各向異性亞鐵磁鏈的自旋波理論

彭 亮， 陳 斌，2

（1.上海理工大學 理學院，上海 200093；2.杭州師范大學 理學院，杭州 310018）

近幾十年來，一維的亞鐵磁鏈由于表現出很多奇特的物理現象，而引起了人們的極大興趣和廣泛關注.亞鐵磁鏈是由兩種自旋不同的磁性離子通過自旋－自旋相互作用（交換積分）而形成的一維晶格，最簡單的亞鐵磁鏈由自旋為1和自旋為組成.利用自旋波理論（SWT）［1－2］，可以得到亞鐵磁鏈的長波色散關系與波矢的平方成正比，這與鐵磁鏈的色散關系相同，而反鐵磁鏈的長波色散關系與波矢成正比［3］.這說明雖然亞鐵磁鏈近鄰格點上的自旋排列方式與反鐵磁鏈的相同，但是它的物理性質更像是鐵磁鏈.隨著人們認識的提高和對亞鐵磁鏈的進一步研究，又產生了許多新的理論，其中包括修正的自 旋 波 理 論（MSWT）［4］、自 洽 平 均 場 理 論（SCMFT）［5］和 薛 溫 格 玻 色 子 平 均 場 理 論（SBMFT）［6－7］.近年 來，人 們 又 發 展 了 一 些 新 的 計算方法，例如密度矩陣重整化群（DMRG）［8］方法和量子蒙特卡羅（QMC）［9］方法.隨著新的理論和科學的計算方法的出現，人們對亞鐵磁鏈物理性質的了解將會更加全面.

研究各向異性［10］的亞鐵磁鏈，可以提高人們對物質磁性的認識，同時可以為新型磁性材料的研發和應用提供理論上的依據，因此具有理論和實踐上的重要意義.出于對上述原因的考慮，本文研究了各向異性亞鐵磁鏈的物理性質.經過研究發現，在各向異性的亞鐵磁鏈中，在一定數值范圍內的各向異性因子會對系統中準粒子的激發起到抑制作用，它就像該系統的開關.

1 各向異性亞鐵磁鏈的自旋波理論

對于各向異性的亞鐵磁鏈，其海森堡哈密頓量可表示為

式中，J 是亞鐵磁鏈中兩格點磁性離子上電子間的交換積分，且令J＝1；η 是近鄰格點間的位置矢差；D 是各向異性因子；是自旋Si在z 軸方向上的投影分量.將系統分為兩個子格，其中子格A 的自旋向上，子格B 的自旋向下；N 為每個子格的格點總數，且取晶格長度為單位長度；Si代表子格A中i格點上的自旋，其值為S＝1；si代表子格B中i 格點上的自旋，其值為

將式（1）改寫為

子格A：

子格B：

考慮低激發態（即低溫區）時，在亞鐵磁鏈中有

利用式（3）和式（4），將亞鐵磁鏈的哈密頓量式（2）展開，并略去算符a，b 的四次項，得到低溫近似下的哈密頓量

式中，Z 為晶格的配位數，對于亞鐵磁鏈有Z＝2.對式（5）作傅里葉變換，分別引入子格的自旋波算符ak，bk

利用式（6），各向異性亞鐵磁鏈的哈密頓量式（5）可表示為

為了消除交叉項，使式（7）對角化，引入玻戈留玻夫正則變換［12］

其中，變換系數uk，vk滿足關系式

利用式（8），得到對角化的哈密頓量

式中

由式（12）可以得出，由于各向異性因子D 的作用，使得一些波矢k 無法在系統中存在，即它會抑制一些準粒子的激發.圖1是此系統的兩個激發能譜，即聲學支（）和光學支.可以看出，隨著各向異性因子D 的增加，能譜下降.當D 取0.09時，系統的激發能譜分成了兩段.而且D 越大，能譜分得越開，即這種抑制準粒子激發的作用越強.但是，如果D 的取值超過臨界值，這種抑制作用又會消失.通過研究，得到在此亞鐵磁鏈系統中存在兩個臨界值.一般地，此兩個臨界值可表示為

由以上兩式可得到系統中的臨界值分別為0.086和2.914.當各向異性因子D 的取值在這兩個臨界值之外時，即D＜0.086或D＞2.914，它對系統中準粒子的激發沒有影響.當D 的取值在這兩個臨界值之間的時候，即0.086＜D＜2.914，這個各向異性因子就會抑制系統中準粒子的激發.在各向異性的亞鐵磁鏈系統中，各向異性因子D 起到開關的作用.

圖1 各向異性亞鐵磁鏈的激發能譜Fig.1 Energy spectrum of the anisotropic ferrimagnetic chain

2 各向異性亞鐵磁鏈的物理性質

下面來研究各向異性亞鐵磁鏈的物理性質.由哈密頓量式（10），可以得到該體系單格點的自由能

進而，各向異性亞鐵磁鏈的低溫比熱容由式（16）求得

各向異性亞鐵磁鏈比熱容的低溫曲線如圖2所示（見下頁）.可以看到，當溫度T＞0.1Κ 時，隨著各向異性因子的增加，系統的比熱容在增大.各向異性亞鐵磁鏈的比熱容與溫度成正比，與實驗結果相符.

接下來研究外磁場對各向異性亞鐵磁鏈物理性質的影響.處于外磁場H 作用下的各向異性亞鐵磁鏈的哈密頓量可表示為

圖2 各向異性亞鐵磁鏈的比熱容Fig.2 Specific heat of the anisotropic ferrimagnetic chain

式中，取朗德因子g＝1，玻爾磁子μB＝1.利用HP變換，傅里葉變換和玻戈留玻夫正則變換，得到系統對角化的哈密頓量為

式中

此時體系的自由能可表示為

求得此時系統原胞的磁化強度為

各向異性亞鐵磁鏈的磁化強度曲線如圖3 所示，磁化強度曲線在m ＝0.5 處呈現一個平臺，滿足條件［13］

式中，S 為原胞中所有格點自旋之和；m 為原胞的磁化強度；n 為整數.隨著各向異性因子D 的增加，磁化強度平臺在縮短，且有消失的趨勢，這與實驗結果相符.但是，此時各向異性因子D 的取值很小.當D 的取值相當大的時候，所得結果與實驗不符，需對自旋波理論進行修正.

圖3 各向異性亞鐵磁鏈的磁化強度Fig.3 Magnetization of the anisotropic ferrimagnetic chain

3 結 論

利用自旋波理論，研究了各向異性的亞鐵磁鏈的物理性質.研究發現，各向異性亞鐵磁鏈中存在著兩個臨界值，當各向異性因子的取值在這兩個臨界值之間的時候，它會對系統中準粒子的激發起到一定的抑制作用，而且這種抑制作用會隨著各向異性因子的增加而增強，這個各向異性因子就像是該系統的開關.同時考慮了外磁場的作用，在外磁場作用下，系統的磁化強度曲線呈現出一個平臺，它隨著各向異性因子的增加而縮短.

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