制導彈藥末段目標截獲概率研究

劉驍，唐勝景，朱大林，郭杰

（北京理工大學飛行器動力學與控制教育部重點實驗室，北京100081）

制導彈藥末段目標截獲概率研究

劉驍，唐勝景，朱大林，郭杰

（北京理工大學飛行器動力學與控制教育部重點實驗室，北京100081）

針對末制導彈藥對地面目標攻擊時是否加入中制導環(huán)節(jié)，研究其末段飛行過程中與目標的幾何位置關系，采用快速計算與解析方法分析其打擊地面固定目標時導引頭對目標的角度截獲。通過空中散布橢球和地面散布橢圓的近似計算得到視場角計算公式，進而建立一般的數(shù)學模型，并從統(tǒng)計概率角度，得到末制導目標截獲概率，根據3σ原則判斷是否加入中制導環(huán)節(jié)。同時研究了零控脫靶量與末制導修正距離，結果表明末制導修正能力滿足零控脫靶量。仿真發(fā)現(xiàn)導引頭開機位置距離目標逐漸變小時，視場角的置信區(qū)間先減小、后增大。計算了不同干擾因素對視場角置信區(qū)間的影響，結果表明水平風對視場角分布的影響比側風的影響要大。

兵器科學與技術；末制導；目標探測；蒙特卡洛法；截獲概率

0　引言

遠射程始終是戰(zhàn)術武器設計追求的一個目標，本文研究有助推發(fā)動機的末制導迫擊炮炮彈便是增程武器的一種。但隨著制導彈藥射程的增加需要考慮是否加入中制導環(huán)節(jié)，另一方面制導彈藥進入末制導首先要得知目標方位信息，這可以在末制導前由導引頭探測獲得。由于誤差的存在，進入末制導后導引頭開機時不一定能發(fā)現(xiàn)目標。這需要在設計中加入中制導環(huán)節(jié)，以賦予其末制導時具有較好地初始位置與角度，以便導引頭能夠順利地發(fā)現(xiàn)與捕獲目標。但是中制導的加入使得制導彈藥成本增加，所以準確的判斷是否需要中制導環(huán)節(jié)，成為了關鍵問題。

導引頭截獲目標包含目標的距離截獲、角度截獲和速度截獲。導引頭截獲目標概率由（1）式計算［1］：

式中：Pm為導引頭雷達截獲概率；PD為距離截獲概率，制導設備正常下通常認為PD≈1；Pv為速度截獲概率，它需要考慮目標多普勒頻率落入導引頭濾波器組頻率寬內的頻率和目標回波的截獲概率，本文主要考慮Pα，即角度截獲概率。文獻［2］針對末段修正迫擊炮炮彈建立了激光探測器模型和目標方位模型。文獻［3］研究了脈沖啟控時刻、脈沖個數(shù)和修正模式對末段修正迫擊炮炮彈修正效果的影響。文獻［4］針對遠程打擊武器，用蒙特卡羅法計算了末制導截獲概率。文獻［5］分析了導彈角度截獲概率和距離截獲概率的數(shù)學模型，并介紹了目標截獲概率的仿真計算方法。文獻［6］分析了導彈的中末制導和交接前后目標狀態(tài)的估計誤差，以及截獲概率與交接班時彈目幾何位置關系。文獻［7］介紹了影響協(xié)同制導的主要誤差及誤差特性，建立了中末制導交接班目標截獲概率計算模型，得到了截獲概率與誤差的定量關系。文獻［8］與文獻［9］分析了自尋地導彈末制導獲得目標信息的要求并進行了彈道優(yōu)化。文獻［10］對導彈制導系統(tǒng)開始導引的啟控點進行了研究。這些文獻的共同特點是：

1）基本只考慮了彈道落點的散布情況，即地面散布橢圓，而沒有考慮在飛行中導引頭開機時，由于誤差的存在也是有散布的，即空中散布橢球。

2）提及空中散布的文獻，沒有從一般情況，分析橢球半軸的邊界點與地面落點對應情況。

本文針對末制導迫擊炮炮彈類型的制導彈藥打擊地面固定目標，建立數(shù)學模型并對制導彈藥與目標的幾何位置關系進行研究。既考慮到導引頭開機點空中散布情況，也考慮到地面落點的散布橢圓，分析了二者邊界點對視場角的計算影響，從統(tǒng)計概率角度得出一般結論，為判斷是否加入中制導環(huán)節(jié)提供了參考依據。

