基于上采樣和高階Hermite插值濾波器組的超寬帶數字波束形成技術研究

杜強， 宋耀良， 季晨荷， 曹東

(南京理工大學 電子工程與光電技術學院， 江蘇 南京 210094)

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基于上采樣和高階Hermite插值濾波器組的超寬帶數字波束形成技術研究

杜強， 宋耀良， 季晨荷， 曹東

(南京理工大學 電子工程與光電技術學院， 江蘇 南京 210094)

直接延時(DTD)補償是超寬帶(UWB)信號波束形成的有效方法，其數字波束形成(DBF)的效果與DTD濾波器的頻率特性有直接的關系。在分析現有Lagrange插值濾波器存在問題的基礎上，研究了利用多路上采樣和高階Hermite插值濾波器結合實現 UWB信號DTD的方法，以及通過多路延時補償實現UWB信號DBF的技術。提出了一種結構簡單的固定系數插值DTD補償濾波器組的DBF實現方法。理論分析與仿真結果表明，與Lagrange插值法相比，該方法不僅實時性更好，而且在采樣率低于Nyquist率時能更好地恢復原始UWB信號，其UWB信號DBF性能明顯優于傳統方法。

雷達工程； 超寬帶雷達； 波束形成； 高階Hermite插值； 上采樣

0　引言

高分辨力超寬帶(UWB)雷達因其具有很強的“四抗”能力在區域預警、警戒和安檢和反恐等領域有廣泛的應用前景，而UWB信號的波束形成是UWB雷達實現高分辨探測和成像的關鍵性課題。傳統相控陣雷達運用的移相法因受信號帶寬的制約，應用在UWB雷達信號波束形成時存在掃描角度范圍受限，波束指向偏移等問題[1-2]，因此相控陣技術不能運用于UWB雷達信號波束形成中。

目前，UWB信號的波束形成方法可分為頻域和時域兩大類，文獻[3-4]研究并比較了這兩類方法，頻域法易于多波束形成，但由于頻率對陣列流型向量的影響，會引起波束偏移等問題，而時域法是一種實時處理方法，消除了頻域法存在的問題。直接延時(DTD)補償法利用精確延時實現時域波束形成，是近年來UWB信號處理的研究熱點[5-13]。目前實現DTD的實現方法可分為模擬和數字兩類[5-7]。文獻[5]提出了光纖模擬延遲線方法，但由于模擬延遲線實現困難，靈活性差，造價昂貴。使用數字延時技術實現DTD則相對簡單靈活，更利于與現代多輸入多輸出(MIMO)技術結合，實現多路UWB信號的處理。分數延時濾波是目前使用數字延時技術實現DTD最為簡便易行的技術，因而得到了廣泛關注[14-19]。傳統分數延時濾波器，例如Lagrange分數延時濾波器[6]和Farrow結構濾波器[7]，它們的幅頻特性與群時延特性在近Nyquist采樣率情況下性能惡化，因而導致在UWB信號波束形成中信號高頻部分衰減變大，數字波束形成(DBF)增益下降[6-7]。文獻[22]在文獻[20-21]的基礎上，利用Hermite分數延時濾波器，解決了傳統分數延時濾波器幅頻特性與群時延特性隨頻率的增加而惡化的問題[14]，有利于UWB信號波束形成。然而文獻[22]提出的方法需要針對不同信號入射角不斷調整濾波器系數，結構較復雜，且采用Nyquist采樣率，完成一次插值需要的采樣點數較多，實時性不夠理想。本文在上述文獻基礎上，研究了利用多路低速采樣代替單路高速采樣，并結合上采樣和高階Hermite插值濾波器結合實現 UWB信號DTD，以及通過多路延時補償實現UWB信號DBF的技術，提出了一種結構簡單的固定系數插值DTD補償濾波器DBF實現方法。該方法相比最常用的Lagrange插值法能更準確地恢復UWB信號，計算量更小，恢復出的信號相關性更好。與文獻[22]濾波器系數隨信號入射角有關相比，本文使用了固定系數的Hermite插值濾波器，簡化了結構，降低采樣率為Nyquist率的一半，且完成一次插值所需采樣點數大大減少，提高了實時性。仿真結果表明UWB線性調頻信號高頻部分波束增益不下降，旁瓣更低，其DBF效果明顯優于傳統方法。

