簡論數學符號語言的特征

□沈丹丹

理論·綜述

簡論數學符號語言的特征

□沈丹丹

數學符號語言與其他語言相比，有其獨特鮮明的特征，主要表現為符號的統一性和簡潔性以及語義的確定性。不僅便于記錄和閱讀，而且更能加速思維的進程和高效傳播，它打破了國界，成為了“最具公共語言的一門學科”。數學符號語言體系的形成和發展，促進了數學研究和數學知識的傳播，同時也把人類語言學推向了新的高度和廣度。

數學 符號語言 特征

語言是人類最重要的交際工具，與人類思維有著密切的聯系，是人類思維和表達思想的手段，也是人類社會最基本的信息載體。人們借助語言保存和傳遞人類文明的成果［1］。人類語言有三個關鍵要素：信息、思維和思想。任何信息只有賦予語義，形成概念，經過形式化處理進行信息加工，通過思維形成思想，才能達到交流的目的。從這個意義上說，人類的語言也可以理解為人的思維為著交際的目的而傳輸的可供感知的信息。隨著人類進化的演進發展，人類語言的形式也逐漸多樣化，從語言的“信息傳遞”表現方式來分析，人類使用不同的器官和工具來表達思想，有了以聲音為載體的聲音語言，典型的為人類的口語、音樂等；通過肢體動作表現的肢體語言，如人的表情、手勢語、體態語等，比較典型的是聾語；以圖形、文字和符號為載體的書面語言，這類語言表達和保存的人類思想已蔚為大觀，構成了人類現代文明的基礎，形成了不同的學科。

數學是一門古老的學科，我國古代的“六藝”中就有“數”，屬于人類書面語言中的重要組成部分。伽利略說過，數學是上帝用來書寫宇宙的文字。基于這種理念，美國天文學家、科普作家卡爾·薩根認為，宇宙中的文明無論差異多大，都有一種共同的語言——數學語言，為此，還把數學語言作為宇宙語言的首選。數學語言也有文字語言、圖像語言和符號語言之分。本文中的數學符號語言是指在數學中用以表示數學概念、數學關系等的符號和記號。包括表示數學概念的符號，表示數學關系和數學推理所使用的符號，以及其他專用符號等。數學通過符號語言傳遞現實世界中的數、量、關系及其空間形式。

數學符號語言是為適應數學思維特殊需要而出現的，它通過把具體事物“一般化”后用抽象的數字、字母、圖形、關系式等保存和傳遞數學研究的成果，建構數學的知識大廈。數學發展到今天，已成為一個符號化的世界，闖入這個世界，處處都要和符號打交道，符號就是數學存在的具體化身。因此，數學符號是數學科學專門使用的特殊語言，是含義高度概括、形體高度濃縮的一種科學語言，也就是說，它是一種便于記錄和閱讀、加速思維進程和高效傳播思維的科學書面語言，其作用不僅促進了數學研究的發展和數學知識的傳播，同時也把人類語言學推向了新的高度和廣度。

數學符號語言有以下三個主要特征：

一、符號的統一性

符號的統一性是數學符號語言的一大特征。無論什么國家的人，無論操用哪個國家和地區的語言的人看到a+b=b+a，都知道這是乘法交換律，這種數學約定或數學符號不僅展示了數學符號語言的全球統一性，更表達了數學思維“一般化”的過程。這里的“a+b=b+a”實際上是“32+56=56+32”“148+91=91+148”等無數個加法算式的“一般化”表達。

2014年微信上流行一個段子：“手機尾號暴露了你的年齡”。個中秘密，從數學的視角理解其實是一個數學語言的統一化和數學思維“一般化”的過程。

一旦把微信中的日常語言（見左欄）改用數學特定的符號語言來描述（見右欄），秘密就暴露無疑了。

微信中的要求： 用數學符號語言表達：

看一下你手機的最后一位 設手機的最后一位為x

把這個數字乘上2 2x

然后加上5 2x+5

再乘以50 （2x+5）×50

把得到的數目加上1764 （2x+5）×50+1764=100x+2014

用這個數目減去你出生那一年 100x+（2014-出生那一年）

得到的三位數，第一位是你手機的最后一位 百位上的數字是x，

最后兩位就是你的實際年齡 （2014-出生那一年）

從右邊那欄用數學符號語言表達的“一般式”中可知，后兩位當然就是你的實際年齡了。“手機尾號暴露了你的年齡！”這個“神秘”的段子，在數學符號語言體系中就現出了“原形”，年齡是利用數學知識“計算”出來的，而不是“算命先生”算出來的。

