CDIO工程教育模式下的概率統計教學研究與實踐

周　鋼，朱泰英

CDIO工程教育模式下的概率統計教學研究與實踐

周鋼，朱泰英

本文探討了CDIO工程教育模式下概率統計課程的教學工作。就教學理念、理論教學與實驗教學無縫鏈接，分組報告教學、案例教學，豐富教學模式、改革考核評價體系等方面具體闡述了相關研究和實踐工作，為應用型本科學科基礎課教學提供了一個很好的借鑒。

概率統計；CDIO工程教育模式；實驗教學；分組報告；案例教學

CDIO工程教育模式是由美國麻省理工學院和瑞典皇家工學院等四所大學經過多年的探索研究形成的國際工程教育改革的最新成果。CDIO代表構思（Conceive）、設計（Design）、實現（Implement）和運作（Operate）。它將學科導向改變為項目導向，將應試教育轉變為應用能力教育，變強調知識的嚴謹性為注重項目訓練的完整性。概率論與數理統計是高等學校各專業重要的學科基礎課，涉及的知識面廣泛，與實踐聯系緊密，是應用性較強的一門課程。在CDIO工程教育模式下，結合課程自身的特點，開展概率統計課程教學研究，對實現應用型本科院校的培養目標有著重要的意義。

一、基本理念

在CDIO工程教育模式下，圍繞學校“技術立校、應用為本”的辦學定位，以“理論知識夠用為度，應用能力培養為先”為原則，重構概率統計教學內容，實現實踐教學和理論教學的無縫鏈接，著力推動分組討論教學、案例教學法、探究式學習、體驗式學習等多種教學方法，強調團隊學習（Team Study）和同伴指導（Peer Instruction），培養學生獲取知識的能力（自學能力），運用知識的能力（解決問題的能力），共享知識的能力（團隊合作能力），發現知識的能力（創新能力），傳播知識的能力（交流溝通能力），終身學習的能力（求知欲），為培養符合國際工程師互認體系《華盛頓協議》要求的技術本科人才提供概率統計學科基礎課層面的一體化支持。

二、具體措施

（一）理論教學與實驗教學無縫鏈接

理論教學突出概率統計的基本思想、基本理論和基本方法，該講透的地方絕不含糊，對于難點、重點盡量做到深入淺出。例如，在講利用概率性質計算事件的概率時，我引導學生把求概率看成計算相關韋恩圖的面積，結合韋恩圖的圖形表示，無論是加法公式、減法公式等內容的證明還是具體題目的計算都變得簡單易行。在講全概率公式時，我引入“抓鬮不分先后”的實際問題，用全概率公式解釋了這個日常生活中常用做法的理論依據，展示了概率統計無處不在的應用。貝葉斯公式是教學中的難點，但是我引導學生利用決策樹的方法解題，繞過了艱深晦澀的公式，以更加清晰易懂的形式解決相關問題。對于正態分布這個概率統計中的最重要的內容，我從概念的引入、公式的介紹、具體計算步驟的推導、結合圖形做題以及正態分布在確定公交車門的高度、體育比賽裁判積分規則的制定、6σ管理等方面的應用作了詳細的闡述，真正做到了該講透的地方絕不含糊。在講二維隨機變量的條件分布時，通過不同類型的例子以及解題中的細節，打消了學生在這個難點上的各種疑慮。在講參數估計和假設檢驗時，詳細介紹了分位數在公式推導過程中的作用，讓學生不僅知其然而且知其所以然。同時，在理論教學中，使用全英文教學的內容至少占到10%，以培養學生用英語交流溝通的能力。

實驗課的開設改變了概率統計課程一貫呆板的教學方式，減輕了學生學習中不必要的煩瑣計算和記憶公式的負擔。我們把Matlab軟件的使用融進教材，嘗試將概率論與數理統計的理論教學與上機實驗有機結合起來，并編寫了這本《概率論與數理統計實驗指導書》。實驗的內容包括：Matlab的基本使用方法、概率分布的數值計算與作圖、隨機變量數字特征的數值計算、隨機模擬、正態分布綜合實驗、數據統計、參數估計、假設檢驗等內容。這些實驗的取材緊密結合教材內容，是學生學習概率統計的組成部分和延伸補充，同時實驗內容簡單且比較容易操作，能激發學生的學習熱情，不需占用過多的課內時間。主要是培養學生的動手操作能力，實現了理論教學與實驗教學無縫鏈接。

