一類含分布時滯的隨機Hopfield神經網絡的指數穩定性

(四川師范大學 數學與軟件科學學院，四川 成都60066)

張秀英，李樹勇，趙 亮，杜啟鳳

眾所周知，時滯無處不在，時滯的出現將導致系統的不穩定和振蕩，同時，神經信號的傳輸也是一個受隨機因素影響的充滿噪音的過程，因此，含時滯隨機Hopfield 神經網絡模型解的穩定性分析是學者們關注的熱點．各種分析方法被引入，如不等式技巧［1］、半鞍收斂定理［2-5］、Lyapunov 泛函法［6-9］、Razumikin 方法［10］、線性矩陣不等式［11］等判別穩定性的一些條件被建立． 半鞍收斂定理作為研究時滯隨機系統矩穩定的有力工具，自Steve 等［2］將其引入時滯隨機微分系統穩定性研究，給出含有界時滯的隨機Hopfield 神經網絡模型解幾乎必然指數穩定的充分條件以來，發揮了很好的作用，許多穩定性結論利用這一思想而建立．基于此，本文中將運用半鞍收斂定理研究含離散和分布時滯的隨機Hopfield 神經網絡的穩定性． 通過構造一個恰當的Lyapunov 泛函并使用不等式分析技巧，給出該系統平凡解均方指數穩定和幾乎必然指數穩定的一個新的充分條件．

1 準備知識

本文考慮如下一類含分布時滯的隨機Hopfiled 神經網絡系統:

其中，i∈Λ={1，2，…，n}表示第i 個神經元;x(t)=(x1(t)，…，xn(t))T，xi(t)表示第i 個神經元在t 時刻的狀態;C=diag{c1，…，cn}，ci＞0 表示在與神經網絡不連通并且無外部附加電壓差的情況下，第i 個神經元恢復孤立靜息狀態下的速率．A=(aij)n×n，B=(bij)n×n和D =(dij)n×n表示神經元相互連結的權矩陣．h(x(t))=(h1(x1(t))，…，hn(xn(t)))T∈Rn，g(x(t-τ))=(g1(x1(t -τ1))，…，gn(xn(t -τn)))T∈Rn，f(x(t))=(f1(x1(t))，…，fn(xn(t)))T∈Rn，其中hi，gi和fi表示外部激活函數．k(t)=(kij(t))n×m，這里kij(t)是時滯核函數．初值ξ(t)=(ξ1(t)，…，ξn(t))T，ξi(t)是定義在(-∞，0］上的有界連續函數，且(θ)|，τj是常數，且是噪音強度矩陣． w(t)=(w1(t)，…，wm(t))T是定義在完備概率空間(Ω，F，P)上的m-維Brownian 運動，其自然域{Ft}t≥0建立在{w(s):0≤s≤t}上．

記Rn上的Euclidean 范數為|?|，E(?)代表數學期望算子．

對系統(1)或(2)，假設:

(H1) fj，gj，hj和σij是Lipschitz 連續的，Lipschitz 常數分別為βj＞0，αj＞0 ，γj＞0 和Lij＞0，且fj(0)=gj(0)=hj(0)=σij(0)=0 且fj有界，其中i，j∈Λ．

(H2) kij(t)是定義在［0，+∞)上的實值連續函數，且滿足:

在上述假設下，當t≥0 時，系統(1)或(2)有唯一的全局解［12］，用x(t，ξ)或x(t)表示．在假設(H1)下，系統(1)或(2)有零平凡解．

定義1 系統(1)或(2)的平凡解是幾乎必然指數穩定的，如果對任意解x(t)，滿足:

定義2 對系統(1)或(2)，如果存在正常數λ 和K 以及任意初始值ξ，使得

即有

成立，則稱系統(1)或(2)是均方指數穩定的，λ 叫做系統(1)或(2)的解的2 階Lyapunov 指數．

引理1 (半鞍收斂定理)［12］(Th．3．9，P．14)．設A(t)和U(t)是t≥0 上的兩個連續適應增隨機過程，且幾乎必然有A(0)=U(0)=0．又設M(t)是一個實值連續局部棋，且幾乎必然有M(0)=0．設ξ 是一個非負F0可測隨機變量且滿足Eξ ＜∞．對t≥0，設

若X(t)非負，則

這里B?D，a．s．意味著P(B∩Dc)=0．特別地，若，則對幾乎所有的ω∈Ω，有

引理2 對具有適當維數的任意向量x，y 及任意對稱正定矩陣H ＞0，有:

2 主要結果

定理 對系統(1)或(2)，如果存在正定對角陣P=diag{p1，…，pn}，Q=DP-1DT=(qij)n×n，對所有i∈Λ={1，2，…，n}，滿足:

則系統(1)或(2)是幾乎必然指數穩定的和均方指數穩定的．

證明:由條件(H3)，存在μ ＞0，使得:

由It?s 微分，得:

由引理2，有

所以，

從0 到t 積分，可得

又因為，

所以，

由假設(H1)和(H2)可知，

因此，V(0，x(0))有界，且(5)式右邊是非負半鞅．由引理2．1 可知，

又

因此，

即

對(5)式兩端同時取期望，得

即

證畢．

3 應用舉例

本節通過一個例子，闡明結果的有效性．

例 考慮如下二維含分布時滯的隨機Hopfield 神經網絡系統

這里h1(v)=h2(v)=arctanv，f1(v)=f2(v)=(ev-e-v)/(ev+e-v)，kij(t)=e-t，i，j =1，2．A =(aij)2×2，a11=1，a12=2，a21=3，a22=1;C=(cij)2×2，c11=14，c12=0，c21=0，c22=9;D=(dij)2×2，d11= -3，d12=1，d21=2，d22= -2;L=(lij)2×2，l11=4 ，l12=1，l21=1，l22=1．這樣= -3/8．

取P=(pij)2×2，p11=1，p12=0，p21=0，p22=1，γi=βi=1(i=1，2)．從而Q=(qij)2×2=DP-1DT，其中q11=-1/2，q12=0，q21=0，q22=1．取經計算，知

因此本文定理所需條件成立，進而由本文定理，系統(6)的解是均方指數穩定的．

通過數值模擬，得到系統(6)的解x(t)=(x1(t)，x2(t))T變化趨勢圖(圖1)，可看到該系統的解是均方穩定的．這與本方法所得結論吻合．

圖1 系統（6）解的變化趨勢Fig．1 The change trend of solution of the system （6）

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