兩種供應模式下備件協同訂購策略優化研究

王慎，李慶民，李華，阮旻智

（1.海軍工程大學兵器工程系，湖北武漢430033；2.海軍91115部隊，浙江舟山316000；3.海軍工程大學科研部，湖北武漢430033）

兩種供應模式下備件協同訂購策略優化研究

王慎1，2，李慶民3，李華1，阮旻智3

（1.海軍工程大學兵器工程系，湖北武漢430033；2.海軍91115部隊，浙江舟山316000；3.海軍工程大學科研部，湖北武漢430033）

備件保障系統補充庫存時，除實施常規補給外，還會采用緊急訂購滿足備件短缺需求，以減少裝備故障停機時間。針對上述兩種供應模式下多站點訂購策略聯合優化問題，建立了以復合備件滿足率為約束、單位時間期望成本為目標函數的協同訂購解析模型；基于拉格朗日因子和策略迭代方法，給出了一種啟發式優化算法。為模擬備件保障過程，建立了相應蒙特卡羅仿真模型，并將解析模型優化結果與遺傳算法優化的仿真模型進行了對比。結果分析表明，解析模型不僅能夠提供近似最優解，而且具有良好的運算效率。

運籌學；備件；協同訂購；庫存；優化

0　引言

隨著軍事裝備自動化、集成化要求不斷提高，裝備故障停機往往造成昂貴的損失，因此對于備件短缺后延遲供應時間的要求越來越短，僅靠從上級站點常規補給的方法已經無法滿足任務執行需要。相關資料顯示，在3種主要停機因素中，等待備件所造成的停機時間已經超過修復性維修和預防性維修停機的總時間，成為制約裝備戰備完好性提高的瓶頸［1］。這就需要裝備使用現場除平時向后方倉庫進行常規訂購外，還應在庫存備件短缺時，由應急保障站點進行緊急補貨，以減少裝備停機帶來的經濟及機會損失，即實施常規補給依靠后方倉庫、庫存不足時由應急保障站點緊急供應的復合式備件保障策略。

與常規補給相比，緊急供應需要增加保障設施，具有較短的訂購提前期和額外的成本。目前，針對該模式下的備件訂購問題，國內外學者已進行了一定研究。Moinzadeh等［2］針對連續檢查策略下單級庫存系統，第一次提出了常規補給及緊急供應中再訂購點和再訂購量的聯合優化問題，并使用枚舉法進行求解；Johansen等［3］在最多只有一個未交付常規訂單的假設下，將凈庫存量及未交付訂單剩余時間作為系統狀態，采用半馬爾可夫決策過程對緊急供應的訂購策略進行優化；Axsater［4］放寬Johansend模型中假設條件，給定常規補給再訂購點和再訂購量，采用啟發式算法求解緊急訂購的觸發條件和訂購數量。Van Wijk等［5］、Howard等［6］指出可根據備件短缺發生的規律，選取恰當的緊急訂購啟動時機，預防常規補給交付前庫存不足事件的發生。Kranenburg等［7］在庫存部分共享的假設下，對同級站點間緊急橫向轉運問題展開研究；Kutanoglu等［8］、Purnomo等［9］放寬可修復備件控制多級技術（METRIC）中僅有一個供貨站點的假設，建立了橫向庫存調整和后方補貨兩種緊急供應模式并存的多渠道庫存模型。上述文獻將應急保障站點當作無限備件源，僅對單個站點訂購策略或同級站點間庫存橫向調整問題進行了研究。在供應鏈協同訂購優化方面，Axsater等［10］建立了兩級庫存系統再訂購點協同優化模型。阮旻智等［11］在隨機延誤時間假設下，對多站點備件協同訂購模型進行了研究。王慎等［12］在串件拼修條件下，對備件維修供應系統中庫存動態配置管理問題展開研究。上述文獻僅考慮了常規補給下多級保障系統庫存協同控制問題。

