光速不變原理與一般洛倫茲變換式的推導

王 悅，方 芳

（1.銅陵學院 電氣工程學院，安徽 銅陵244000；2.銅陵市環保局,安徽 銅陵244000）

1 引 言

洛倫茲變換是狹義相對論的基礎，在狹義相對論中占據中心地位，它用確切的數學語言反映了相對論基本原理與伽利略變換及經典相對性原理的本質區別。關于洛倫茲變換式的推導在《普通物理學》[1]中往往使其過于簡化，直接給出結論，從結論出發得出速度變換式，然后討論其物理本質就是光速不變原理。筆者按照這種思路教學，發現很多學生是被動接受，對其中更深刻的物理含義仍然是不得要領。現在很多論文已經討論了如何推導洛侖茲變換式[2-4]。但大多是利用愛因斯坦狹義相對論的基本原理和時空間隔的不變性對洛倫茲變換給出的推導過程。本文直接從光速不變原理出發，先詳細闡述了“時間膨脹”，“動尺縮短”，的時空觀，然后由此二點結論出發給出洛倫茲變換的推導過程，最后對其物理意義進行了闡明。

2 運動時（鐘）間變慢

愛因斯坦在他的1905年發表的第一篇關于狹義相對論的論文中，突破經典力學的時空觀，提出了作為狹義相對論的兩個基本假設：

1.相對性假設：物理定律對所有慣性參考系中的觀察者來說都是相同的，沒有哪一個參考系是特殊的。

2.光速假設：光在真空中的速率沿各個方向在所有慣性系中具有相同的值C。

接受光速假設，就可以做如下討論。

假設有一光鐘以恒定的速度v 向右運動，如：

圖2

圖1 某人A 與光鐘一起運動，那么當光鐘里有個光信號發出后達到上面的反射器后再返回到接受器，這個過程中光線是直上直下的滿足：

同一個過程在地面上靜止不動的B 會看到圖2中的場景，認為光走的是折線。

圖3

考慮半個過程，即光線達到接收器這個過程,由圖3 我們可以得到關系：

如果認為相對靜止的參考系中測量的是原時（固有時），那么一定有△t＞△t0，所以同樣的時間間隔，從任何其他慣性系測的結果總比固有時要長。即：原“時”最短，動“時”變慢。

3 運動的尺子變短

測量一個“睡倒”光鐘的長度，如果光鐘靜止時測量是l0，如圖4（a）

圖4

那么當光鐘以速度v 運動之后如圖4（b）考察光線達到反射器的過程，應該滿足：

類似可以分析從反射器回來達到接受器過程如圖5。

圖5

對于整個過程分析可以得到：

所以在物體的靜止參考系內測得的物體長度l0是它的原長（固有長度），那么在平行于該長度作相對運動的任何參考系內測得的長度都小于固有長度。即：原“長”最長，動“長”收縮。注意長度收縮只發生在相對運動的方向上，也就是當光鐘豎著放，沿著向右或者向左方向運動時測量的長度是不會發生變化的。同時測量的長度不一定是一個物體比如一根棒子或一個圓圈，它可以是在同一個參考系內的兩個物體——例如太陽和一顆鄰近的恒星（近似相對靜止）之間的距離。

4 洛侖茲變換式

上面，在光速假設基礎上得到了兩個重要結論，以下討論兩個慣性系之間的轉換關系。

圖6

如圖6，S' 系中靜止一個尺子，左端與坐標原點重合，右端坐標為x'，那么尺子的長度為：x'=l0

換到S 系，測量的右端坐標滿足幾何關系：x=l+vt

這就是x 軸上的坐標變換，考慮逆變換只要把x?x'，v?-v 即可，所以可以得到：

以下把x'的表達式代入（3）式代入（4）式可以得到：

整個推導過程咱們主要用到光速不變原理，這個方法簡單明了，易于理解，很適用于大學物理或普通物理課程等非物理專業學生的學習和理解。

5 洛倫茲變換的物理意義

從洛倫茲變換的導出過程和蘊含的時空觀可以看出洛倫茲變換的物理意義是：

1.洛倫茲變換時間和空間與物質的運動是密不可分的，尤其是時間量含有空間坐標，意味著時間是會受到空間的影響的。

2.當v＜＜c時，β=v/c→0，洛侖茲變換→伽利略變換式：

所以洛侖茲坐標變換比伽利略坐標變換適用范圍更廣，在宏觀低速時兩者等價，但處理近光速運動時伽利略坐標變換失效。同時，從伽利略變換是看不出時間和空間之間的聯系的，洛侖茲坐標變換才真實反映了時空的關聯性。

3.從坐標變換還可以得到速度變換：

從速度變換式中可以看出當ux=c 時一定有v'x=c，也就是說光速在不同慣性系中都是恒定的，所以洛侖茲變換其實和光速不變原理是等價的, 它可以看成是光速不變原理的數學描述。

4.從速度變換式中我們還可以發現：x 軸的速度還會影響到y 和z 軸的速度，這一點說明運動在整個空間各個方向是有關聯的，一個方向的運動一定會影響其他方向的運動，所以運動獨立性這種說法其實是不嚴謹的。對于運動可以分解到各個坐標系的處理方式在近光速時也是不能用的，僅在宏觀低速時空的關聯性不易察覺所以可以近似處理。

[1]程守珠，江之永.普通物理學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2006：145-148.

[2]王笑君，關洪.關于洛倫茲變換的推導[J].大學物理，1998(08)：19-21.

[3]嚴國清，彭振生.洛倫茲變換的一種新推導[J].大學物理，2006(09)：22-24.

[4]關洪.再談洛倫茲變換的推導[J].大學物理，2007(11)：14-15.