保證適當沉切量的剃前齒輪滾刀廓形精確設計

崔華瑩，李必文，王曉東

（南華大學機械工程學院，湖南 衡陽421001）

具有適當沉切量的齒輪，在滿足齒根彎曲疲勞強度的前提下，能有效地減小因潤滑油的擠出對齒輪副齒頂齒根的沖蝕作用，并有效地降低齒輪箱的油溫[1]，對降低齒輪箱能耗與噪聲、減小齒輪損耗有很好的效果，這已成為齒輪工作者的共識。要達到該目的，要求齒輪在剃前的滾齒加工時制出更大的沉切量；要求剃齒加工在保證有效漸開線長度的同時還要保留最終的設計沉切量。實際生產中發現：按復雜刀具設計手冊[2]設計制造的標準剃前齒輪滾刀，能保證剃后有較小的沉切量，但有效漸開線長度基本上得不到保證；按JB/T4103─2006《剃前齒輪滾刀標準》[3]設計制造的標準剃前齒輪滾刀，能保證有效漸開線長度，但剃后沉切量仍偏小。此外，標準剃前齒輪滾刀對變位齒輪以及滾齒工序公法線工藝尺寸（為解決熱處理后公法線變長的問題，往往人為設誤，將剃齒工序公法線工藝尺寸設計為靠近甚至小于下偏差，這樣在剃齒余量不變的前提下，滾齒工序的公法線工藝尺寸會較?。┑倪m用性都值得商榷。本文引入并行設計技術，提出具有適當沉切量剃前齒輪滾刀廓形精確設計的方法。

1 對剃前滾刀法向廓形的改進

按文獻[2]設計的剃前齒輪滾刀，其輔助切削刃的齒形角為0°，刀具耐用度低。圖1為文獻[3]中II型剃前齒輪滾刀的法向廓形，輔助切削刃DE的齒形α0角按規定設計為15°，使其有足夠的側刃后角。而文獻[4]認為 α0應不小于 9°.筆者認為 α0，應結合 αn的值而具體設計，因αn除了按國標取20°外，還可取14.5°、15°（常用于食品機械、印刷機械），17°、17.5°（常用于轎車），22.5°（常用于汽車、拖拉機），25°、26.5°、27°（常用于礦山機械、工程機械），28°（常用于航空）[5]，故 α0的閾值范圍應該是 9°～αn，在保證輔助切削刃不影響齒輪工件有效漸開線長度前提下應盡可能取為最大值，以得到最大的側刃后角，并最大限度地降低成形刀刃的切削負荷。以往串行設計時，圖1中D、E兩點處均為尖角，內凹尖角不便于鏟磨加工，兩尖角在使用中也會很快磨損變鈍。引入并行設計技術，從可制造性及耐用性的角度進行分析和評估，將D、E兩點處改為圓弧過渡，過渡圓弧半徑按常規定為0.3mn，這樣就得到如圖2所示的法向廓形。

圖1 原刀具法向廓形

圖2改進后的刀具法向廓形

圖2 中，設計滾刀法向齒厚Sn0，應適應滾齒工序的公法線工藝尺寸，有別于使用標準刀時的調整切深法。H1的設計值則相應加大，以使剃后齒輪沉切量約為0.08 mm.在此基礎上設計齒頂凸角結構尺寸時，應將hG設計為保證齒輪工件有效漸開線長度前提下的最大值，從而使α0取為最大值成為可能。

2 剃前滾刀法向齒厚的確定

要設計適應滾齒公法線工藝尺寸的滾刀法向齒厚Sn0，必須考慮齒輪工件的變位系數、齒厚減薄量以及剃齒余量，Sn0須按如下公式設計：

式中，Pn0為刀具法向齒距；A為齒輪分度圓齒厚的留剃余量；Sn為滾齒工序公法線工藝尺寸中間值所對應的齒輪分度圓齒厚，按下式計算：

要說明的是，按照文獻[2]設計的留剃余量遠遠大于按文獻[3]和[6]設計的留剃余量，為提升剃齒效率計，應按后者設計。

設計剃前滾刀法向齒厚時同步考慮齒輪工件的滾齒公法線工藝尺寸而進行精確設計，優點是明顯的，一是避免了使用標準剃前齒輪滾刀時采用的加大切深法，為精確控制齒輪工件的展成廓形提供了條件；二是可最大限度地保證了薄壁齒輪工件的齒根圓直徑，避免采用移刀法，提高了滾齒加工效率。

3 大沉切量剃前滾刀齒頂凸角結構尺寸的精確設計

3.1 齒頂凸角廓形的作用與幾何關系

剃前滾刀法向廓形的形式確定后，齒頂凸角的結構尺寸需要精確設計，包括了齒厚齒高的設計計算。H1按加大的沉切量設計會影響凸角齒厚，hG的變化影響到α0的取值。圖2中，主切削刃GH切出齒輪工件的漸開線，圓弧形切削刃DE切出齒輪工件齒根過渡曲線的一部分，而直線形輔助切削刃EF及圓弧形切削刃FG雖參與切削過程，最終卻不在齒輪工件齒廓上留下展成廓形。要保證有效漸開線長度，就必須使DE切出的齒輪過渡曲線與GH切出的漸開線之交點低于有效漸開線的起始點。利用齒廓法線法，通過坐標變換[7]，可求得與刀具齒廓共軛的齒輪齒廓曲線方程。