（二）開展分組報告教學

分組的目的是調動學生的能動性，變填鴨式教學為自主式學習、體驗式學習，使每組的學生把老師交給的任務當作一個項目來完成。每個小組成員需要在一起分析問題、討論解決問題的方案、尋找外部資源（如去圖書館借書）以解決問題中的難點，上臺報告自己小組的成果。在這個過程中，學生之間交流溝通、相互指導，形成團隊聚集學習能量，不斷發現和創新解決問題的思路，當眾發表自己小組的結論，接受其他小組的質疑和檢驗，實實在在地將應試教育變為CDIO工程教育模式下的教育，培養學生各個方面的應用能力。

在教學實踐中，筆者讓學生自行組隊，2-3人一組。由于是自由選課，課堂上各個專業的學生都有，而且很多學生相互不認識，于是學生通過我組建的課程QQ群互相交流協調，最后經過一周的時間確定好了分組并選出了組長。接下來，筆者把連續型隨機變量（不含正態分布）這一節內容分成11個模塊，每個模塊可能是一個需要解釋的定義或一個需要證明的定理或一些需要說明的性質或一道需要求解的例題，這些都提前一周時間公布給學生，讓學生有充分的時間通力合作解決問題。最后，在某一節課的課堂上每個小組派一個代表上講臺面向全班同學講解。學生上臺報告時，我能感受到他們一個個都神采奕奕，精神面貌很好，臺下的各組學生在整個報告當場也有熱烈的互動，有些組不拘泥于老師給出的框架，還有一些延伸、擴展，超出了我的預期。分組報告教學的效果達到了CDIO工程教育模式的培養目標。

（三）開展案例教學

案例教學以理論教學為基礎，如果沒有扎實的理論知識和基本方法作基礎，學生在再好的案例面前也會束手無策，找不到解決問題的切入點，每節課從頭到尾都以案例教學為依托來完成所有教學工作，就顯得虛無縹緲，達不到理想的教學效果。所以，理論教學是基礎，案例教學是與理論教學相輔相成的。教學案例以培養學生的應用能力為目標，案例不同于課本中純粹的數學中的例子，也不同于一般的應用題，案例是在實際工作、生活和研究中遇到的有豐富實際背景，帶有一定復雜性和綜合性的問題。案例教學中選擇的案例，是和理論教學相匹配，圍繞培養學生的應用能力展開的。由于在校學生不可能在各行各業都實習一遍獲得實踐經驗，所以選擇的案例不宜過于專業化，否則學生將難以展開分析和提出問題的解決方案，這樣也就達不到案例教學的目的。案例教學讓學生真正成為學習主角，而教師則以引導為主，課堂上能形成教學互動，課堂上的案例教學往往需要大量的師生互動，花費的時間也很多，但是每門課的課時都是有限的，不可能把案例教學的全部過程都在課堂上完成。這就需要教師合理分配案例教學的時間，案例教學的一部內容可以在課堂上完成，剩下的內容可以交代學生在課后完成。

在講極大似然估計時，我引入下面案例：對于兩個因素-淀粉或糖，以及綠葉或白葉，下表記錄了自花授粉雜合子的后代觀測數（Fisher，1958）。根據遺傳理論，以上4個單元概率分別為0.25（2+θ），0.25（1-θ），0.25（1-θ）及0.25θ，其中θ（0＜θ＜1）是與因素相連接的參數，計算θ的最大似然估計和漸近方差，據此構造θ的95%置信區間。

類型觀測數淀粉綠葉1997淀粉白葉906含糖綠葉904含糖白葉32

很多教科書在講解最大似然估計時，一般都只涉及從服從某個分布的總體中取樣，然后根據樣本值對總體分布中的未知參數進行最大似然估計。但是最大似然估計也常用來解決多項單元概率問題。假設X1，X2，L，Xm是單元1，2，…，m內的觀測數，服從總數為n，單元概率分別為p1，p2，L，pm的多項分布，則X1，X2，L，Xm的聯合頻率函數是