盡管國內外學者在相關領域已取得了一些研究進展，但在建立模型時僅考慮多供應模式、多等級、多參數等因素中某一方面，而工程實踐中這些因素往往是共同出現的。比如，應急保障站點對多個基層級站點提供緊急補貨服務時，自身也需要向后方倉庫進行備件訂購；某個基層級站點的訂購策略選擇會影響到應急保障站點的庫存狀態，進而影響到其他基層級站點的服務水平。這就需要在管理人員在確定庫存控制參數時，考慮整個保障系統內訂購策略的耦合關系。為解決該問題，本文針對后方倉庫、應急保障站點及裝備使用現場組成的備件供應系統，在常規補給與緊急補貨兩種供應模式下，對多級站點再訂購點、再訂購量聯合優化問題展開研究。

1　問題描述及假設

基層級（裝備使用現場）、中繼級（應急保障站點）、后方倉庫組成的備件保障系統如圖1所示。設任一基層級站點j的備件需求率服從參數為λj的泊松分布，采用常規供應依靠后方倉庫、備件短缺時由中繼級緊急補貨的復合式訂購策略：定義庫存水平IL為“現有庫存OH+待收訂單-備件短缺數”?；鶎蛹塲在日常運作中連續檢查自身庫存水平ILj，當ILj隨備件消耗下降至再訂購點Rj時，向后方倉庫發出訂購量為Qj的備件需求；訂購提前期內若發生現有庫存不足（OHj＜0）事件，則立刻向中繼級發送補貨申請，中繼級在現有庫存大于0時就以緊急供應模式將備件發送到相應站點。在保障基層級站點的同時，中繼級也采用（R0，Q0）的訂購策略，當庫存水平IL0下降到R0時，向后方倉庫發出訂購量為Q0的訂購申請。設后方倉庫的庫存量足夠大，不會因庫存不足而產生補給延誤，基層級備件消耗及訂購過程示意如圖2所示。

在上述過程中，雖然由基層級站點看來，被緊急供應滿足的需求同樣是在本站點延遲交付，但從常規供應管理者角度，這些需求已經轉運到中繼級，不再由未來的常規訂單滿足。因此，在建立各站點（R，Q）策略時，基層級庫存水平定義為“現有庫存+待收常規訂單”，不考慮備件短缺數和未交付緊急供應訂單；中繼級庫存水平仍為“現有庫存+待收訂單-備件短缺數”。

2　成本及滿足率模型

協同訂購策略優化的目標是在服務水平指標約束下，合理規劃各級站點訂購方案，令系統長期運行費用最低。備件滿足率是指單位時間內庫存滿足需求數與總需求量之比的期望值，是衡量備件供應服務水平的典型指標［1］。本節首先以聯合訂購策略為優化變量，分別建立系統及各級站點的單位時間期望成本和基層復合滿足率模型?？杀硎緸?/p>

式中：（R0，Q0）表示中繼級站點的訂購策略；（Rj，Qj），j=1，…，N為N個基層級站點的訂購策略。設G、g0、gj分別為系統、中繼級、基層級的單位時間期望成本。因基層級與中繼級訂購策略相互耦合，從而g0為所有站點訂購策略的函數，則G可表示為

基層級平時消耗庫存備件，庫存不足時由中繼級緊急補貨。因此，基層復合滿足率EFR定義為單位時間內自身庫存、緊急供應滿足需求的比率，同樣為的函數。設ωj（Rj，Qj）為基層庫存滿足率、為中繼庫存滿足率，易知基層復合滿足率可表示為

下面對（2）式與（3）式中基層及中繼級成本、滿足率計算公式進行推導。

圖1　多級備件保障系統Fig.1 Multi-echelon support system for spare parts

圖2　基層級備件消耗及訂購過程Fig.2 Demand and ordering process of spare parts in base site

2.1基層級成本及滿足率計算

規定基層級j訂購策略滿足Rj＜Qj的約束條件，則由第1節中基層級備件消耗、訂購過程及泊松需求可知，基層級庫存水平是以Rj+Qj為常返態的更新過程。相鄰兩次Rj+Qj狀態之間的時間為一個訂購周期。根據更新過程理論，只需以訂購周期內參數期望值為研究對象，即可求得基層級成本和滿足率的計算公式。