把日常語言轉化成數學符號語言，能揭示事物的本質屬性，數學的魅力也就在這里。如對于上述左邊的“日常語言”，不懂中文的人是“看不懂”的，但對具有初中文化程度的任何國家的人都能從右邊的“數學符號語言”中知道其含義。因此，數學可稱之為“最具公共語言的一門學科”［2］。

數學符號語言可分為以下幾種類型：

類型數學符號具體含義表示數學概念的符號元素符號數……-2、-1、0、1、2、3……表示整數，包括正整數、0和負整數。3.52、0.0202…；3/4，8/7表示小數和分數等。i虛數符號x、y、z 和a、b、c表示未知數和已知數。量AB、l，C，S，V；s、v、t 表示長度，周長，面積，體積；路程、速度、時間等常見的量。m、cm、km2、m3、L、g、kg表示米、厘米、平方公里、立方米、升、克、千克等計量單位。形△、、⊙、∠、⌒表示三角形、平行四邊形、圓、角、弧等圖形約定符號A、B常表示集合f、g常表示函數P（A）、E（x）常表示概率、期望值等性質符號“＋”“—”表示正號和負號。“|a|”表示絕對值表示關系或推理的符號關系符號大小關系：＜、=、＞、≤、≥等表示數與數、式與式、式與數的關系位置關系：∥、⊥；表示平行、垂直等兩直線的位置關系；部總關系：∈、?屬于、不屬于結合關系：“（）”“［ ］”“｛｝”表示運算順序的先后次序整除關系：“|”，“…”整除，余數函數關系：sin、cos、log、ln正弦、余弦、及常用對數、自然對數等集合關系：?、?，∪、∩等包含于、包含，并集、交集等運算符號“＋”“—”“×”“÷”“”加、減、乘、除、開方等運算符號“∑”“∏”“∫”連加、連乘、積分等推理符號∵，∴；“?”因為、所以；推出等其他特殊符號“π”“e”“%”“∞”等表示圓周率、對數的底、百分號、無窮大等

這些符號都具有國際通用性。

數學符號語言的統一性，還體現在各國對數學的理解上。筆者曾讓中國大陸和新加坡教師用圖像語言描述數學老師，大家都不約而同地用“教‘1＋2=3’的圖片”來描述數學老師的形象，也說明了數學符號語言的國際通用性。

數學在近兩個世紀中取得了顯著的進展和輝煌的成就，盡管有著許多因素，但數學符號語言的統一性厥功至偉。通過數學符號語言傳達數學思想，簡化思維過程，推動了數學自身的發展。

二、符號的簡潔性

這一點，從文字代數與符號代數的比較中也可以看得很清楚。今天看似十分簡單的代數式“（10＋x）2=100＋20x＋x2”，古代用文字表達則要敘述為“如果要求10和根自乘的結果，就要施行如下運算過程：10乘10得100；根乘10等于10個根；10乘根等于10個根；根乘根等于平方。總之，這個自乘的結果等于100，20個根和根平方”，多么冗長。古代人掌握簡單的數的概念需要經歷非常漫長、艱難的過程，而今天小學一年級的學生不僅能很快理解初步的數的概念，并且能掌握100以內的加減運算等，究其原因，除了古今人們實踐和認識的條件不同外，十分重要的一個原因就是今天已有了一個規范統一簡潔的數學符號語言系統。

數學符號語言的簡潔性還表現在表達思想和推理過程的簡潔與明了中。如定理“在有余數的除法里，如果被除數和除數能被同一自然數整除，那么，余數也能被這個自然數整除”，我們可用數學符號語言表示為：

這個定理的證明過程用數學符號語言表達，思維清晰，符合邏輯，能讓讀者一目了然地看到推理的過程。

三、語意的確定性

數學符號語言還具有語意確定性的特點，數學符號語言的語意是確定無疑的，思想是上下一貫、有根有據的。愛因斯坦曾說：在描述各種關系時要盡可能達到最高標準的嚴格精確性，這樣的標準只有用數學語言才能做到。

許多數學符號的產生與發展也充分證明了這一點。如2，最初是捷克的魯道夫于1525年出版的《常用代數技巧規則下的速算》一書中使用符號“√”，后來笛卡兒添上一橫線變成后才作為數學上的通用符號。有了這一橫，就可以把誰的平方根看得一清二楚，避免語義上的混亂。