1　UWB信號DTD補償及波束形成原理

使用傳統Lagrange插值法應用在超寬帶信號波束形成時將導致信號高頻部分波束增益下降。而文獻[22]的方法針對不同的波達方向，各單元濾波器組的系數需要不斷調整，以滿足延時補償的需求，系統結構復雜，同時采樣率較高。針對上述問題，本文提出了基于多通道上采樣和固定系數高階Hermite插值濾波器共同實現DTD補償的UWB信號DBF的方法。圖1為使用該方法的等間距線陣單元DBF系統原理圖，其中L為陣元數。圖2為圖1中子系統高階Hermite插值濾波器組的內部結構圖。

圖1　UWB陣列DBF原理圖Fig.1　The principle of a linear array DBF for UWB signals

圖2　高階Hermite插值濾波器組內部結構圖Fig.2　The inner structure of high-order Hermite interpolation filter sets

假設UWB信號入射方向與陣元法線方向夾角為θB，Hermite插值濾波器組第i個單元輸入的接收信號為si(t)，i=0,1,…,L-1. 然后，si(t)分成4路，1路直接通過，其余分別通過1階、2階、3階模擬微分器，得到s′i(t)、s″i(t)、s?i(t). 接著，對4路信號以低于Nyquist率的采樣率(1/T2)進行采樣得到離散信號si(nT2)、s′i(nT2)、s″i(nT2)、s?i(nT2). 通過對4路采樣信號的M倍上采樣提高數字延遲的準確性。隨后4路信號分別通過對應的Hermite插值濾波器后將4路輸出相加恢復與原始信號si(t)對應的高采樣率信號fi(nT1)，其中T1/T2=1/M，如圖2所示。

設天線單元0為基準，天線單元i相對于天線單元0傳播延時可表示為

(1)

τi0(θ)是信號入射角θ和陣元間距d的函數。第0個天線單元接收信號為s0(t),則第i個通道接收信號可表示為si(t)=s0(t-τi0(θ))，i=0,1, …,L-1，信號通過該天線單元的Hermite插值濾波器組后，該單元輸出的信號為

fi(nT1)=s0(t-τi0(θ))|t=nT1.

(2)

以此類推，得到L組高速采樣合成信號fi(nT1)，i=0,1,…,L-1.

設gi(nT1)是fi(nT1)經過數據移位后的信號，令gi(nT1)=fi((n+Di)T1)，Di為整數。那么

gi(nT1)=fi(t+γi0)|t=nT1=s0(t-τi0+γi0)|t=nT1.

(3)

當γi0滿足如下關系時，便在信號入射角θB上形成波束，

τi0=γi0=idsinθB/c=DiT1,

(4)

然后通過對其進行數據移位，實現對來自θB方向上信號的疊加。當上采樣率足夠高時,完全能滿足波束形成的要求。陣列的輸出為各個通道的輸出信號相加，即

(5)

此時各天線陣元對入射角為θB上的信號實現疊加，陣列獲得最大的輸出功率。

2　高階Hermite插值濾波器

與傳統的Lagrange插值濾波器實現DTD相比，高階Hermite插值濾波器組在采樣率低于Nyquist率時不僅能夠更準確地恢復UWB信號，而且能夠以更短的濾波器階數實現DTD，有更好的實時性。高階Hermite插值法描述如下：

給定N+1個不同節點(t0,x(t0)) ，(t1,x(t1))，…，(tN,x(tN))，N+1個與其相應1階導數節點(t0,x′(t0))，(t1,x′(t1))，…，(tN,x′(tN))，N+1個與其相應2階導數節點(t0,x″(t0))，(t1,x″(t1))，…，(tN,x″(tN))，N+1個與其對應的3階導數節點(t0,x?(t0))，(t1,x?(t1))，…，(tN,x?(tN))，那么一定能找到一個4N+3次多項式P4N+3(t)滿足以下(6)式：

x(t)≈P4N+3(t)=

(6)

(7)

可以求得

(8)

式中：

(9)

t∈[0,N]，tk=n-k，ti=n-i.

