三維正交電流元磁場的空間分布

程和平，孟云吉，鄭 立，謝國秋

（黃山學院 信息工程學院，安徽 黃山245041）

1 引 言

“電流元”概念是物理學中基本的物理模型之一，畢奧和薩伐爾兩人通過對電流元周圍磁感應強度的定量描述，給出了傳導電流周圍磁場的物理規律，這部分內容是大學物理電磁學的教學重點之一。其他電流產生的磁場分布，比如無限長直導線[1，[2]、圓環電流[3]、螺線管[4]等周圍的磁場分布，從理論上講，都可以利用畢奧-薩伐爾定律計算獲得。多方向電流元的磁場分布問題，由于其復雜性，大學物理教學當中幾乎很少涉及。對于那些比較簡單的、具有不同流向的多維電流元磁場問題，利用畢奧-薩伐爾定律是可以討論并得出解析結果的。本文擬討論一種簡單的三維正交電流元周圍磁場分布問題，并利用Mathematica 軟件給出磁感應強度值分布的圖形。

2 物理模型

圖1 正交電流元和其所處的空間坐標系

如圖1 所示，在空間存在3 個電流強度皆為I的電流元，成正交關系，分別沿著這3 個電流元的方向定義3 個直角坐標軸，建立正交坐標系O-xyz。根據畢奧-薩伐爾定律，一個電流元在空間任意點（用P 點表示）產生的磁感應強度為：

上式中，電流元的方向規定為電流的方向，電流元的線度dl→0。一般大學物理教科書中將電流元產生的磁感應強度視為微元，用dB 表示，此處簡單起見改用B 表示。對于本文中的三維正交電流元，不妨設其表達式為：

其中dx0→0，dy0→0，dz0→0。令空間任意點P 的坐標為：，那么電流元在空間任意點P 產生的磁感應強度為：

磁感應強度的大小—磁感應強度值為：

3 結果和討論

為了獲得三維電流元的磁場的磁感應強度值的空間分布情況，采用計算軟件Mathematica[5]進行圖形展現，可獲得可視化的結果。為了分析方便，各方向電流元的線度不妨取等值，即dx0=dy0=dz0=ξ→0，真空磁導率μ0=4π×10-7T·m·A-1，適當選取電流強度I和ξ 值，讓。這樣，(4)式寫為：

由(5)式可知，由三維坐標位置及其相應磁感應強度值構成了四維數據結構，一般情況下無法用圖形描繪出來，這也是電磁學圖形描述的主要困難所在。

圖2 磁感應強度值的空間分布（-2≤x≤2，-2≤y≤2）

通過對四維空間切片的方法，將不同平面上的電流元磁感應強度值獲得，從而間接得到磁感應強度值分布情況。如圖2 所示，分別取z=1，0，-1 的3個平面，x 和y 的取值范圍都在-2 和2 之間，能觀察到正交電流元的磁感應強度值的分布情況。圖2 中的A 圖為z=1，0，-1 三個位置的磁感應強度值B 的等高線分布，B、C、D 圖分別為與之對應平面的三維強度分布，分布曲面設置為半透明，可以看到其下的等高線。從圖2 中看到，在每一個切平面上，磁感應強度值都有最大值（此時x=y=0），在x=y=z=0（也就是坐標零點）處為奇點，該處的磁感應強度值為無窮大，這和畢奧-薩伐爾定律的物理意義是一致的。

圖3 在x=y 平面上的磁感應強度分布

圖4 在x+y=1 平面上的磁感應強度值分布

圖5 在x-y=1 平面上的磁感應強度值分布

從(5)式中可以判斷出，磁感應強度值的空間分布具有對稱性，在x=y=z（除去坐標原點）直線上，磁感應強度B=0，可以從圖2 中看到此分布的一些大致表現。要更加清楚地看到這種零磁感應強度的分布，需要再進一步觀察x=y 平面。如圖3 所示，x，y的取值范圍都在-2 和2 之間，z 和x（和y）相等的直線上確實存在零磁感應強度值。從x+y=1 平面（或與之平行的平面）上看，應有一個磁感應強度值的零點和一個極大值點，如圖4 所示的x+y=1 平面上，確實在x=y=z=0.5 處為零磁感應強度值，在x=y=0.5，z=-0.25 處，存在磁感應強度值的最大值2.51。與x+y=1 平面相垂直的平面上看，只能看到磁感應強度值的極大值而看不到磁感應強度值的零點，如圖5 所示的x-y=1 平面（或與之平行的平面）上，確實只觀察到在x=0.5（y=-0.5），z=0 點上存在最大值3.46。

圖6 不同位置的z 軸線上的磁感應強度值

圖6 列出了6 根不同位置上平行于z 軸的直線上磁感應強度值隨z 坐標變化的情況。依據坐標和距離z 軸不同，共分為2 組，其中{x=y=1、x=y=-1、x=-y=-1} 組距離z 軸為，{x=y=0.5、x=y=-0.5、x=-y=-0.5}組距離z 軸為。兩組中，x=y 都存在最小值 （零磁感應強度值） 和最大值兩個極值，x=-y 只具有一個最大值。由于第一組距離z 軸較遠，比同類型的第二組中的z 直線的最大值都要小。

4 結 論

依據比奧-薩伐爾定律，推導出三維正交電流元空間磁場分布的基本表達式?；贛athematica軟件，采用切片方式將四維磁感應強度值空間分布展現出來，并討論了不同平面和直線上的磁感應強度的分布。該結果有利于我們對抽象的磁場空間分布的理解，對大學物理教學中復雜電磁學現象的可視化也有啟發作用。

[1]謝國秋.大學物理（下冊）[M].北京:科學出版社，2013:54-59.

[2]黃時中，袁廣宇，朱永忠，等.大學物理學（下冊）[M].合肥:中國科技大學出版社，2006:80-85.

[3]王玉梅，孫慶龍.利用Matlab 分析圓環電流的磁場分布[J].長春師范學院學報(自然科學版)，2010，29(1):20-23.

[4]廖斌，鄧春鳳，吳先映，等.利用Matlab 計算螺線管內磁場分布研究[J].北京師范大學學報(自然科學版)，2010，46(6):688-690.

[5]Sal Mangano.Mathematuca Cookbook [M].O’Reilly Media，Inc.，2010:275-324.