設β為DE上任意一點的半徑線與縱軸的夾角（銳角），由此建立DE切出的齒輪過渡曲線的參數方程：

設ξ為GH上任意一點的橫坐標，由此建立GH切出的漸開線參數方程：

式（3）和（4）中，r2為被切齒輪工件分度圓半徑；由圖2幾何關系可得到D、G兩點的坐標計算式：

在公式（3）～（7）中，ξ、β、hG為變量，其它參數均可根據被切齒輪工件參數及工藝參數定出。

3.2 保證h G為最大值的優化設計模型

（1）建立目標函數

為求得hG的最大值，可令s=1/hG.優化設計模型中，hG為變量，而ξ、β為中間變量。

（2）建立約束方程

令，x1=f1（β，hG），y1=f2（β，hG），x2=f3（ξ，hG），y2=f4（ξ，hG），α0=f5（hG），xG=f6（hG）。引入并行設計思想，同步考慮剃前滾刀設計、制造、使用全過程的約束，建立以下等式和不等式的約束方程，包括變量可行域不等式約束。

1）過渡曲線與漸開線相交的等式約束

2）過渡曲線與漸開線的交點低于有效漸開線起始圓的不等式約束

式中，ρ為齒輪有效工作部分起始點處漸開線曲率半徑；rb2為被切齒輪工件的基圓半徑。

3）輔助切削刃齒形角α0的上下限

式中，r2為被切齒輪工件的分度圓半徑。

4）中間變量β的上下限

5）中間變量的上下限

（3）建立優化模型

綜合以上關系，本優化問題可歸結為有約束非線性最優化問題。優化模型描述為：

利用MATLAB最優化工具箱的fmincon（）函數可以方便地進行求解。

4 設計實例及其圖形校驗

某材料為20CrMnTi的齒輪工件，工藝上要求先滾后剃再滲碳淬火，其齒部參數為：模數mn=3 mm，齒形角αn=20°，齒數z1=40，齒頂高系數，頂隙系數c*=0.25，變位系數為-0.36，精度等級為6 GB/T 10095.1-2-2008，公法線長度W4=31.393-0.070-0.091.共軛齒輪齒數z2=19，變位系數為+0.36（影響到齒輪工件的有效工作部分起始點處漸開線曲率半徑）。

據文獻[2]設計的剃前齒輪滾刀，不考慮熱處理后公法線變長的問題，按分度圓齒厚剃齒設計余量0.12 mm換算公法線剃齒余量為0.114 mm，剃后沉切量定為0.03 mm，根據被切齒輪及其共軛齒輪的參數確定剃前齒輪滾刀的法向齒廓參數，由此建立剃前齒輪滾刀的法向齒廓方程，再依據齒廓嚙合基本定理得到被切齒輪的齒廓曲線方程，并基于Matlab作圖，如圖3a所示。可以發現，這種剃前齒輪滾刀是不能保證有效漸開線長度的。

基于并行設計技術和優化設計模型設計剃前齒輪滾刀時，為提高剃齒效率，分度圓齒厚剃齒設計余量縮減為0.07mm，換算成公法線剃齒余量為0.067 mm；為消除熱處理對公法線尺寸的影響，按滲碳淬火后公法線通常會變長0.025 mm的統計數據[8]，將滾齒公法線工藝尺寸定為；從使用角度出發，經強度校核和有限元分析可行性之后，將剃后沉切量加大為0.08 mm.基于Matlab作出圖3b校驗被切齒輪的齒廓曲線，可見，即使加大了沉切量，剃后仍然能夠保證有效漸開線長度。

5 結束語

本文以并行設計取代傳統的串行設計，同步考慮刀具設計、制造、使用及其對齒輪工件的影響等全過程約束，并應用優化設計方法，設計出來的剃前齒輪滾刀，既保證齒輪工件的設計沉切量和有效漸開線長度，還提升了滾齒和剃齒加工效率，提高了刀具耐用度。在大沉切量滿足齒輪使用工況的齒根彎曲疲勞強度要求時本設計方法應盡可能采用。

[1]北京齒輪總廠.論設計齒形和設計齒向[J].汽車齒輪，1988，（4）:58－64.

[2]四川省機械工業局.復雜刀具設計手冊[M].北京:機械工業出版社，1985:260－267.

[3]JB/T4103─2006，剃前齒輪滾刀標準[S].

[4]張 靜.磨前齒輪滾刀齒形優化設計[D].遼寧:東北大學，2009:36.

[5]李必文.機械精度設計與檢測[M].長沙:中南大學出版社，2011:218.

[6]袁哲俊，劉明華.加工圓柱齒輪和蝸桿副的刀具[M].北京:機械工業出版社，2009:37－38.

[7]吳序堂.齒輪嚙合原理[M].西安:西安交通大學出版社，2009:25－26.

[8]牛長坡.滲碳淬火齒輪公法線長度超差的原因分析及處理方法[J].金屬加工，2010，（23）:55.