可以通過下面的公式得到高階Hermite插值濾波器組hl(u) ，u∈[0,N×M-1]，l=0,1,2,3的系數。

(10)

3　性能分析

3.1Hermite插值濾波器誤差分析

考慮UWB線性調頻信號

(11)

式中：f0為起始頻率；μ為調頻斜率，μ=-B/t0，B為信號帶寬，t0為連續信號時長；t∈[0,t0]. 1/T2為Nyquist采樣率的一半，1/T3為Nyquist采樣率，即T2/T3=2，T1/T2=1/M，T1/T3=2/M，那么高速采樣后的離散線性調頻UWB信號可以表示為

(12)

可以利用s(t)的采樣s(nT3)或者利用s(t)、s′(t)、s″(t)、s?(t)的采樣s(nT2)、s′(nT2)、s″(nT2)、s?(nT2)得到合成高速采樣信號f(nT1). 評價插值濾波器性能的好壞，可用誤差20log |f(nT1)-s(nT1)|衡量。

圖3和圖4分別給出了使用Lagrange插值濾波器和高階Hermite插值濾波器的插值誤差。其中f0=2.2 GHz，B=0.5 GHz，1/T1=281.6 GHz，1/T2=2.2 GHz，1/T3=4.4 GHz，t0=4.65×10-7s，即該信號頻率掃描范圍為2.2～1.7 GHz. 使用Lagrange法的濾波器階數N=32M-1，采樣率為Nyquist率1/T3，而Hermite法的濾波器階數N=4M-1，采樣率為Nyquist率的一半(1/T2). 從圖3和圖4中可以看出，使用Lagrange插值法的誤差較大，尤其在信號高頻部分誤差接近0 dB，因此導致陣列信號高頻部分波束增益下降。而使用高階Hermite插值法的誤差即使在抽樣率為Lagrange插值法的一半時，即Nyquist率的一半時，其插值誤差在信號全部頻段內均小于-49 dB，能夠準確恢復UWB信號，性能出色。同時高階Hermite插值法濾波器階數N=4M-1，濾波器階數更小，群時延相比與Lagrange插值法更低，有更好的實時性，且完成一次插值所需采樣點數大大減少，降低了計算量。

圖3　使用Lagrange插值濾波器的插值誤差曲線Fig.3　The interpolation error using the Lagrange interpolation filter(sampling frequency=4.4 GHz)

圖4　使用Hermite插值濾波器的插值誤差曲線Fig.4　The interpolation error using the Hermite interpolation filter(sampling frequency=2.2 GHz)

3.2UWB線性調頻信號的波束形成仿真結果分析

假設接收信號仍然為上述線性調頻信號，信號入射角θB只有一個，為29.14°，陣元間距d=0.07 m，陣列天線數目L=16，各天線單元接收信號的信噪比為0 dB. 為進一步降低旁瓣，用-30 dB Chebyshev窗函數加權處理。圖5和圖6分別為當L=16時使用Lagrange法和Hermite法的波束圖。其中使用Lagrange法的采樣率為1/T3，即Nyquist率，而使用Hermite法的采樣率為1/T2，為Nyquist率的一半。為更清楚地表明信號頻率對波束增益的影響，圖7中畫出了圖5與圖6中的來波方向的頻率- 增益二維剖面，從圖7中可以看出對于來波方向上的信號，Lagrange法使UWB線性調頻信號波束增益下降2 dB以上，尤其是信號的高頻部分衰減更大，波束增益衰減7 dB. 而使用Hermite法的信號在高頻區波束幾乎無衰減，波束增益沒有下降。為更清楚地說明兩種插值方法對波束的影響，在圖8和圖9中選擇了1.7 GHz、2.0 GHz和2.2 GHz這3個頻率，畫出了使用兩種插值方法的波束圖對比，即頻率- 副瓣二維剖面。從圖8和圖9中可以看出，在波束寬度相同的條件下，使用Hermite插值法的旁瓣較Lagrange插值法更低。旁瓣低的原因是使用Hermite插值法能更準確地恢復出高速采樣UWB信號，且恢復出的信號相關性更好。兩種方法時間復雜度均為O(M).

