交于圓心，我們就說通過圓心。歸納起來就是：通過圓心且兩端都在圓上的線段就是直徑，這樣的線段有無數條，一個圓所有的直徑都相等，直徑是半徑的2倍。

師：回到以前學過的平面圖形（課件展示），再仔細看看今天學習的圖形，比較它們有哪些不一樣？

生12：以前學過的平面圖形有角和頂點，而圓沒有。

生13：以前學過的圖形的邊是直的，圓的邊是彎的。

師：數學上我們把圓叫做曲線圖形，以前學過的平面圖形叫做直線圖形。

生14：圓有圓心，還有無數條半徑和直徑。

生15：所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。

師：古時候中國的數學家給出了圓的一個說明：“圓，一中同長也。”“一中”指的是什么？“同長”呢？

生16：“一中”指圓有一個圓心，“同長”指的是所有的半徑都相等。

【賞析】為了讓學生理解“圓，一中同長也”這一本質屬性，張老師不拘泥于教材，獨辟蹊徑，站在培養學生思維能力、發展初步空間觀念的高度，在學生初步感知的基礎上，引導學生去粗取精，去偽存真，多層次、多角度地經歷透過現象尋求概念本質的過程。首先，張老師提出了一個富有挑戰性的問題： “為什么圓有無數條半徑？”要求學生想出更多思路來說明，激起了學生強烈的探究欲望。不同的學生有不同的思考，說出了不一樣的思路。有的學生從對稱軸的角度，用推理的方法來論證；有的學生從實踐操作的角度直接說明；有的學生從連接圓心和圓上點的線段的角度，用聯想的方式來證明。當一個學生說“我一直畫半徑，怎么也畫不完”時，張老師抓住契機，與之展開深度對話：“你想的這件事，張老師20年前就干過。我一共畫了563條半徑，終于把整個圓畫滿了。”“你的鉛筆太粗了，要把鉛筆削細點。可以細到看不清，細到沒有。”在張老師智慧的引領下，一個偉大的結論終于被學生發現了：線沒有寬度，可以細到沒有，“半徑細到看不清，細到沒有，就有無數”。這時學生思維完全激活，發現“圓上的點可以細到沒有，所以圓上有無數個點，圓心可以和圓上的任何一點畫出一條半徑，所以一個圓有無數條半徑”這個了不起的結論。

學生不僅學習了簡單的推理和論證，也對點、線的認識實現了從有形到無形的深度超越。接著，張老師繼續追問：“既然一個圓的半徑有無數條，那應該用無數個數據才能確定一個圓的大小，為什么只用一個數據就行呢？”讓學生進一步領會了“圓心到圓上的線段都相等”。 至此，“一個圓有無數條半徑，所有的半徑都相等”被孩子們詮釋得清清楚楚，明明白白。最后，張老師還引導學生將圓與以前學過的其他平面圖形比較，幫助他們系統整理所學的知識，構建完整知識體系。學生對“圓，一中同長”的本質屬性，也有了全面深刻的理解。

（作者單位：江西省萬安縣潞田中心小學）

□責任編輯 周瑜芽

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