數學符號中雖然也有同一個符號語意不同的情況，如［ ］，它既可以表示中括號，也可以表達閉區間，又如加號和正號等，但它們使用在不同語境中，語義是非常明確的。

即便是界限模糊的一些概念，數學上也要想方設法，使之語義確定。如人們平時說的胖與瘦、高與矮，他們的界限是模糊的。《紅樓夢》中用文學語言對“瘦弱的林黛玉”著墨很多，但100個人的心中有100個不同的“林妹妹”形象，這是文學語言的魅力。針對林妹妹“瘦”到什么程度的問題，如果用數學語言來表達，就是要確定什么是“瘦的”。假設40千克以下的人是“瘦的”，那么41千克是“瘦”還是“胖”呢？

“禿頭悖論”也反映了這個問題。如果我們事先約定，頭發根數不超過某一確定的常數n的人為禿頭，那頭發根數為n+1的人是否是禿頭？根據約定，應該不算是禿頭，但他只比頭發根數為n的人多了1根，這樣定性實在有悖常理。但如果約定，當N=n時為禿頭，則N=n+1也為禿頭。如此，根據數學歸納法，可以推得世界上所有的人都是禿頭。顯然，這是更加荒謬的結論，但推理的過程沒有錯呀！問題的根源在于“禿頭”這個概念本身的語義模糊不清。

美國控制論專家L·A·查德通過研究數學的基礎——集合論，發現普通集合論是揚棄了模糊性而抽象出來的。如一個對象a或者有某種性質，或者沒有，即a要么屬于集合A，要么不屬于A，兩者必居其一，而且只能居其一，決不容許模棱兩可。用數學符號語言表示就是：

這是一個函數式，這個函數的值域是集合｛0，1｝。但查德認為，客觀事物之間界限不分明的中介狀態是普遍的，為此他對普通集合進行了推廣，把點集改造為區間［0，1］，用介于0、1之間的一個數來說明該人的體重“多大程度上屬于瘦的”，程度越高，這個數就越大。如設體重小于40千克的人是瘦子，其屬于“瘦子”的程度（數學上叫做隸屬度）為1，體重為60千克的人不是瘦子，其屬于“瘦子”的程度或隸屬度為0，那么，體重為a千克的人屬于“瘦子”的隸屬度就可以通過數學符號語言g（x）=（60-x）/（60-40），x∈［40，60］表達出來。如當x=50時，g（x）=0.5，當x=45時，g（x）=0.75，通過這個隸屬函數g（x）就可以比較誰更“瘦”一點，顯然45千克的人比50千克的人更“瘦”一點。這個隸屬度在我們的生活中并不陌生，說“某事有80%的把握”，這里的80%，就是隸屬度，這是模糊數學所研究的內容。模糊數學“硬”是把界限模糊的量用“數據”表示出來了，讓這些概念的語義確定，關系明確不含糊。

由此可見，數學符號語言具有嚴密性和確定性的特點，能更加完善、準確、明了地把概念傳遞給人，它擺脫自然語言的多義性，避免了在推理中產生歧義而造成邏輯上的混亂。如果說文學語言、圖像語言在傳達思想時的模糊性和內省性，是為了表達人豐富的內心和情感世界，那么數學符號語言的確定性，則把人類的思維和推理過程表達得清楚明白，合乎邏輯。英國著名哲學家、數學家羅素說過“數學就是符號加邏輯”。

物理可以用實驗解決問題，但數學必須用“數據”和“一般化”的論證。哥德巴赫猜想至今尚未解決就是因為沒有找到“一般化”的論證方法。用簡潔統一的符號、確定無誤的概念進行推理和論證，這既是數學符號語言的特征，也是數學學科本身的特征。數學通過數學符號語言保存和傳遞數、量、關系和空間形式，并通過符號語言加速思維的進程，高效傳播思維和數學思想方法。

（本文是教育部人文社會科學研究規劃基金項目［項目批準號：11YJA880086］研究成果之一。）

［1］辭海編輯委員會.辭海［Z］.上海：上海辭書出版社，1990：447.

［2］吳曉紅，鄭毓信.從質疑到釋疑：數學教育國際比較可比性解讀［J］.比較教育研究，2007，（8）.

［3］孟艾菊，婁亞敏.數學符號語言和自然語言的關系探微［J］.現代語文（語言研究版），2014，（3）.

［4］［日］黑木哲德著.數學符號理解手冊［M］.趙雪梅譯.上海：學林出版社，2011：8.

［5］鄭毓信.數學思維與小學數學［M］.南京：江蘇教育出版社，2012：9.

（沈丹丹 浙江寧波 寧波大學教師教育學院 315211）