拉蓋爾－高斯渦旋光束的傳輸特性研究

侯樂鑫， 耿 滔， 董祥美

（上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海 200093）

渦旋光束是具有連續螺旋狀相位分布的光束，其光場表達式中有一項形式為exp（i lφ）的相位因子，其中，l 稱為拓撲荷，φ 為柱坐標系中的角向坐標。渦旋光束的每個光子攜帶l? 的確定光子軌道角動量，? 為約化普朗克常量。早期渦旋光束主要集中應用于光學微操控，如對微粒和原子的光陷阱［1］、捕獲和 引 導 粒 子［2－3］、驅 動 微 粒 旋 轉［4－5］等。近年來，研究者發現其可以用于保密［6－7］、高密度通信［8－10］，因此，越來越多的研究開始集中到渦旋光束的傳輸特性方面［11－13］。

基模高斯光束在自由空間傳播時能保持其自身的表達形式不變，因為，其本身就是一個自傅立葉變換過程。然而對于高階渦旋光束在自由空間的傳播是否也能保持其自身表達形式的不變性，針對這一問題的研究較少。最近，文獻［13］利用菲涅耳衍射理論研究了拉蓋爾－高斯渦旋光束的傳輸特性，由于衍射積分的復雜性，文獻［13］中的入射面電場只考慮了n＝0的情況，即拉蓋爾多項式恒等于1。n為拉蓋爾多項式過零次數.因此，得到的結果無法應用到任意階（n≠0）的拉蓋爾－高斯渦旋光束。

本文從菲涅耳衍射理論出發，以自由空間為例，利用柯林斯公式推導出任意階拉蓋爾－高斯光束的傳播形式，證明了任意階拉蓋爾－高斯渦旋光束在自由空間傳播時都能保持自身表達形式的不變性。更為重要的是，本文的研究方法可以拓展到滿足傍軸條件的任意光學系統。

1 理論推導

在傍軸條件滿足的情況下，光學系統對光線的變換作用可由其變換矩陣表示，如圖1所示。

圖1 光學系統對光線的變換作用Fig.1 Transformation by the optical system

r 為光線離軸線z 的距離，θ 為光線傳播方向與z 軸的夾角，BP1和BP2分別為入射面和出射面。入射光線與出射光線的參數關系可表示為

式中，T 為光學系統的光學變換矩陣；A，B，C，D 是矩陣T 的元素，取值由光學系統決定。

由光學變換矩陣原理可知，無論一個光學系統有多復雜，只要知道其光學變換矩陣，即可求得出射光線的位置與方向。利用光學矩陣變換原理可以大大簡化光線在復雜光學系統中的傳輸問題。

將以上光學矩陣原理應用于菲涅耳衍射公式

得到柯林斯公式［14］

式中，λ 為波長；k＝2π／λ；u 為光束的橫向復振幅分布；觀察平面坐標由x，y，z 表示；入射平面坐標由x1，y1，z1表示.

先考慮厄米－高斯波在自由空間的傳播行為，令入射面z1＝0在高斯光束束腰處，則有

式中，w0為束腰半徑；為模式指數（l，m ＝0，1，…）；Hl（·），Hm（·）為厄米多項式。

將式（4）代入式（3），整理可得觀察平面z 上的場分布

其中

在自由空間傳播時，有A＝D＝1，B＝z，代入式（5）并整理得

其中

式（8）即為厄米高斯光束的電場分布。

拉蓋爾多項式可以用厄米多項式展開，其展開式為［15］

其中

式中，Ll，±m（x，y）即拉蓋爾－高斯光束的橫模場分布；）為拉蓋爾多項式；為Jacobi多項式。

由式（11）可知，在入射面（z＝0）的任意階拉蓋爾－高斯渦旋光場可以寫成厄米高斯光的線性組合，由于積分后不改變線性疊加特性，將式（11）代入式（8），然后將直角坐標轉化為柱坐標，并進行化簡整理，得到任意階拉蓋爾－高斯光束經自由空間傳播后在任意z 平面上的場分布

通過求解傍軸條件下的波動方程，獲得拉蓋爾－高斯光束的電場形式為［16］

式中，An，l為常系數。

比較式（15）和式（16）發現，它們的表達形式完全一樣，這就證明了任意階拉蓋爾－高斯渦旋光束在自由空間的傳播能保持自身表達形式的不變性。

2 仿真模擬和分析

圖2為渦旋光束在自由空間傳播1m 后的強度分布圖，由于相位奇點的存在，中心都為暗核，橫截面上徑向截線圓數由拉蓋爾多項式的過零次數決定，取決于n。光束的擴散速度與階數有關，在同樣的衍射距離上，n 值相同時，l 值越大，則光束半徑越大；l值相同時，n 值越大，光束半徑越大。

在源平面上，光束相位因子為exp（±i lφ），其等相位線為由中心出發沿半徑方向的直線，同時n決定平面上相位分布在徑向上的截線數。經過空間傳輸之后，光束相位分布發生了變化，其橫截面上的等相位線不再是直線。由式（15）可知，光束經自由空間傳播之后光束橫截面上的相位因子變為

在z＝z1處，exp［－i（2 n＋l＋1）φ］exp（i kz1）為常相位項，不影響相位分布，此時相位分布由決定。由式（18）可知，當光束離開源平面后（z＝0），任意點的相位分布不僅與φ 有關，還受到了r的影響，相位隨著r 的增大逐漸增加，造成了等相位線的彎曲，彎曲方向由拓撲荷數的正負決定。當n≠0時，拉蓋爾多項式每次過零，相應位置增加π的相位差，如圖3所示（見下頁）。在源平面上，等相位線為由坐標中心出發的射線。等相位線周期數等于拓撲荷l的絕對值。經過一段距離的傳播后，光束橫截面上等相位線發生彎曲，彎曲方向取決于l的正負取值。在z＝1m處的橫截面上，當l 為正時，等相位線的彎曲方向為逆時針方向；當l 為負時，等相位線彎曲方向為順時針方向。n＝3時，拉蓋爾多項式3次過零，橫截面上相位分布發生3次躍變。

圖2 z＝1m 處不同階數拉蓋爾－高斯光束的強度分布Fig.2 Intensity distribution of Laguerre－Gaussian beams of different orders at z＝1m

圖3 z＝0m 處和z＝1m 處不同階數拉蓋爾－高斯光束的相位分布Fig.3 Phase distribution of Lagueere－Gaussian beams of different orders at z＝0mand z＝1m

3 結 論

得到式（15）等價于式（16）的結論是合理的，因為，式（16）是通過直接求解柱坐標系下傍軸波動方程獲得的，而菲涅耳衍射公式（式（2））也源自于傍軸條件下的波動方程，由于理論的自洽性，同一個問題通過這兩種方法得到的結果必然是等價的。因此，在探討拉蓋爾－高斯渦旋光束在自由空間的傳播特性時，并不需要再作復雜的衍射積分，而可以直接使用拉蓋爾－高斯光束的表達式。更為重要的是，本文雖然只推導了拉蓋爾－高斯光束在自由空間的傳播行為，但只要選取合適的A，B，C，D 系數，本文的研究方法適用于滿足傍軸條件的任意光學系統。例如，只需將A＝D＝1，B＝－1／f 代人式（5），經過相同的推導過程即可獲得任意階拉蓋爾－高斯渦旋光束經過理想薄透鏡的解析表達式。因此，本文的研究方法可應用于渦旋光束經過復雜光學系統時的研究。

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