訂購周期可分為備件消耗期和訂購提前期兩個階段。備件短缺事件僅會發生在訂購提前期內。發生備件短缺時，需求將轉運至中繼級。設基層級j常規訂購提前期為Lj，提前期內緊急供應的備件期望數為ELS（Rj）.因基層級需求服從參數為λj的泊松分布，則ELS（Rj）可由（4）式計算：

根據ELS（Rj），可得訂購周期初始時刻的現有庫存期望值E（OHj）表達式為

因訂購周期初始時刻的現有庫存與訂購周期內總需求相互獨立，訂購周期初始時刻交付的備件中單件產品的平均持有時間可表示為E（OHj）/λj+ Qj/2λj.因此，訂購周期內的期望庫存持有成本EHC即為

設pj為單個產品單位時間短缺造成的損失，為緊急供應產生的固定費用（運輸、管理成本等），tj為緊急供應需要的備件等待時間，則單個產品緊急供應費用πj可表示為

設hj為單個產品單位時間庫存持有費用，Aj為固定訂購費用，則基層級站點j訂購周期內期望成本Cj（Rj，Qj）可表示為

因訂貨周期內的期望需求數為Qj+ELS（Rj），則訂購周期期望長度Tj（Rj，Qj）可表示為

根據更新過程理論可知，庫存站點單位時間期望成本gj（Rj，Qj）可表示為訂購周期內期望成本Cj（Rj，Qj）與訂購周期期望長度Tj（Rj，Qj）之比，即

由gj（Rj，Qj）定義可知，gj（Rj，Qj）中因需求轉運至中繼級造成的損失為“πj×基層j單位時間內平均缺貨數”。將該值除以“πj×基層j單位時間內平均需求數”，即為（Rj，Qj）策略下基層庫存保障失敗的比例。而gj（Rj，Qj）中緊急供應費用可分離為bj·ELS（Rj）/Tj（Rj，Qj），因此基層庫存滿足率ωj（Rj，Qj）表示為

2.2中繼級成本及滿足率計算

基層級在庫存不足時，會將需求發送至中繼級。建模時將這一備件申請過程近似為泊松過程，則中繼級備件需求率λ0可表示為

從裝備使用角度出發，中繼級備件短缺不會直接產生損失，其損失是因基層級短缺而間接產生的。中繼級發生的備件短缺中，只有一定比例會對基層級j產生影響，其計算公式為

因此，中繼級單個產品單位時間內短缺損失p0可表示為

在上述近似下，中繼級站點可用單站點（R，Q）策略下庫存模型進行建模。定義中繼級凈庫存NI0為“現有庫存-備件短缺數”，設IL0為中繼級庫存水平、L0為訂購提前期，則在穩態情況下有

（15）式中D（L0）為訂購提前期內備件需求數，則在IL0=n條件下有

設C0（n）為IL0=n條件下單位時間內庫存持有及短缺成本、h0為單個產品單位時間內持有費用，則

穩態情況下IL0滿足［R0+1，R0+Q0］上的均勻分布，設g0（R0，Q0）為中繼級單位時間內期望成本，則

需求近似為泊松過程，則中繼級庫存滿足率ω0等于中繼級凈庫存大于0的概率［3］，即

至此，將（1）式～（19）式聯立，即可得到保障系統單位時間期望成本及基層級復合滿足率計算公式。

3　模型優化算法

3.1協同訂購策略優化

由（3）式可知，當中繼級滿足率ω0給定時，基層級站點j訂購策略選擇將不會影響到其他站點的復合滿足率。因此，分兩個階段對模型進行迭代求解：首先給定中繼級滿足率為，在基層庫存滿足率ωj約束下，以各站點成本函數最小化為目標，分別求得各站點最優策略；其次，將前一階段得到的最優策略作為各站點訂購策略，以為約束，求得此時中繼級最優策略（R0， Q0）及系統總成本，并與上輪計算的系統成本比較，較小值對應各站點策略即為當前最優策略。循環迭代上述過程，直至遍歷完ω0的全部取值范圍。

