具奇異非線性項p－Laplace方程Dirichlet問題解的存在唯一性

陳雨彤， 魏公明

（上海理工大學 理學院，上海 200093）

長期以來，非線性橢圓問題一直受到人們的廣泛關注，其原因是許多數學物理問題，如源于非線性源的非線性擴散理論、量子場論、統計力學以及星系的重力平衡理論與非線性橢圓問題有極大的聯系.而且數學內部的許多分支，如幾何學中的Yamabe問題和等周不等式、調和分析中的 Hardy－Littlewood－Sobolev不等式、Yang－Mills泛函的非極小解的存在性與非線性橢圓問題有著深刻的聯系.國內外關于非線性橢圓型方程可解性的研究較廣泛，解決這類問題的方法主要有不動點定理、上下解方法、拓撲度理論、隱函數（組）定理、橢圓正則化方法、緊微法、變分法等.

具奇異非線性項橢圓型方程Dirichlet問題是偏微分方程領域的重要研究內容.許多學者對奇異非線性橢圓型方程Dirichlet問題解的存在性和唯一性作了深入的研究.Crandall等［1］研究了下列非線性邊界值問題

得到了方程解的存在性，得到式（1）的古典解u∈C2（ ）Ω ∩C Ω（ ）— 存在且唯一，且在Ω 中u＞0.Fulks等［2］得到了下列問題的解的存在性

的解的存在性.Cocite等［4］得到了下列問題的解的存在性

然而，近年來非線性邊界值問題已被廣泛研究，對于p－Laplace算子的非線性邊界值問題的研究已有許多結果，如文獻［5—8］.文獻［9—10］具有相同的特點，即在u＝0處非線性項是奇異的，邊值問題的解在所定義的區域中是嚴格正的，即u＞0.

本文研究下列形式的非線性橢圓邊界值問題

式中，Ω 是?n中的有界光滑開區域，?Ω 是Ω 的邊界，且?Ω 是C1階的，p＞1.

本文主要研究式（5）的解的存在性，給出下列假設：

本文的主要結果為：

定理1 假設條件（g1）和（g2）成立，則式（5）存在唯一解且在Ω 中u＞0.

1 重要命題和引理

在本節，將給出一些為了證明定理1而需要的命題和引理.

定義1 u∈W1，p（ ）Ω 是式（5）的弱解，若對任意的η∈C∞0（ ）Ω 有

Sobolev嵌入定理［11］設Ω??n是有界光滑開區域其中

定義2［12］函數是式（5）的一個上解，如果

成立.

定義3［12］函數是式（5）的一個下解，如果

成立.

最大值原理［13］若滿足在Ω 中－Δpu≥0，在?Ω 上u＝0，則在Ω 中u≥0.

強最大值原理［13］若在Ω 中－Δpu≥0，在?Ω上u ＝0，且在Ω 中u ≠0，則對任意的x∈Ω，u（x）＞0且

弱 比 較 原 理［13］如 果 對 于 任 何u1，u2∈由u2（x∈?Ω）可以推出

為了得到式（5）的解，研究下列問題

其中ε＞0，則在下面的證明中將會得到當ε→0＋時，uε收斂于式（5）的解u.

引理1 假設條件（g1）和（g2）成立，當x∈Ω時，存在ε0＞0，當0＜ε＜ε0時則

a.式（6）存在唯一正解uε；

b.當0＜ε≤δ＜ε0時，uε≥uδ，且ε＋uε≤δ＋uδ，其中uε，uδ是式（6）的任意兩個解.

證明 因為當0＜ε＜ε0時而對且η≥0，有可知0是式（6）的下解.

假設式（7）存在兩個解ω1，ω2，當x∈A ?Ω 時，ω1（x）＜ω2（x），則當x∈?A 時，ω1＝ω2＝0，由弱比較原理可知，當x∈A時，ω1≥ω2，故A 為空集.同理可證ω1≤ω2，故ω1＝ω2，因此ωε是式（7）的唯一解.再由強最大值原理可知，當x∈Ω 時

可知ωε是式（6）的上解.

假 設 當 x ∈A ?Ω 時，uε＞ωε，則即－Δpuε≤－Δpωε；當x∈?A 時，uε＝ωε＝0，由弱比較原理知，當x∈A 時，uε≤ωε，故A 為空集.明顯地，0不是式（6）的解，故Ω 中0＜uε≤ωε.因此式（6）的解存在.

接下來證明不等式當0＜ε≤δ≤ε0時，

式中，uε，uδ是任意兩個解，令或＝（δ＋uδ）－（ε＋uε）.要證式（8）成立，即證≥0.

由式（8）可知

式中，當ε→0＋，δ→0＋時，可知uε＝uδ，故證得解的唯一性.

令h ＝（h1，…，hn）是 一個 非 零 向 量，

h是任意足夠小的向量，則u∈W2，p（Ω），且

該引理的證明見參考文獻［14］中的引理3.3.

2 定理1的證明

在本節中，運用最大值原理、弱比較原理、引理1和引理2來完成定理1的證明.

由引理2，假設σ1是Ω 中的任意開區域，使得則存在C，使得

下面證明解的唯一性，假設u，v 是兩個解，當x∈A?Ω 時，，則v），即當x∈A 時，－Δpu≥－Δpv；當x∈?A 時，u＝v＝0，由 弱 最 大 值 原 理 得 到 當x ∈A 時，.由對稱性可證得，則u＝v.定理1證畢.

3 更一般的非線性邊界值問題

將式（5）拓展，研究更一般的非線性邊界值問題

其中λ≥0，Ω 是?n中的有界光滑開區域，h∈.

假設（g1）和（g2）成立，且

假設?Ω 是C1階的，令

令μ 是

對于0＜ε＜ελ，令當x∈Aε時，對且η≥0有

引理5 給予λ∈［0，λ（ g ，h ）），對所有的ε∈分別是式（13）的上下解，并且在Ω 中幾乎處處成立，那么式（13）在區間

內存在最大值u＊和最小值u＊，即式（13）的每一個屬于的解uε都滿足u＊（x）≤uε（x）≤u＊（x）在Ω 內幾乎處處成立.

該引理的證明參考文獻［12］的294—295頁.

下面來證明定理2.

可知－Δpuε1＝－Δp（10 0＋uε2）＝－Δpuε2，而 式（14）與式（15）的右邊不相等，故矛盾.因此，對?η＞0，?δ＞0，當時，由柯西收斂準則可知收斂.由于收斂，對任意的η＞0，當時，｜uε（x＋h）－uε（x）｜＜η，由于h 足夠小，而由前面的引 理2 知uε∈W2，p（Ω ） ，可 選α∈（0 ，1） ，p＞n／（1－α），由Sobolev 嵌 入 定 理 知在C1，α（Ω ） 是 緊 的，因 此 存 在當εm→0時，uεm在中收斂，令是其極限.同樣的，存在，當εm→0 時，在中收斂，即存在，使得.因此可得在W1，p（Ω ） 中分別收斂于u，.

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