薄板結構畸變模型的動力學相似設計及幾何區間確定

羅 忠，朱云鵬，韓清凱，王德友，劉永泉

（1.東北大學機械工程與自動化學院，沈陽110819；2.大連理工大學機械工程學院，遼寧大連116023；3.中航工業沈陽發動機設計研究所，沈陽110015）

0 引言

薄板類結構是工程中的常用構件形式，一般將板的最小寬度為板厚度的5～80倍稱為薄板。薄板類結構的振動特性試驗研究非常重要，但由于對原型本體進行試驗會受到試驗條件以及成本等多方面因素的限制，所以采用模型試驗。在設計相似試驗模型時，由于存在原型本身結構復雜以及尺寸參數多等，很少采用完全幾何相似的模型（如航空發動機葉片材料特殊且帶扭形，其原理試驗常常用普通材料的直板葉片來完成），所以不完全幾何相似模型即畸變模型的應用更為廣泛，但不是任意畸變模型都可以用來預測原型的振動特性。學者們做了很多關于板類結構振動試驗模型的研究。Simitses等[1-2]利用平衡方程建立了畸變模型的相似關系；Ungbhakorn等[3-4]建立了對稱及反對稱鋪層的復合材料層合板固有頻率與臨界載荷的完全及不完全相似關系；Rezaeepazhand等[5-6]闡述了畸變模型相似適用區間的重要性，并在完全相似條件下對不同材料層合板的1階頻率的適用區間進行研究。然而，針對板類結構較高階次固有特性預測的畸變模型設計方法，及其畸變試驗模型幾何區間研究的文獻尚不多見。

本文對不同板類結構的不完全相似關系進行歸納比較，并以薄板為例，給出畸變試驗模型幾何區間的確定方法。

1 幾類結構板的基本理論

單層彈性薄板、復合材料層合板、涂層板和夾層板等是幾種常用板類結構。復合材料層合板是由2層或多層簡單層板黏合固化在一起，作為1個整體進行工作的結構單元；涂層板是通過對表面進行性能優化，從而實現提高材料表面性能和結構性能的板類結構；夾層板是由上下2塊薄的高強度表層板和填充其中的軟而輕的中間夾心層所組成的板類結構。這幾種板類結構都不同程度應用于航空航天領域[7]。

1.1 基本假設對比

不同懸臂板結構如圖1所示。在圖中，a 為板長度，b 為板寬度，h 為板（基板）厚度，th-L為層合板單層厚度，th-C為涂層厚度，th-S為表層板厚度。

圖1 不同結構板

對板類結構的研究主要基于Kirchhoff和Reissner 2種假設，其對比見表1。

表1 Kirchhoff和Reissner假設對比

一般來說，為了簡化分析，4類薄板均可視為彈性板，均采用Kirchhoff假設。但在大多情況下，由于夾層板的夾心為柔性材料，按柔性板處理，即常采用Reissner假設。2種假設的具體基本特點見表2。在對夾層板的分析中，還包括Hoff假設、波魯沙可夫-杜慶華假設等，這些理論可以看作是針對不同問題的Reissner假設的修正。本文針對板類結構固有特性問題，只采用Reissner假設對夾層板進行分析。

表2 不同結構板的基本假設對比

1.2 平衡方程對比

不同結構板的動力平衡方程在形式上存在差異，結構越復雜，其平衡方程的形式也越復雜。本文根據平衡方程分析法推導板類結構的相似關系。

（1）彈性薄板平衡方程

如圖1（a）所示，根據Kirchhoff假設，薄板平衡方程[8]為

（2）復合材料層合板平衡方程

如圖1（b）所示，復合材料層合板的平衡方程[9]為

式中：D（isi=1，2，6；s=1，2，6）為各層彎曲剛度為單位面積質量。

式中：zk為第k 層板與板中面的距離；（i=1，2，6；s=1，2，6）為拉伸剛度。

（3）涂層板平衡方程

如圖1（c）所示，設涂層板的基板與涂層均為各向同性材料，則根據式（4）有

將式（5）代入式（2）得

涂層板的平衡方程為

（4）夾層板平衡方程

如圖1（d）所示，胡海昌提出的平衡方程簡化為[10]

在Reissner理論下夾層板的平衡方程[11]為

由式（1）、（2）、（7）可知，層合板與單層板的動力平衡方程的區別主要體現在剛度項不同，層合板由于各向異性材料及各層間的差異導致其各項剛度不同，涂層板可看作是特殊的層合板，其平衡方程可由層合板方程簡化得到，與單層板的區別在于整體剛度不同。夾層板的方程形式與涂層板的相近，但在受力分析中考慮了夾心剪切剛度的作用，故式（9）中的w 并不代表板的撓度，而是與撓度相關的簡化函數。

2 動力學相似關系

2.1 完全幾何相似關系

設板上各點的振型函數為W（x，y），板撓度表示為[12]

將式（10）代入式（1）、（2）、（7）、（9）得振型微分方程

用λe表示相似關系，其中e 為各物理量的符號，如e=a，b，E 等；考慮原型與模型材料相同，有λE=λρ=1為板的等效平均密度。根據相似原理可知

將式（13）代入式（12）得

2.2 不完全幾何相似關系

當完全幾何相似條件無法滿足時，有λa≠λb≠λh，需要新的相似關系對原型頻率進行預測，設λa=Cλb，其中C 為常數，材料不同時，由平衡方程可得各類板待選的相似關系為