設ηmax=max（η1，η2，…，ηN），則根據（3）式有ω0＞ηmax時各基層站點自身庫存滿足率ωj=0，即此時各站點不存儲備件完全依靠中繼轉運。由此可知ω0的取值范圍不會超過ηmax.選取恰當的增量Δω0后，具體優化算法如下所示：

3.2基層級策略優化

協同訂購策略優化算法步驟2中任一基層站點策略優化問題，利用（3）式可轉化為如下模型（各站點解法相同，下文不再出現標識站點的角標j）：

因滿足率ω為緊急供應費用π的單調不減函數，可采用以下拉格朗日方法求解該問題：設π0為基層級規定的緊急供應費用，忽略約束條件，計算π（1）=π0時的最優策略（R（1），Q（1））；將（R（1），Q（1））代入（11）式，檢查當前滿足率是否達到約束條件；若未達到，增加轉運費用至π（2），再次計算π（2）下最優策略（R（2），Q（2））.重復上述過程，直至找到滿足約束條件的最小轉運費π（n）.該方法的關鍵是“如何以g（R，Q）最小為目標，對再訂購點R和訂貨量Q進行聯合優化求解”。

3.2.1無約束下優化算法

基層級在現有庫存為0時，會將需求轉運至中繼級。因此可將基層級站點當作缺貨不補原則下的（R，Q）庫存模型。當前對于這類模型在泊松需求下的優化雖然結果精確，但建模復雜、運算效率低［3］。為此，本節基于半馬爾可夫決策過程中策略迭代優化思想，提出一種簡便的求解方法。設當前策略為（RN，QN）、期望成本為gN，定義策略改善函數TgN（R，Q）為

若策略（R*，Q*）滿足：

則有g（R*，Q*）≤gN.為構造滿足（23）式的策略，可令（R*，Q*）滿足：

此時有

即g（R*，Q*）≤gN.為此，對TgN（R，Q）分別關于R和Q求偏導，并令其等于0，可得

在上述討論的基礎上，給出如下求解步驟：

1）選擇初始策略（RN，QN），根據（11）式求出gN；

2）將QN、gN代入（25）式，求出相應R值，設其為R*；

3）將R*、gN代入（26）式，求出相應Q值，設其為Q*；

4）利用（11）式，計算g*=（R*，Q*）.設e為指定誤差容限，如果|g*-gN|≤e，則迭代停止；否則，令RN=R*，QN=Q*，gN=g*，返回步驟2.

3.2.2滿足率約束下優化算法

因滿足率ωπ是π的單調不減函數，可以從π0開始逐漸增加轉運費用π，在不同轉運費用下使用3.2.1節迭代方法獲得最優策略，直至所得策略滿足約束條件。從實際計算過程可知，當轉運費用改變量較小時，從上一輪轉運費用的最優策略開始，只需很少的迭代次數就可以找到當前優化策略。具體算法如下所示：

1）令轉運費用π=π0，選擇費用增量Δπ；

2）選擇（RN，QN）為初始策略，使用3.2.1節迭代算法尋找最優策略；

4　仿真模型

基于離散事件仿真工具ExtendSim，建立兩種供應模式下多級協同訂購仿真模型，對不同訂購方案進行對比分析?；鶎蛹壏抡嫣幚砹鞒倘鐖D3所示，仿真開始時，根據的輸入值，以服從［R+1， R+Q］均勻分布的隨機數，初始化各站點庫存水平IL、凈庫存量NI.仿真過程中，以Create模塊模擬基層站點需求，用Unbatch模塊將需求信號拆分為兩個線程：每次需求到來時，常規供應線程檢查當前庫存水平，在下降到R時發出訂購量為Q的訂購申請；緊急訂購線程檢查現有庫存，在小于0時將需求轉運至中繼級。