圖5　使用Lagrange法接收波束圖Fig.5　Beam pattern of the array using Lagrange interpolation method(L=16, θB=29.14°,d=0.07 m, sampling frequency=4.4 GHz,SNR=0 dB)

圖6　使用Hermite法接收波束圖Fig.6　Beam pattern of the array using Hermite interpolation method(L=16, θB=29.14°,d=0.07 m, sampling frequency=2.2 GHz,SNR=0 dB)

圖7　來波方向頻率- 增益二維剖面Fig.7　The 2D frequency-gain section from the direction of arrival

圖8　3個頻率下使用Lagrange法接收波束圖Fig.8　Beam pattern of the array using Lagrange interpolation method for three different frequencies(L=16, θB=29.14°,d=0.07 m, sampling frequency=4.4 GHz,SNR=0 dB,f=1.7 GHz,2.0 GHz,2.2 GHz)

圖9　3個頻率下使用Hermite法接收波束圖Fig.9　Beam pattern of the array using Hermite interpolation method for three different frequencies(L=16, θB=29.14°,d=0.07 m, sampling frequency=2.2 GHz,SNR=0 dB,f=1.7 GHz,2.0 GHz,2.2 GHz)

4　結論

本文研究了基于DTD補償UWB信號DBF的原理和實現，提出了基于上采樣技術和高階Hermite插值濾波器的DTD補償波束形成方法。理論分析和計算機仿真表明該方法能更好地恢復原始UWB信號，特別在濾波器階數較低時，該方法對信號高頻部分的恢復效果大大優于目前最為常用的Lagrange插值濾波器，計算量更小，且恢復出的信號相關性更好。該方法無需調整高階Hermite插值濾波器的系數，結構簡單，同時降低采樣率為Nyquist率的一半，而且完成一次插值所需采樣點數更少，提高了實時性。UWB線性調頻信號的實例仿真表明，與Lagrange插值法相比，UWB信號高頻部分波束增益不下降，旁瓣更低，大幅改善了UWB的DBF性能。雖然該方法降低了對采樣率的要求，但由于處理的是UWB信號，為保證實時性，采樣率仍然較高，在實現上有一定難度。該方法的實現是下一步的研究工作。

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Research on UWBDBF Using Direct Time Delay Compensation Based on Up-sampling Technology and High-order Hermite Interpolation Filter Sets

DU Qiang, SONG Yao-liang, JI Chen-he, CAO Dong

(School of Electronic and Optical Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, Jiangsu, China)

Direct time delay (DTD) compensation is an effective method for beamforming of ultra-wideband (UWB) signal. The digital beam-forming (DBF) performance is directly related to the frequency response of the DTD filter. Based on the analysis of problems existing in Lagrange interpolation filter, a novel method utilizing interpolation filter sets with fixed coefficients is presented to implement DBF. High-order Hermite interpolation filter sets with simple structure combing multi-channel up-sampling technology are applied to DTD and the DBF of UWB signals is achieved by multi-channel delay compensation. Theoretical analysis and simulation results show that the proposed method is featured by a more accurate recovery of UWB signals when sampling rate is less than the Nyquist rate. It has a better real-time and an obviously superior DBF performance compared to the traditional methods such as Lagrange.

radar engineering; UWB radar; beamforming; high-order Hermite interpolation; up-sampling

2014-03-06

國家自然科學基金項目(61071145、61271331)

杜強(1985—)，男，博士研究生。E-mail:qdu1023@gmail.com;

宋耀良(1960—)，男，教授，博士生導師。E-mail:ylsong@mail.njust.edu.cn

TN958.6

A

1000-1093(2015)04-0696-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.04.018