在活動中感悟數學思想

錢建兵

在不少學生眼里，學數學就是做題目，學生不會提問，不會質疑與求證。沒有人喜歡一直做練習，成人如此，兒童亦然。兒童是天生的游戲者、探索者。數學是理性，是疑問，更是學生成長過程中樂趣的源泉。因此，數學教師要立足學生的長遠發展，以自己的專業素養開啟學生的數學視野，讓學生品嘗到“好吃又有營養”的數學大餐。特級教師莊慧芬執教的“圖形分割”一課，是蘇教版小學《數學》第九冊“多邊形面積計算”內容。教材內容如下：

在方格紙上畫平行四邊形ABCD，連接對角線AC、BD，它們的交點O稱為平行四邊形的中心。

過平行四邊形的中心O任意畫一條直線，把平行四邊形分成了兩個什么圖形？這兩個圖形完全一樣嗎？先畫一畫，再把分成的兩個圖形剪下來比一比。

你能用上面的方法把下面這些圖形分成完全一樣的兩部分嗎？先畫一畫，再與同學交流。

莊老師以自己的專業素養，在活動中引導學生經歷數學探究的過程，為學生打開一扇通往生動豐富的數學世界的窗口，現擷取幾個教學片段，與讀者共饗。

【片段一】

教師出示一些平面圖形：正方形、長方形、平行四邊形、正六邊形、正八邊形。

師：這些圖形認識嗎？六邊形特別嗎？每條邊都相等、每個角都相等的六邊形叫正六邊形。

師：今天我們要學習這些圖形的分割。

師：你能在這個正六邊形上畫一條直線，將它分成面積相等的兩部分嗎？

生1：在中間畫一條。

師：有多少種畫法？

（學生大都表示有4種，也有學生表示有6種。過了一會兒，有兩個學生表示有無數種。）

師：碰到復雜的問題可以從簡單的問題入手，你們覺得可以從哪個簡單的圖形入手？

生2：正方形，因為正方形的邊數少。

師：可是長方形也只有4條邊啊？

生3：正方形不僅邊數比較少，而且跟正六邊形相似，每條邊都相等。

【賞析】本教學片段中，莊老師沒有直接出示正方形讓學生研究，而是故意將題目變復雜，“難為”一下學生。這種顛倒法產生的沖突，實際上是在向學生巧妙地滲透“從簡單想起”的數學思想。數學思想的滲透，是師生間談話中的自然流露。“復雜的問題從簡單想起”，實際上是一種類比推理，是合情推理。“長方形也是四條邊啊”很自然地將學生的視角引向類比的關鍵：兩事物之間必須有相同或相似的屬性，相似程度越高，推理的可信度就越高。

【片段二】

師：正方形上畫一條直線將它分成面積相等的兩部分，這樣的直線有幾條。請大家拿出正方形，折一折，畫一畫。

（學生操作，教師找不同的方法展示。）

生1：上下對折，完全重合，再左右對折，然后對角對折。

師：看一看這4條邊，這4條邊雖然來自四面八方，但都是——

生2：相交于中間的點。

師：我們把這樣的點叫中心點，在折的過程中我們有了哪些新的發現？

生3：可以分成兩個梯形，這個梯形少的部分（指梯形的上底）在另一個梯形中也有，多的部分（指梯形的下底）在那個梯形里也有。這樣兩個梯形就一樣了。

生4：這條邊不是隨便畫的，是圍繞中心點畫的。

師：只要找到怎樣的直線，就可以將這個正方形分成面積相等的兩部分？

生5：我感覺只要通過中心點，就可以了。

師：這位同學很有感覺，但我們還需要驗證。

生6：可以剪開分成兩份，看能不能重合。

（學生操作，經過中心點任意畫一條直線，可以剪，也可以測量。）

師：我看到了兩種不同的驗證方法 ，一種是經過中心點，有意地畫一條不一定就能確定的直線再剪開，另一種是沿對折的折痕剪開，你更欣賞哪一種？

生7：第一種，因為第二種不需要驗證了。

……

【賞析】大部分學生都知道“正方形中有4條直線能將它分成面積相等的兩部分”，基于對這一學情的把握，教師及時地將這種經驗進行提升，引導學生發現問題的關鍵，都相交于中心點。當學生憑直覺發現其他的經過中心點的直線也可能將正方形平均分成面積相等的兩部分時，進行驗證的想法自然產生。學生在此感受到猜想—驗證的探究過程。在這個教學過程中，教師重視對學生的方法指導，特別是驗證的方法對學生的適當啟發。