1　數(shù)學建模

假設末制導迫擊炮炮彈發(fā)射后，首先經過助推快速爬升，飛過最高點后由彈載設備判斷彈目距離，小于導引頭探測距離后，導引頭開機進入末制導，直至摧毀目標。因為有助推階段，整個飛行距離較長，加之導引頭作用距離有限，需要考慮中制導是否加入的問題。但如果末制導導引頭開機時能夠迅速捕獲目標，則可以不加中制導。接下來對上述問題建模，并計算導引頭視場角。

1.1導引頭視場角快速計算

如圖1所示坐標系為地面坐標系，迫擊炮炮彈發(fā)射點為原點。發(fā)射后經過助推階段，飛過最高點后導引頭開機工作，之后進入末制導直至目標被摧毀。假設導引頭光軸與迫擊炮炮彈彈軸重合，導引頭視場角為±Θ探測區(qū)域形成圓錐面，導引頭光軸與地面相交于C點。

圖1　導引頭視場角幾何示意圖Fig.1 Geometric graph of FOV angle of seeker

如果圓錐面能夠覆蓋目標點A，則表示導引頭能夠探測到目標方位，從而進入末段導引。進一步，若圖1中△ABC中∠ABC，即圓錐半頂角能夠小于導引頭視場角給定值，也可以證明導引頭能夠看見目標點。如果目標點A在圓錐面覆蓋范圍之外，則導引頭不能發(fā)現(xiàn)目標。此時需要加入中制導環(huán)節(jié)。

在彈道仿真中，可以得到以射程中間誤差和方向中間誤差為半軸的等概率密度橢圓［11］。在n次仿真實驗后，導引頭開機位置點B在空間中是n個散布點，一般情況下這n個散布點可以近似為一個橢球。空間散布點對應地面上的散布點，同理這地面上n個散布點可以近似為一個橢圓。如圖2所示。

圖2　目標視線角示意圖Fig.2 Schematic diagram of target line of sight

圖2中橢球和橢圓可以表示為

式中：x0、y0、z0分別是n個離散點在地面坐標系下，對應3個軸的均值，即橢球的中心點；xC和yC分別是地面散布點在x和y軸方向的均值，即C點的橫、縱坐標；a、b、c與a1、b1分別是橢球和橢圓的半軸。如圖1所示，橢球上坐標點B與落地點橢圓上的點A和橢圓中心點，這三點形成三角形。假設橢圓中心為導引頭光軸與地面交點。橢球上一點為導引頭開機位置，假設目標點在地面橢圓范圍內。則△AiBjC（i=1，2，3，4；j=1，2，3，4，5，6）中∠AiBjC即為視場角。由于AB各有4、6個點，所以∠AiBjC有24個值，可以組成一個矩陣。根據余弦定理，

式中：ai、bj、c分別為三角形三邊長度。通過彈道仿真，可以計算3個頂點的坐標，進而可以求出其大小，最后與彈軸偏離視線的平均角度相加得到視場角大小。從（4）式可以看出，a、c取最大，同時bj取最小時∠AiBjC達到最大值。進一步分析A、B取最遠端時a到達最大，b為橢圓短半軸時最小。假設x軸方向飛行距離遠大于另外兩軸的飛行距離，那么x軸方向的均方差σx較大，a=3σx也較大，所以起主要作用。故∠AiBjC最大值應為沿x方向的長半軸最大值，即橢球與橢圓端點形成的視場角。

這種方法沒有考慮目標點具體位置，只假定其在地面散布橢圓內部，而直接計算最壞的情況，即橢球橢圓端點形成的視場角大小，如果這種情況下能夠小于給定的視場角，則說明一定可以探測到目標，計算效率高，故稱快速計算。

1.2導引頭視場角解析法與統(tǒng)計特性

導引頭視場角的解析法如下：通過多次的飛行仿真模擬，得到A、B、C點的位置。其中A點坐標通過無控理想彈道仿真得到，這里認為無控理想彈道的落點為目標點。B點是由打靶仿真得到。C點的求解假設導引頭無安裝角，光軸視線與彈軸視線重合。B點沿彈軸方向形成一條斜線，它與地面的交點即為C點。按照空間直線表示方法，

