數學建模思想在教學中的原則與作用

王忠信

【摘 要】數學模型（Mathematical Model）是一種模擬，是用數學符號、數學式子、程序、圖形等對實際課題本質屬性的抽象而又簡潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現象，或能預測未來的發展規律，或能為控制某一現象的發展提供某種意義下的最優策略或較好策略。數學模型一般并非現實問題的直接翻版，它的建立既需要人們對現實問題深入細微的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數學知識。這種應用知識從實際課題中抽象、提煉出數學模型的過程就稱為數學建模。

【關鍵詞】數學建模 ? ? ?原則 ? ? 應用

一、數學模型的定義

現在數學模型還沒有一個統一的準確的定義，因為站在不同的角度可以有不同的定義。不過我們可以給出如下定義：“數學模型是關于部分現實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的、簡化的結構。”具體來說，數學模型就是為了某種目的，用字母、數學及其他數學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構表達式。今天，數學在許多領域上起著十分關鍵的作用，數學建模被時代賦予更為重要的意義。

二、數學建模的方法和步驟

1.模型準備

要了解問題的實際背景，明確建模目的，盡量弄清對象的特征。

2.模型假設

根據對象的特征和建模目的，對問題進行必要地、合理地簡化，用精確的語言做出假設，是建模至關重要的一步，高超的建模者能充分發揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別主次，使問題簡單化。

3.模型構成

根據所做的假設分析對象的因果關系，利用對象的內在規律和適當的數學工具，構造各個量間的等式關系或其他數學結構。

4.模型求解

可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值運算等各種傳統的數學方法，對問題進行合理地驗證。

5.模型分析

對模型解答進行數學上的分析。“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，能否對模型結果做出細致精當地分析，決定了你的模型能否達到更高的檔次。

三、數學建模案例分析

在教學過程中，為了讓學生認識到學習數學的重要性，了解數學在實際生產、生活中的應用，用數學建模來解決實際問題就是數學在生活中的重要應用，這里以一個數學案例來說明數學建模思想。

例：碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船上卸載貨物，卸載完畢恰好用8天時間：

（1）輪船到達目的地后開始卸貨，卸貨速度與卸貨時間之間有怎樣的函數關系？

（2）由于遇到緊急情況，船上的貨物必須在不超過5天內卸載完畢，那么平均每天至少要卸載多少噸貨物？

對于問題（1）我設計如下問題：①這艘輪船上裝有多少貨物？

②輪船到達目的地后，卸下的貨物是多少噸？變量和常量是什么？

設計這些問題的目的是讓學生明白，貨物重量是240噸，是一個常量，變量時卸貨速度和卸貨時間。

③若設卸貨的速度是V，時間為t，那么V與t之間有什么函數關系呢？

設計意圖是通過對問題的抽象，應用“工作量=工作速度×工作時間”，建立V與t之間的數學模型（反比例函數）。

對于（2）設計問題如下：①如果用5天時間卸完240噸貨物，那么每天卸貨多少噸？

②當變量t的取值小于5時，對應的函數V的值比48大還是小？

③當t的值不超過5時，對應的函數V的值是大于48還是小于48？

設計意圖是讓學生明白，t的取值越小，V的值越大。

四、數學建模教學應遵循的幾個原則

應該如何培養學生在掌握數學的同時又能解決實際問題、提高學生數學建模能力？通過教學實踐，我認為主要應該把握好以下幾點：

1.要解決數學建模能力中的核心層——數學化

學生解決“應用”問題，有兩個“攔路虎”，首先就是學生不會將實際問題轉化為數學問題，即數學化過程。這里需要解決學生怎樣通過閱讀理解將文字語言轉化為數學符號語言，這一點恰恰是教學的一個盲點，學生不能對應用問題進行有效的閱讀理解。日常教學中，我們要注意指導學生在閱讀中形成閱讀想象、閱讀聯想、閱讀思維、閱讀情感等穩定的閱讀心理要素，持之以恒地訓練，使學生形成良好的閱讀理解能力。其次，應加強學生的運算（特別是近似計算）能力培養，應鼓勵學生使用計算機、計算器等工具。

2.要突出學生的主體地位

學生主體地位是指學生應是教學活動的中心，教師、教材以及一切的教學手段，都應為學生的學習服務，讓學生應積極參與到教學活動中去，充當教學活動的主角。教師要鼓勵學生大膽嘗試，鼓勵學生不怕挫折失敗，鼓勵學生動口表述、動手操作、動腦思考。鼓勵學生要多想、多讀、多議、多講、多練、多聽，讓學生始終處于主動參與、主動探索的積極狀態。如在“打包問題”教學中，可讓學生自己制作模型，自己測量有關數據，自己動手擺列模型，有助于學生深入思考問題的實質，教師要在講解過程中不斷滲透建模的思想，由師生共同探討得到數學建模的結果。

