基于風險溢價視角的違約公司債券定價數學解析

文 | 符號亮

基于風險溢價視角的違約公司債券定價數學解析

文 | 符號亮

本文對違約概率不同公司債券從風險溢價理論解析，將公司債券價值表達成拋物型偏微分方程，所依賴利率、波動性、債券支付等變量均可通過市場上觀測和計量估計得到，并得到債券風險溢價是波動性和價值比率的函數。

公司債券 違約風險 風險溢價

理論回顧

關于利率期限結構理論和經驗研究文獻已發表很多，歸結起來主要包括了純預期理論、流動性理論、期限偏好理論和市場分割理論。關于違約概率較大時的債券的定價理論沒有得到系統的發展，有必要從風險溢價角度解釋債券期限結構。本文嘗試要解決這個問題。

公司債務定價的理論假設

假設債券期限結構既定，債券價格差別只取決于違約概率高低，做如下假設：1.無交易成本，無稅收，投資者進入無障礙；2.資產交易時間連續進行；3.公司價值和資本結構無關；4.期限結構固定已知。對承諾未來時刻τ支付1元無風險貼現債券，價格為P（τ）=exp （-rτ） ，r為（瞬時）無風險利率且不隨時間改變。5.整個時間上，公司價值動態可用擴散隨機過程描述，其隨機微分方程為dV=（αV-C）dt+σVdz，α是單位時間公司瞬時期望收益率。C若為正，表股息或利息；若為負，則表公司從新融資中獲得凈收入。相應的σ，表單位時間公司收益瞬時標準差。dz表標準高斯—維納過程。

假定證券任意時點市場價值Y可寫成公司價值和時間的函數，即為Y=F（V，t）。把這種證券價值動態寫成隨機微分方程形式：

dY=（αyY-Cy）dt+σyYdzy（1）

式中，αy為該證券單位時間瞬時期望收益率；Cy為單位時間對該證券的支付； σy為單位時間瞬時收益標準差；dzy為標準高斯—維納過程。

然而，給定Y=F（V，t）時，（1）式中αy，σy，dzy與假設5中所定義相應變量α，σ，dz之間存顯函數關系。根據伊藤引理和假設5，可把Y動態寫成（下標表偏導數）：

可違約公司債務定價

現在我們構造一個三證券投資組合，包括公司、特定證券和無風險債務，使投資組合總投資為零。利用賣空收益和借款對多頭進行融資，就可得到該投資組合。令W1表示該投資組合投資與公司瞬時貨幣量，W2表示投資于證券貨幣量，W3［=-（W1+W2）］為投資于無風險債務貨幣量。若dx表投資組合瞬時收益，則有（3c）式，有：

方程（7）是F的拋物型偏微分方程。如果證券價值為公司價值和時間的函數，則該方程一定滿足（7）式。

F除了是公司價值和時間的函數外，它還依賴利率、公司價值波動性、公司支付策略以及對證券持有者所承諾支付策略。給定利率和當前公司價值，盡管兩個投資者效用函數不同，對公司未來期望不同，只要對公司價值波動率認識一致，則可對特定證券價值F的認識就相同。

風險貼現債券定價

應用前面公式，我們研究一個簡單公司債務定價。假設公司存在兩類型權益：（A）單一同質債務；（B）公司股權，即剩余索償權。其中債券發行條款中有如下條款：①公司承諾在特定日期T，共支付給債券持有者B元；②如果不能支付，債權人可以立即接管公司，且股東沒有任何收益；③公司不能發行任何新的優先和同等級別權益，也不能在債務到期前支付現金股息以及回購股份。

因不支付利息，有Cy=0；根據條件（3），有C=0；此外，τ=T-t表距離到期日時間長度，得Ft=-Fτ。為得到債務價值，求解（7）式的兩個邊界條件可通過債權發行條款和債務責任條款得到。根據定義，V=F（V，τ）+f（V，τ） ，f表公司股權價值。因F和f只能取非負值，則有：