條件概率分布與巴格達的賊

馬芙玲

（中山火炬職業技術學院，廣東 中山 528436）

條件概率分布與巴格達的賊

馬芙玲

（中山火炬職業技術學院，廣東 中山 528436）

文章通過求巴格達的賊的問題，引入條件概率分布，條件數學期望和全數學期望公式。隨后利用這些公具，圓滿地解決了巴格達的賊問題，旨在幫助學生化解這一數學難點。

巴格達；條件概率分布；全期望公式

1 引言

在《概率統計》這一門課程中，關于條件概率分布這一部分內容，一般同學都覺得有些困難．然而該內容，無論是在實際應用，還是在概率論的深入學習方面都是必不可少的，為此本文通過求解巴格達的賊的問題，引入條件概率分布，條件數學期望和全數學期望公式。隨后利用這些工具，圓滿地解決了巴格達的賊問題。本文旨在幫助學生化解這一數學難點。

2 巴格達的賊的問題

巴格達是伊拉克的首都，它以石油和古巴倫歷史文化為驕傲。近年來又以戰亂搶劫偷盜聞名于世。據悉，此地的盜賊猖獗由來已久，分析賊的處置可歸結為如下數學模型。

把巴格達的賊關進一座有三扇門的地牢，其中一扇通過一個短地道，通過這一地道走一天后又返回地牢。另一扇門通過另一個長地道，通過該地道走三天仍回地牢。第三扇門通向自由。假定地牢很暗，賊想逃走是等可能地選擇每扇一門，試求賊被投獄的平均天數（從他第一次選擇某扇門的時刻算起，直到他選擇了通向自由門的次數為止）。

易知賊人沒有死罪，而在地牢中呆的天數要看他的運氣，只有求出平均被投獄天數才可以比較對其的懲罰力度。

3 條件概率分布

設 ,ξ η是離散型隨機變量。即

由條件概率定義知

例設ξ是取值{0,1,2}，η是取值為{0,1}的二維隨機變量，(ξ,η)的概率如表1所示：

表1　(,)ξ η的概率表

求其條件分布列。

解：由隨機向量(,)ξ η的概率函數可算出其邊際分布列

由條件分布列定義知：

當然也可以寫出其條件分布函數，此處從略。

對于離散型隨機變量，由其分布列可定義描述其取集中位置的數學特征，即數學期望。類似地，由離散型隨機變量的條件分布，也容易引進其條件期望的概念。在一個可數的樣本空間里，考慮一個值域為的隨機變量與一個事件，值域為，假定的數學期望存在，則它相對于事件的條件期望自然地定義為

類似于全概率公式，稱上式為全數學期望公式，它也非常有用。

4 巴格達賊問題的解

則sn表示賊從第一次選擇一扇門時刻起，到第1n+次選擇通向自由門為止被關押的天數。由全數學期望公式，則平均天數

可知，若賊選擇通向自由的門，則在此條件下，之后被關押的天數為0，即。

所以

由上面所得的遞推公式，再用iξ的獨立分布的性質及數學期望的可加性得

得到巴格達的賊被投入監獄的平均天數僅為短短 4天，如此低的代價使得在巴格達盜賊非常猖厥．

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[3] Changfu Luan.The Fate of a Gambler with the Bold Strategy[J].Far East J Theo Stat,2002,8(2):89-97.

The conditional probability distribution and the Thief of Baghdad

In this paper, the conditional probability distribution, the conditional expectation and the Law of total expectation are int roduced first, and then solves the Thief of Baghdad problem completely. This article is designed to help students to resolve this mathem atic difficulty.

Baghdad; conditional probability distribution; Law of total expectation

O211.9

A

1008-1151(2015)09-0158-02

2015-08-12

馬芙玲（1963－），女，山東人，中山火炬職業技術學院公共課教學部副教授，研究方向為數理金融和數學教學。