3.要把握適應性原則

數學建模的設計應與課堂教學內容相配套，體現數學建模的思想方法。設計所涉及的數學知識可有所拓寬，但課堂教學中建模問題要與教學目標和課堂教學進度相適應，不可任意地拓寬和加深，以免加重學生學習負擔。選題時可以結合教學內容構造實際模型。

比如函數、不等式等問題，可以從教材的例題和習題中改造而成。如：《拋物線》中有一道例題，“拋物線形拱橋如圖所示，當拱頂離水面2.5m時，水面寬4.5m。如果水面上升0.5m，水面寬多少（精確到0.01m）？”（此處圖略）稍加改變就可以形成一系列從應用到建模的問題：（1）一輛貨車要通過跨度為8m，拱高為4m的單行拋物線形隧道（從正中通過），為保證安全，車頂離隧道頂部至少要有0.5m的距離，若貨車寬為2m，則貨車的限高應為多少（精確到0.01m）？（2）一條隧道頂部是拋物拱形，在（1）中將單行道改為雙行道，即貨車必須由隧道中線的右側通過，那么貨車的限高應是多少？（3）一輛貨車高3m，寬2m，要通過高為4m的單行拋物線形隧道，為安全起見，車離隧道頂部至少要有05m的距離，那么拱口寬應是多少米（精確到0.01m）？（4）將上題中的單行道改成雙行道，再回答上面的問題;（5）將（1）中的拋物線拱改為圓拱，再解問題（1）;（6）將（2）、（3）、（4）中的拋物線拱改為圓拱，重解這三題;（7）如果開口向下的拋物線下的面積可以用公式s=2ab/2計 算（其中2a是拋物線開口寬度，b是拋物線高度），問分別開鑿滿足問題（1），（5）等長的公路隧道，哪一種拱線的土方工程量更小？（8）請你設計一條拋物線拱，它滿足（4）中雙行要求，且拱曲線下的面積最小，從而開鑿的土方量最小。

另外也可以聯系實際生活，引導學生建立一些簡單的數學模型。日常生活是應用問題的源泉之一，現實生活中有很多問題可以通過建立數學模型加以解決。如購房問題，市場經濟中涉及如成本、利潤、儲蓄等方面的問題是數學建模的好素材，適當選取后融入教學活動中，讓學生“跳一跳可以把果子摘下來”即可。

4.要注重滲透數學思想方法

數學思想方法是數學知識的精髓，是知識、技能轉化為能力的橋梁。建模過程應該是滲透數學思想方法的過程。比如化歸的思想，函數的思想，方程的思想，數形結合的思想，等價轉化思想，消元法、換元法、待定系數法、配方法、反證法、解析法等數學方法。教學中注重全方位滲透數學思想方法，才有可能讓學生從本質上理解數學建模的思想。

五、數學建模思想的應用

1.在數學概念教學中應用數學建模思想

在數學概念的教學中，運用數學建模思想也能取得較好的實效。比如，在講授“軸對稱”概念時，可以給出“奶站”模型，讓學生熟知此類問題的實際應用。對于不同的模型，一旦拋開其實際意義，可以單純地從數學結構上來看待，能讓學生體驗到數學的魅力。

2.在作業布置中應用數學建模思想

現行的教材，涉及應用方面的問題很少，這對于培養學生的創新能力是十分不利的。為盡量彌補這一缺憾，可補充一些數學建模的素材到習題之中，這樣不但能夠豐富教學的內容，而且又能讓學生體驗到學習數學建模的全過程。

3.在考試考核中應用數學建模思想

數學考核的方法正在從單一的閉卷考試轉變為多樣化形式，可見，客觀公正、尊重個體能力及差異變得更加重要，而創新意識的培養則是數學建模學習的宗旨之一。因此，在考核中，要充分展現學生各方面的創新能力。

總之，數學建模思想的應用，對于數學教學改革具有非常重要的意義。將數學建模思想引入數學教學，其目的是更好地促進學生的數學學習，提高他們運用數學思想分析問題、解決問題及抽象思維的能力。教師要通過數學建模思想的應用，使學生初步掌握從實際問題中概括數學內涵的方法，激發學生的數學學習興趣，并為將來學生的專業課學習奠定堅實的數學基礎。

六、總結

數學以高度的抽象性、嚴密的邏輯性以及廣泛的應用性，滲透于科學技術及實際生產生活的各個領域。建模能力是解題者對各種能力的綜合應用，它涉及文字理解能力，對相關知識的掌握程度，良好的心理素質，創新精神和創造能力，以及觀察、分析、綜合、比較、概括等各種科學思維方法的綜合應用。數學建模教學在以上適度的原則下也不應該拘泥于形式，受縛于教條，我們應密切關注生活，結合課本，改變原體，將知識重新分解組合，使之成為立意高、情境新、設問巧、并賦予時代氣息的問題，這對培養學生思維的靈活性、敏捷性、深刻性、廣闊性、創造性是大有益處的。數學建模是一種新的學習方式，順應了社會發展及教育改革的需要，有助于培養學生學習的興趣，也可以增強學生應用數學的意識。

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