式中：m、n、p為這條直線的方向數(shù)，（m，n，p）這組向量的方向余弦是直線的方向余弦。同時按照坐標變換，表征姿態(tài)的俯仰角?、偏航角ψ與方向數(shù)有如下關系：

已知導引頭開機點坐標（x0，y0，z0）即B點，再令（5）式中y=0，可以求出空間直線與地面的交點C.計算出一組三坐標（A、B、C），可以由余弦定理解出這組視場角∠ABC的大小，以上內容就是導引頭視場角解析法。進一步計算所有仿真中視場角的大小，得到其均值與標準差和置信區(qū)間。將計算得到的置信區(qū)間與已知的導引頭視場角進行比較，可以判斷末制導導引頭開機時能否探測到目標。為了保證導引頭能夠有效探測到目標，采用3σ原則，即概率大于99.7%才認為探測成功。

現(xiàn)在考慮這樣一個問題，假設導引頭無安裝角，光軸與彈軸方向相同，那么導引頭開機位置也十分重要，由于迫擊炮炮彈在不同開機位置會有不同姿態(tài)，而姿態(tài)直接影響導引頭光軸方向，過早或過晚的開機可能出現(xiàn)目標不在視場范圍內，進而無法探測到目標。如圖3所示，過早的開機例如B1點開機，雖然視場探測范圍大，但探測方向不指向目標區(qū)域，所以探測不到目標點A.而導引頭過晚的開機會使視場范圍過小，同樣無法探測到目標。所以選定導引頭合適的開機位置才能使目標落在導引頭視場區(qū)域內。

圖3　導引頭開機位置示意圖Fig.3 Starting-up location of seeker

具體開機位置可以通過彈道仿真確定其范圍。

2　仿真結果與分析

2.1擾動因素分布范圍

針對圓錐半頂角的情況，本文采用蒙特卡洛模擬打靶，從概率角度分析視場角覆蓋問題。假設導引頭視場角Θ=±8°，考慮的擾動因素及其分布類型如表1所示。

表1　擾動因素及其分布范圍Tab.1 Disturbance factors and their distribution

2.2導引頭視場角散布仿真結果

彈道仿真初始條件：初速v0=278 m/s，射角θ0=45°，500次模擬獲得的導引頭開機點散布結果如圖4所示。

此時根據導引頭開機點的分布，首先計算x0、y0、z0，它們分別是離散點在地面坐標系下對應3個軸的均值，即橢球的中心點；接下來得到在地面坐標系下橢球中a、b、c 3個半軸的長度，進而得出迫擊炮炮彈飛行中，導引頭開機點形成的概率橢球。如圖5所示。

如圖5所示的概率橢球，內部包括邊界點即是導引頭控制開機位置，圖中基本覆蓋所有空中散布點，計算結果滿足3σ原則，即導引頭開機點落在橢球范圍內的概率大于99.7%。接下來計算導引頭開機點在地面坐標系下的中間偏差。中間偏差的大小反映了散布點距離均值中線點的偏離程度。表2為導引頭開機點散布統(tǒng)計結果。

圖4　導引頭開機點散布Fig.4 The distribution of the seeker starting-up points

圖5　導引頭開機點散布橢球Fig.5 Distributed ellipsoid of the seeker starting-up points

表2　導引頭開機點散布統(tǒng)計結果Tab.2 The distribution of the statistical results of theseeker starting-up points

表2中Ex、Ey、Ez為導引頭啟動點在地面坐標系下的中間偏差。其中Ex=0.674 5σx，Ey、Ez也與對應的均方差有類似關系。這500個空間散布點對應地面500個散布點，地面上的散布點可以近似為一個橢圓。橢圓的長半軸是這些點在x方向的均方差的3倍（3σ原則），同理可以求出橢圓的短半軸。如圖6所示。

從圖6可以看出，僅有極少點在橢圓范圍外，但滿足3σ原則，即仿真結果中落在橢圓范圍內的概率大于99.7%，故該概率橢圓可以反映迫擊炮炮彈落點分布。

2.3零控脫靶量

仿真初速v0=278 m/s，射角θ0=45°，由上述彈道仿真可得結果：交班時刻：水平方向（x方向）零控脫靶量均值為78 m，側向（z方向）零控脫靶量均值為28 m.兩方向均方差分別為99 m與35 m.