【片段三】

師：長方形呢？平行四邊形呢？

師：這些想法是對的嗎？是的，還需要科學的驗證。你準備怎么研究？

生1：先找中心。

師：為什么不從頭開始？是的，我們經常是借鑒之前的規律進行新的研究。

（學生操作后交流。）

師：研究到這兒，我們似乎找到了規律，借助這樣的研究，我們來看一開始的那個問題，正六邊形能有多少條將它分成面積相等的兩部分的直線？

生2：無數條。這無數條直線都經過中心點。

（教師課件演示。）

師：正八邊形、正二十邊形呢？你想說什么？

生3：我感覺只要有中心點的圖形都有無數條將它分成面積相等兩部分的直線。

生4：我覺得三角形不可以。普通的三角形不可以，直角三角形不可以。

生5：等邊三角形也沒有無數條。

師：同學們有這么多猜想、追問，把掌聲送給大家！

師：在研究數學的過程中，最重要的是學會數學思考，對自己已有的結論產生新的猜想，這是非常難能可貴的。既然有了猜想與疑問就需要驗證，我給大家準備了一個正三角形，還準備了一個正五邊形。跟同桌先想一想，有沒有直線能將它分成面積相等的兩部分？如果有，有多少條？把你找到的畫出來。

（學生操作，交流。）

生6：正三角形找到了3條。找到中心點，隨便畫了經過中心點的一條線，結果發現不相等。

生7：經過正五邊形的中心點，只有5條能將它分成面積相等兩部分的直線。

生8：每個圖形不都是有無數條將它分成面積相等兩部分的直線。

生9：我發現了一條規律，邊數是雙數的正多邊形，有無數條將它分成面積相等兩部分的直線，邊數是單數的沒有無數條。

……

【賞析】在這個教學片段中，經歷了研究正方形、長方形、平行四邊形的過程，積累了確定中心點的經驗，正八邊形、正二十邊形的出現及相關的操作、驗證，進一步強化了“只要經過這個圖形的中心點的直線就可以將這個圖形分為面積相等的兩部分”這個結論，同時，這些素材的出現，也促使學生產生新的猜想：“是不是所有的圖形都有無數條將它分成面積相等兩部分的直線？”此前，學生經歷了猜想、驗證的過程，自然地想到要進行驗證，很快地發現這個猜想的缺陷，繼而又完善猜想。整個教學過程，教師給學生的空間很大，問題給學生提，方法也由學生想。學生積累了經驗，收獲了方法，課堂得以延伸。

總之，從這節課中，筆者體會到：

1.規律重要，但方法更重要。數學教學中，讓學生掌握知識、形成技能、發現規律固然重要，更重要的是讓學生知道怎么研究這些規律。正如課的最后莊老師引用畢達哥拉斯的話：“在數學的世界里，重要的不是我們已經知道什么，重要的是我們怎么知道什么的。”本節課，莊老師站在讓兒童學會數學地思考的角度，把握整個教學，讓學生經歷了觀察、嘗試、猜想、驗證得出結論的過程。最后，當學生以為規律要塵埃落定時，又產生新的疑問：所有圖形都有無數條將它分成面積相等兩部分的直線嗎？再次反思、驗證，向學生展示了探索規律的方法與路徑，不斷地猜想、驗證、質疑、完善。學生收獲的是思想方法，數學的活動經驗在操作與交流反思中積累與沉淀。

2.教師要有課程意識。數學不只有枯燥和呆板的一面，數學是生動與豐富的。兒童數學課是實踐活動課程，在活動中有數學思維的生長，數學思想的滲透、活動經驗的積累需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀。數學的世界有大量的素材，因此，教師應有課程開發意識，建立大數學教育觀。只有這樣，才能成為一個真正意義上的數學教師。

（作者單位：江蘇省南通市通州區西亭小學）

□責任編輯 周瑜芽

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