以懸臂單層彈性薄板為例，其前6階振型如圖2所示。

根據對板類結構長度及寬度的敏感性分析可知，在彎曲振動時，板長度a 的敏感性遠大于寬度b 的敏感性，不完全相似關系應選擇

對于扭轉振動b 的敏感性大于a 的敏感性，對于高階的混合振動，b 與a 對振動固有頻率均有顯著影響，這2種振型的準確相似關系計算方法較繁瑣，這里只根據待選相似關系進行近似計算。對于板的扭轉振動，取式（15）前2式的平均數；對于單層板/層合板/涂層板的混合振動，取式（15）后2式的平均數為

圖2 懸臂板前6階振型

式（16）～（18）即為懸臂條件下各類板結構的近似不完全相似關系。

由于層合板、涂層板和夾層板具有比薄板更復雜的結構，在其厚度 畸變的基礎上，還可能產生更復雜的模型畸變現象。

（1）復合材料層合板不完全相似關系

考慮層數不同的相似關系，以彎曲振動為例，由式（11）得

若層合板模型層數N=6，θ=0/90/0/0/90/0，由式（3）可知

由相似原理可知

由式（3）可知

將式（23）代入式（22），再把式（22）代入式（19）可得

同理，對于N=2，4，可得相似關系，見表3。（2）涂層板不完全相似關系考慮涂層厚度不同的相似關系，以彎曲振動為

表3 N=2，4，6時的相似關系

例，由式（11）得

式中：ρi=（i=1，2）為基體和涂層的密度。

由式（3）得

由于涂層板的涂層厚度th與基體厚度h 滿足h/th，式（26）中略去高階小量th3和th3，則有D11的相似關系為

設涂層板基體與涂層的厚度之比為A=h/t，將A代入式（27）得

同理

式中：常數V=2ρ2/ρ1。

將式（28）、（27）代入式（24）得

（3）夾層板不完全相似關系

考慮表層板及夾心厚度不完全相似的相似關系，以彎曲振動為例，通過式（11）得到的待選相似關系過多，難以選擇，考慮Reissner理論下平衡方程[13]為

式中：Ψx、Ψy分別為夾層板彎曲時x，y 方向的偏轉角；Ψx=?u/?z，Ψy=?v/?z。

由上下層板位移公式可知

由式（32）得

將式（33）代入式（31），由相似關系可得，彎曲振動條件下有

將式（35）代入式（34）得

式（24）、（30）和（36）即為彎曲振動下各類板結構的畸變模型動力學相似關系，對于扭轉振動及混合振動，只在式（17）、（18）前乘以與對應板結構彎曲振動相同的系數即可。

3 畸變模型的幾何適用區間確定

對于動力學畸變相似模型，任何形式的不完全相似關系都有其適用范圍，首先要保證原型與模型同階振動振型相同，其次要保證其誤差在允許范圍內[14-15]。因此，提出幾何適用區間的概念，給出板類結構幾何尺寸的畸變范圍。不失一般性，以懸臂條件下彈性薄板為例，給出幾何適用區間的確定方法。

3.1 第1階固有特性相似的幾何適用區間確定方法

原型板為鈦合金材料，其尺寸及材料參數見表3。

表3 原型板尺寸及材料參數

選取原型板：Γ=a/b=1.136，選取λb=2，λh=3，材料屬性與第1部分所給原型板的相同。由ANSYS仿真分析得到原型板的第1階固有頻率ωp=155.95Hz。

在模型中選取C=[0.5，1.3，2.1，2.9，3.7，4.167]，得到對應的第1階頻率預測值ω1pr，在MATLAB中對得到的6個離散的預測值采用4階多項式進行插值運算，得到擬合方程為

以0.05為步長選取更多的離散值對式（37）的適用性進行驗證，如圖3所示。

從圖3中可見，在C∈[0.5，4.2]范圍內式（37）具有準確的擬合效果。

對于不完全幾何相似的預測誤差有

圖3 4階多項式擬合結果驗證

由μ≤1%，將式（37）代入式（38）得

在C∈[0.5，4.2]范圍內，解得Cmin=4.18，Cmax=4.18。故Γ=a/b=1.136時，幾何尺寸適用區間為C ∈（0.48，4.18]。

3.2 其他階次固有特性幾何區間確定

由于幾何尺寸的畸變會導致模型薄板振型的跳躍，對于文中所述原型板，使其前 階具有相同振型的尺寸范圍Γ∈[Γjmin，Γjmax]，計算得到各階尺寸范圍見表4。

表4 各階尺寸范圍

由λa=Cλb可知，任意模型板的長寬比為

在滿足模型板的高階固有頻率預測值精度的同時，還需要保證模型板振型與原型板的相同，則模型尺寸選取應滿足

由式（40）、（41）可知，高階固有頻率的畸變模型幾何尺寸適用區間為

針對本文所分析的原型板尺寸，求解其第5階固有頻率的模型幾何尺寸適用區間。

選 擇 Γ ∈（1.131，1.545]內 離 散 點 Γ=[1.132,1.214,1.296,1.377,1.459,1.541]，分別用插值法計算其幾何適用區間邊界值，見表5。

表5 Γ 離散點的區間邊界值

整理表5所得數據

對所得區間邊界值采用3階多項式進行插值擬合，得到

式（44）、（45）的函數圖像如圖4所示。

圖4 5階固有頻率幾何尺寸適用區間邊界值

4 結論

（1）總結歸納了彈性薄板、層合板、涂層板及夾層板的基本假設的區別與聯系，分別給出了不同假設下各種板類結構的動力平衡方程。

（2）利用方程分析法求解不同結構板的完全相似關系和待選的不完全相似關系，通過幾何尺寸對不同振型振動的敏感性分析，給出了板類結構畸變模型的近似不完全相似關系。

（3）根據前j 階（本文j=5）振型相同的原則，提出振型控制區間在振型控制區間內，利用2次插值法得到第1階和高階固有頻率的幾何尺寸適用區間的邊界值方程。

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