調和Bergman空間上兩個Toeplitz算子的乘積問題

楊靜宇，王曉英

（赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000）

調和Bergman空間上兩個Toeplitz算子的乘積問題

楊靜宇，王曉英

（赤峰學院 數學與統計學院，內蒙古 赤峰 024000）

本文討論調和Bergman空間上以擬齊次函數為符號的Toeplitz算子的乘積問題.

擬齊次函數；徑向函數；調和Bergman空間；Toeplitz算子

1 引言

dA表示單位圓盤D上正規化的Lebesgue面積測度，L2(D,dA)是在D上平方可積的函數按內積

構成的Hilbert空間.L2h是由L2(D,dA)上的調和函數全體構成的閉子空間.

設u∈L∞(D,dA),在L2h上定義以u為符號的Toeplitz算子Tu為

因為L2h上的點賦值泛函是有界線性泛函，所以對于任意的z∈D,存在著唯一的函數Rz∈L2h使得

設P為L2到L2a上的正交投影，則對于任意f∈L2(D,dA)有

設φ是D上的函數，若φ(z)=φ(|z|),則φ為徑向函數.若f(reipθ)=eipθφ(r),其中φ(z)=φ(|z|),那么稱f為P階擬齊次函數.

1964年，Brown和Halmos[1]在Hardy空間證明了TfTg=Th當且僅當（1）g是解析的，（2）f是余解析的.他們還給出，在這兩種情況下h=fg.在Bergman空間中，這兩個條件是充分條件但不是必要條件.Ahernh和Cuckovic[2]證明了Bergman空間L2a上以調和函數為符號的Toeplitz算子仍有Brown-Halmos型結果.隨后Louhichi，Strouse和Zakariasy[3]給出了兩個擬齊次Toeplitz算子的乘積仍是Toeplitz算子的充分必要條件.而Louhichi和Zakariasy[4]則在L2a上刻畫了擬齊次函數為符號的Toeplitz算子的交換性.研究擬齊次函數為符號的Toeplitz算子的主要原因是對于L2(D,dA)中的任意函數f都有極分解

其中fk是L2([0,1],rdr)中的函數.

調和Bergman空間L2h上的Toeplitz算子理論與Bergman空間上的Toeplitz算子理論有很大的區別.例如Choe和Lee[5]證明了L2h上兩個解析Toeplitz算子只有當他們的符號函數線性相關時才能交換，但在Bergman空間上兩個解析Toeplitz算子總是可交換的.本文將考察L2h上兩個擬齊次Toeplitz算子的乘積何時為Toeplitz算子.

2 預備知識

首先介紹徑向函數的Mellin變換

設函數φ∈L1[0,1],那么φ的Mellin變換定義為

引理2.1 設p∈Z,φ是有界徑向函數，那么對每一個k∈N有，

注2.2 設p,s∈Z，由引理2.1知r|s|eisθ經階為p的Toeplitz算子映射后的像是λp,sr|p+s|ei(p+s)θ其中λp,s是常數.

引理2.3 設f是D上的有界徑向函數，那么下列條件等價

定理2.4 設f是{z:Rez＞0}上的有界解析函數并且在點z1,z2,…上取值為零，若z1,z2,…滿足

那么f在{z:Rez＞0}上恒等于零.

注2.5 我們將用此定理給出，若φ∈L1([0,1], rdr)并且存在序列(nk)k≥0?N滿足

那么對所有的z∈{z:Re＞2}都有φ^(z)=0進一步得到φ=0.

3 定理的證明

首先介紹一個函數的徑向化函數.設f是D上有界函數，則f的徑向化函數定義為

顯然，f是徑向函數當且僅當rad(f)=f.

定理3.1 設P∈D，f是D上的有界函數，那么下面的結論是等價的

（1）?k∈N,?λk∈C，使得Tf(rkeikθ)=λkr|k+p|eiθ(k+p)

（2）f是p階擬齊次函數，

定理3.2 設f1,f2是D上階數為k1和k2的兩個有界擬齊次函數.如果存在有界函數h使得Tf1Tf2=Th，那么h是階數為k1+k2的擬齊次函數.

定理 3.3 設l1,l2＞0并且k1,k2∈Z，那么是一個Toeplitz算子當且僅當k1=k2=0.此時

〔1〕.A.Brown and P.R.Halmos,Algebraic properties of Toeplitz operators[J],J.Reine Angew.Math.213 (1964),89–102.MR0160136(28: 3350).

〔2〕P.Ahern andˇZ.ˇCuˇckovi′c,A theorem of Brown-Halmos type for Bergman space Toeplitz operators[J],J.Funct.Anal.187(2001), 200–210.MR1867348(2002h:47040).

〔3〕I.Louhichi,E.Strouse and L.Zakariasy, Products of Toeplitz operators on the Bergman space[J],Integral Equations Operator Theory 54 (2006),525–539.MR2222982(2007a:47033).

〔4〕I.Louhichiand L.Zakariasy,On Toeplitz operatorswith quasihomogeneous symbols[J], Arch.Math.85(2005),248–257.MR2172383 (2006e:47061).

〔5〕B.R.Choe and Y.J.Lee,Commuting Toeplitz operators on the harmonic Bergman spaces[J], Michigan Math.J.46(1999),163–174.MR1682896(2000a:47054).

O177.1

A

1673-260X（2015）12-0003-04

內蒙古自治區高等學?？茖W研究項目（NJZY13298）