圖6　地面落點散布橢圓Fig.6 The distribution of impact points in ellipse

分析迫擊炮炮彈從距離目標1.0 km、2.5 km處舵面開始動作的修正能力，舵偏角取為5°，獲得的仿真結果如表3所示。

表3　控制能力仿真結果Tab.3 The simulation results of maneuvering ability

由表3可以看出，迫擊炮炮彈的修正能力可以滿足交接班時刻的零控脫靶量。這意味著如果導引頭能夠捕捉到目標，那么制導迫擊炮炮彈可以通過控制修正，進而準確打擊目標。

接下來首先按照快速求解的方法，判斷是否一定要加入中制導。結果如表4所示。

表4　視場角∠AiBjC矩陣Tab.4 FOV angle∠AiBjC matrix

考慮視場角矩陣的最大值4.74°與彈軸偏離視線的平均角度為7.2°相加（這里為500次仿真的均值），則所需視場角為11.94°大于導引頭視場角Θ= ±8°。但由于部分值與彈軸偏離視線的平均角度之和小于導引頭視場角Θ=±8°，所以還不能判斷一定需要加入中制導環(huán)節(jié)。

2.4視場角解析結果與散布概率統(tǒng)計

接下來考慮一般情況的仿真分析。計算∠ABC首先獲得點B坐標和當前俯仰角，其次求出迫擊炮炮彈沿光軸方向與地面交點C，目標點A由無控仿真理想落點確定。得知三點坐標后，可以由余弦定理解出∠ABC大小。按照前面的分析，選定6個導引頭開機位置，分別選取距離目標2 250 m、1 750 m、1 500 m、1 250 m、1 000 m、750 m位置開機。經500次彈道仿真，視場角計算結果如圖7和圖8所示。

圖7　視場角分布（距離目標2 250 m）Fig.7 The distribution of FOV angles（The distance from the target is 2 250 m）

圖8 視場角分布（距離目標1 500 m）Fig.8 The distribution of FOV angles（The distance from the target is 1 500 m）

圖7仿真初值為278 m/s，45°發(fā)射角。進一步求出視場角分布的均值為8.1°，均方差為1.1°.3σ置信區(qū)間即為（4.8°，11.4°），視場角最小為5.06°，最大為11.24°.仿真實驗的置信區(qū)間最大值在8°以外，說明導引頭開機時不能以大于99.7%的概率看到目標點。由圖8得出仿真實驗的置信區(qū)間范圍在8°以內，說明導引頭開機時能夠看到目標點的概率大于99.7%.

圖9初始條件不變，得出置信區(qū)間最大值為10.9°，大于8°，這說明導引頭開機時的探測概率不滿足要求。對交班時刻零控脫靶量與視場角散布結果分析得到相應統(tǒng)計值，匯總到表5、表6.

圖9　視場角分布（距離目標750 m）Fig.9 The distribution of FOV angles（The distance from the target is 750 m）

表5　不同開機位置零控脫靶量統(tǒng)計結果Tab.5 Zero-effort miss results in different boot positions

由表3、表5可以看出迫擊炮炮彈的修正能力可以滿足導引頭不同開機位置的交接班時刻的零控脫靶量。

因為圓錐半頂角幾何上沒有負值，所以表6置信區(qū)間最小為0°.如表6所示，導引頭在距離目標2 250 m開機時，3σ置信區(qū)間為（4.8°，11.4°），這說明目標點沒有全部落在視場范圍內，即置信區(qū)間最大值超過導引頭視場角能提供的最大值8°.而隨著導引頭開機距離的靠近，在1 250 m的3σ置信區(qū)間為（0°，6.2°），說明目標點全部落在導引頭范圍內的概率大于99.7%，即認為完全看見目標點；而導引頭在750 m開機時，3σ置信區(qū)間為（0°，10.9°），置信區(qū)間又不在8°以內，說明又出現(xiàn)目標點沒有全部落在視場范圍內。造成這種視場角先減小、后增大的原因是因為：若導引頭開機過早，則不能對準目標區(qū)域，無法探測到目標。此時導引頭的指向方向與目標點的方向夾角，也就是視場角較大；而導引頭開機過晚雖然指向目標方向，但視線距離過短，故不能覆蓋目標點。所以通過置信區(qū)間可以判斷目標截獲概率，同時導引頭開機范圍也可以從表6中獲得。