圖3　基層級模塊仿真處理流程Fig.3 Simulation flow chart of base site module

模型以站點單位時間成本之和、備件滿足率為輸出。單個站點成本采用以下方法計算：用Value庫中DBread模塊讀取當前庫存狀態OH、向后方訂購次數OrderNum、向中繼轉運次數TransNum，用Simulation Variable模塊讀取當前仿真時間TN，可得單位時間成本統計公式為

同理，用DBread模塊讀取站點j的庫存滿足需求數Self_FillNum、中繼級滿足站點j的需求數Trans _FillNum、站點j的總需求數TotalNum，則站點j的復合滿足率EFRj統計公式為

5　仿真實驗

以圖1所示的保障系統為例，采用仿真實驗方法對所建解析模型進行驗證分析，首先進行實驗參數設計。規定中繼級訂購提前期L0=5 d，庫存持有費用h0=1 000元，固定訂購費用A0=4 000元；5個基層級站點為同型站點，其備件需求率λj= 0.25個/d，庫存持有費用hj=1 000元，短缺費用pj=1 500元。在以上參數相同的情況下，為基層級訂購提前期Lj、緊急供應費用πj、固定訂購費用Aj、復合滿足率下限ηj等4個影響訂購方案較大的參數選擇兩個試驗水平，最終形成一個四因素兩水平的全面實驗方案，因素水平表如表1所示。

表1　因素水平表Tab.1 Factors and levels

分別將每個輸入參數組合代入解析模型和仿真模型進行計算。其中，仿真模型采用遺傳算法優化，對各種可能訂購方案進行300次仿真，以收斂度0.95為結束條件。兩種模型在16組參數下的計算結果如表2所示。設GA、GE分別為解析、仿真優化后系統單位時間期望成本，EFRA、EFRE分別為解析、仿真優化后基層平均復合滿足率，則有成本相對誤差ΔG=（GA-GE）/GE，滿足率誤差ΔEFR= EFRA-EFRE.二者在多次實驗中的變化情況如圖4所示，分析結果如表3所示：最大偏差不超過2.5%，證明了解析模型的正確性。

上述實驗運行在酷睿I3、內存4 G的臺式機上，解析模型平均運行時間為7.1 min，仿真模型平均優化時間為20.3 min.解析模型效率提升約185%，相比仿真方法能夠有效縮短運行時間，且不會出現仿真優化中站點增多造成的組合爆炸問題，具有較好的工程實用性。

表2　不同輸入參數下兩種模型優化結果對比Tab.2 Comparison of optimal solutions of the two models with different parameters

圖4　不同輸入參數下模型誤差Fig.4 Errors of analytical model with different parameters

表3　成本及滿足率誤差分析Tab.3 Error analysis of cost and fill rate%

6　結論

本文針對兩種供應模式下備件協同訂購問題，首先以聯合訂購策略為變量，分別建立了單位時間成本和滿足率的計算模型；以中繼級滿足率為拉格朗日因子，解除約束條件中的站點耦合關系，采用策略迭代算法對模型進行優化求解。為模擬備件保障過程，同時評估不同訂購方案效能，建立了基于ExtendSim平臺的協同訂購仿真模型。對比解析模型和仿真模型的優化結果可知：所建解析模型及優化算法除精度滿足工程需要外，還具有較高的運算效率。以本文實驗為例，解析模型成本平均相對誤差為1.16%，復合滿足率平均誤差為0.88%，最大值不超過2.5%；平均運行時間為7.1 min，相比仿真優化算法（20.3 min），運行時間減少約2倍，當站點較多時，這一優勢更加突出。

文中模型豐富了裝備綜合保障理論，能夠為復雜備件保障系統的協同訂購問題提供決策支持，具有一定的工程實用價值。

（

）

［1］Sherbrooke C C.Optimal inventory modeling of system：multi-echelon techniques［M］.2nd ed.Boston：Artech House，2004：21-22.

