一類非線性差分方程平衡解的穩定性與吸引性注記

李濤

（連云港開放大學，江蘇 連云港 222006）

一類非線性差分方程平衡解的穩定性與吸引性注記

李濤

（連云港開放大學，江蘇 連云港 222006）

文中研究了如下形式的非線性二階差分方程，通過對參數β的討論,得到了該方程平衡點的穩定性的結論.

差分方程；平衡解；穩定性

差分方程主要研究離散系統的規律和行為，它的理論廣泛應用于科學和經濟研究中.k+1階差分方程的一般形式如下xn+1=F(xn,xn-1,…,xn-k)，如果該方程右邊的多元函數為有理函數時，方程為有理型差分方程，在文獻[1]中研究了幾類高階的非線性差分方程，在文獻[2]中研究了一類二階差分方程，在文獻[3]中研究了下述形式的差分方程：

1 預備知識及引理

令I為一實區間，考慮差分方程

其中，k為自然數且k≥1，函數F∈C(Ik+1,I)，關于每一個變量都有連續偏導數.

定義 1.2[1][4]設是方程（2）的一個解，點為差分方程（2）的一個平衡點：

(a)方程（2）的平衡點是局部穩定的，如果?ε＞0，?δ＞0，當時，對于所有的n≥-k，就有

(c)方程（2）的平衡點是一個全局吸引子，如果對于方程（2）的任意解

則方程

定理1.4[1][4]設F是一個連續可微函數，是 方程（2）的一個平衡點，則下列各條件成立：

(a)如果方程（2）的所有根位于單位圓|z|＜1內，則方程（2）的平衡點是局部漸進穩定的.

(b)如果方程（2）的根中至少有一個根的模大于1，則方程（2）的平衡點是不穩定的.

(c)如果方程（2）的所有根的絕對值都大于1，則方程（2）的平衡點是 一個源點.

定理1.5[1][4]設p0,p1,…,pk是實數，且|p0|+|p1|+…|pk|＜1，則方程(3)的所有根位于單位圓單位圓|z|＜1內.

2 主要結論

二階差分方程（1）的平衡點是下面方程的非負解

〔1〕王小梅.幾類非線性差分方程的定性[D].山西大學,2008.

〔2〕余廷忠.一類二階有理差分方程的穩定性及計算機模擬[J].數學的實踐與認識[J].2013,43(17):255-262.

〔3〕黨紅剛,何萬生.一類非線性差分方程平衡解的穩定性與吸引性[J].天水師范學院學報,2011,31(2):26-28.

〔4〕E.A.Grove,,G.Ladas.Periodicitiesin Nonlnear Difference Eauations[M],Volume 4.Discrete Mathematics and A pplications,2005.

O415.5

A

1673-260X（2015）12-0001-02