要說明的是：本文采用3σ原則，探測概率要求要超過99.7%，故指標較為嚴格，實際工程應用可以提出對應的探測概率的指標，相應計算方法仍可參考本文。

表6　不同開機位置視場角散布統(tǒng)計結果Tab.6 View angle distribution results in different boot positions

2.5單一擾動因素對視場角的影響

接下來討論單一因素對目標截獲概率的影響。針對上文提出的9種干擾因素，單一施加于彈道仿真過程中。得到每種仿真對視場角大小的分布。計算每種干擾下的視場角均值與均方差大小，得到視場角的置信區(qū)間。仿真初始條件為：初速v0=278 m/s，射角θ0=45°，導引頭開機位置為距離目標2 000 m，擾動大小如表7所示，擾動因素分布均為正態(tài)分布。結果如表7所示。

由表7可以看出：水平風對視場角分布的影響比側風的影響要大；彈道傾角、彈道偏角和初始速度偏差對視場角置信區(qū)間影響不大，小于0.1°；初始角速度ωy0與ωz0對視場角分布影響可以忽略；點火時間對視場角散布影響較大，僅次于水平風的影響；推力偏差對視場角置信區(qū)間大小影響體現(xiàn)在均方差為0.3°.

3　結論

本文針對制導迫擊炮炮彈是否加入中制導環(huán)節(jié)，首先建立末制導過程中目標與迫擊炮炮彈的幾何關系模型，通過概率橢球與概率橢圓的近似計算，得到導引頭視場角的公式，即快速判斷是否一定要加入中制導環(huán)節(jié)的計算公式。其次建立更一般的導引頭視場角計算理論即解析方法，進而可以利用置信區(qū)間判斷末制導截獲目標概率。采用這樣的理論方法可以有效判斷是否采用中制導。仿真中利用蒙特卡洛模擬打靶分析，給定初始條件，經過打靶仿真得到統(tǒng)計結果，根據3σ置信區(qū)間得到多種開機位置的目標探測概率。發(fā)現(xiàn)隨著導引頭開機位置距離目標逐漸變小時，視場角的置信區(qū)間先減小、后增大，這說明導引頭開機位置要合適，過早或過晚的開機都無法發(fā)現(xiàn)目標。計算了交接班時刻的零控脫靶量和迫擊炮炮彈的控制修正能力。計算表明，通過控制系統(tǒng)的修正能夠覆蓋脫靶量，進而準確地打擊目標。最后針對多種干擾因素，分析不同干擾對視場角置信區(qū)間大小的影響。分析研究得到結論：水平風對視場角分布的影響比側風的影響要大，并且對視場角置信區(qū)間的影響也十分明顯，需要重點考慮。

表7　不同干擾因素對視場角散布的影響Tab.7 The effects of different disturbance factors on FOV angle distribution

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Research on Target Acquisition Probability in the Terminal Guidance of Guided Munition

LIU Xiao，TANG Sheng-jing，ZHU Da-lin，GUO Jie
（Key Laboratory of Dynamics and Control of Flight Vehicle of Ministry of Education，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China）

The addition of the midcourse guidance in the guided munition attack and the geometrical position between the missile and the target during the missile flight are studied.The key analysis focuses on the angle of the target intercepted from the seeker when the missile attacks the ground fixed target.The fast calculation method and the analytic method are put forward.In the result of the approximate calculation which is from the space distribution ellipsoid and the ground distribution ellipse，the view angle calculation formula is derived.Furthermore，a general mathematical model to get the target acquisition probability from the view of statistical probability is created.According to the 3σ principle，whether to add the midcourse guidance is decided.The zero-effect miss and the maneuvering ability of the guided munition are researched.The results show that the maneuvering ability of the guided munition covers the zeroeffort miss.The confidence interval of the view angle first decreases and then increases when the distance between the seeker and the target decreases.Finally，the influences of different disturbance factors on the view angle's confidence interval are calculated.The calculated results show that the wind in x direction has more influence on the view angle than the wind in z direction.

ordnance science and technology；terminal guidance；target detection；Monte Carlo meth-od；intercept probability

TJ765.3

A

1000-1093（2015）02-0287-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.02.014

2014-03-14

劉驍（1988—），男，博士研究生。E-mail：liuxiao88525@163.com；唐勝景（1959—），男，教授，博士生導師。E-mail：tangsj@bit.edu.cn