這里，每個Xi的邊際分布都是（n，pi）二項分布，因此不獨立（受限于總和n），它們的聯合頻率函數不是邊際頻率函數的乘積，這與教科書上的例子不同。但我們在學排列組合時知道，n個元素分為不同的k組，每組內的元素不加區分，數目分別為r1，r2，…，rk，則排法共有：n！/（r1！r2！…rk！）r1+r2+…+rk=n，我們也就不難寫出單元問題的聯合分布的表達式。根據最大似然估計的大樣本理論可以求出漸近方差，從而據此構造處相應的置信區間。所以，這個案例既源于課本又高于課本，可以引導學生去思考，去根據所學的知識解決遇到的新問題，從而培養學生解決實際問題的能力。

同時，在講這個案例之前，我先把案例告訴學生，叫學生自己主動在課前討論分析這個生物學中的案例和課本上例子的異同，引導學生課前查閱相關數理統計的資料或者生物學資料，最后形成解決方案的文字稿，在課上全班討論解決方案的對錯及原因等等。這樣整個案例教學的全過程就很緊湊，課堂內外形成良性互動。

（四）豐富教學模式，改革考核評價體系

在大數據和移動互聯網風起云涌的互聯網時代，很多新的教學模式出現了，E-learning網絡教學平臺、微課和翻轉課堂就是對現有教學模式的有效補充。微課的核心工作就是用一個5-8分鐘的視頻展示教學大綱中的某個知識點（尤其是重點難點），教學視頻短小精煉，支持“移動學習”和碎片化學習。有了微課視頻的幫助，以先學后教為特征的“翻轉課堂”就可以收到更大的效果。不管是分組報告教學還是案例教學，學生通過課前零散觀看教學視頻，充分利用時間來預習，擴展課堂的時空界限，在課堂上才可能真正實現“翻轉”，在教學中才能形成有效的師生互動，才能真正調動學生的積極性，實現學生的自主學習。E-learning網絡教學平臺是一個更復雜、更綜合的教學互動平臺。在這個平臺上，學生可以通過課程bbs與任課教師和其他同學實現在線交流，也可以通過嵌入的學校郵件系統和移動短信平臺與任課教師實現離線交流。任課教師可以把微課視頻掛在平臺上給學生預習、復習，也可以發表在線作業并且讓學生在線提交作業，或者開展在線考試，通過大數據分析系統，了解學生知識點的掌握情況并及時調整教學進度，從而提高教學效果。

引進國外優秀教材，在中外合作辦學班級和創新試驗班等班級使用雙語教學，同時引進國外專家，部分授課內容由國外專家講授。對于不能開展雙語教學的班級，使用全英文教學的內容至少占到10%，以培養學生用英語交流溝通的能力。

概率統計的理論與實驗教學可以延伸到第二課堂，以滿足不同類別的學生的需求。面向普通本科學生，開設與概率統計課程相關的數據分析與R語言、漫話統計往事等通識課，提高學生的統計素養和統計分析能力、呼應時代與社會的需求；面向考研的同學，開設概率論與數理統計考研輔導課，幫助學生提升復習質量，打通上升通道。

建立平時表現考核、理論教學考核、實驗教學考核三位一體的考核評價體系。我們通過建立統一的作業集（活頁）、課堂分組報告、案例教學，把學生在這些過程中的表現一一記錄在冊，并且通過每周一小考（30分鐘），每章一中考（90分鐘）的形式，建立詳細的平時成績考核依據。在實驗教學中，要求學生每次提交試驗報告，根據學生的試驗報告給出試驗成績。在期末總評成績的構成中，平時成績、理論考核成績和試驗考核成績分別占到20%、60%和20%。

三、結語

在高等教育由精英教育向大眾教育的轉變的大背景下，為培養符合國際工程師互認體系《華盛頓協議》要求的應用型本科人才，CDIO工程教育模式無疑是一個有益的嘗試。對于CDIO工程教育模式下的學科基礎課的教學研究與實踐，存在很多需探索的問題，本文就以概率統計課程為例提供了一個很好的參考。

［1］Edward F.Crawley.重新認識工程教育：國際CDIO培養模式與方法［M］.北京：高等教育出版社，2009.

［2］楊韌，秦健秋.數學實驗——基于CDIO模式（第二版）［M］.北京：科學出版社，2015.

［3］劉瓊蓀，鐘波等.概率論與數理統計［M］.北京：高等教育出版社，2014.

責任編輯：姚旺

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1671-6531（2015）15-0088-03

2013年上海市《概率論與數理統計》重點課程建設項目

周鋼/上海電機學院數理教學部講師，碩士（上海201306）；朱泰英/上海電機學院數理教學部教授，博士（上海201306）。