［2］Moinzadeh K，Nahmias S.A continuous review model for an inventory system with two supply modes［J］.Management Science，1988，34（6）：761-767.

［3］Johansen S G，Thorstenson A.An inventory model with Poisson demands and emergency orders［J］.International Journal of Production Economics，1998，56（3）：275-289.

［4］Axsater S.A heuristic for triggering emergency orders in an inventory system［J］.European Journal of Operational Research，2007，176（2）：880-891.

［5］Van Wijk A C C，Van Houtum G J.Optimal allocation policy for a multi-location inventory system with a quick response warehouse［J］.Operations Research Letters，2013，41（3）：305-310.

［6］Howard C，Reijnen I C，Marklund J.Using pipeline information in a multi-echelon spare parts inventory system［R］.Sweden：Lund University and Eindhoven Technical University，2010：12-13.

［7］Kranenburg A A，van Houtum G J.A new partial pooling structure for spare parts networks［J］.European Journal of Operational Research，2009，199（3）：908-921.

［8］Kutanoglu E，Mahajan M.An inventory sharing and allocation method for a multi-location service parts logistics network with time-based service levels［J］.European Journal of Operational Research，2009，194（3）：728-742.

［9］Purnomo A.Multi-echelon inventory model for repairable item emergency with lateral transshipment in retail supply chain［J］. Australian Journal of Basic and Applied Sciences，2011，34（1）：462-474.

［10］Axsater S，Howard C，Marklund J.A distribution inventory model with transshipments from a support warehouse［J］.IIE Transactions，2012，45（3）：309-322.

［11］阮旻智，李慶民，黃傲林.（R，Q）庫存策略下消耗件的協同訂購方案優化［J］.北京理工大學學報，2013，33（7）：680-684. RUAN Min-zhi，LI Qing-min，HUANG Ao-lin.Optimization of cooperative ordering project for consumable spare parts under（R，Q）inventory policy［J］.Transactions of Beijing Institute of Technology，2013，33（7）：680-684.（in Chinese）

［12］王慎，李慶民，彭英武.串件拼修對策下兩級備件維修供應系統動態管理模型［J］.航空學報，2013，34（6）：1326-1335. WANG Shen，LI Qing-min，PENG Ying-wu.Dynamic management model of two-echelon maintenance supply system for spare parts with cannibalization［J］.Acta Aeronautic et Astronautica Sinica，2013，34（6）：1326-1335.（in Chinese）

Optimal Cooperative Ordering Policy for Spare Parts Inventory with Two Supply Modes

WANG Shen1，2，LI Qing-min3，LI Hua1，RUAN Min-zhi3
（1.Department of Weaponry Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，Hubei，China；2.the 91115th Unit of PLA，Zhoushan 316000，Zhejiang，China；3.Office of Research and Development，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，Hubei，China）

In order to satisfy the demands of inventory system on the spare parts，an emergency order is implemented to cover the shortage of regular order and reduce equipment downtime in case of stock-outs. A cooperative-ordering model，which takes compound fill rate as the constraints and expected cost per unit time as objective function，is established to solve the joint optimization problem for multi-location order policy in the two supply modes.A heuristic algorithm is developed to optimize the proposed model on basis of Lagrangian factor and policy-iteration algorithm.The Monte-Carlo simulation model is presented to prescribe the demand and order behaviors.The analytical model is compared with genetic-algorithmoptimized simulation model in a set of designed experiments.The results show the analytical model derives near-optimal solution and operates with high efficiency.

operations research；spare parts；cooperative order；inventory；optimization

TP391

A

1000-1093（2015）02-0337-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.02.022

2014-06-04

總裝備部預先研究基金項目（51304010206、51327020105）

王慎（1983—），男，博士研究生。E-mail：wangshen_hust@163.com；李慶民（1957—），男，教授，博士生導師。E-mail：licheng0001@hotmail.com