空間相關MIMO信道下的OSTBC有限反饋預編碼

(杭州電子科技大學通信工程學院，浙江 杭州310018)

0 引 言

文獻[1]提出了酉預編碼的正交空時分組碼(Orthogonal Space-Time Block Coding，OSTBC)有限反饋系統。基于此系統，文獻[2]根據預編碼設計準則[3]提出了新的預編碼設計方案，具有更低誤碼率和快速選碼特點。但上述碼本的設計都是在信道為獨立同分布情況下進行的。在實際多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)通信環境中，天線收發兩端往往會有很大的相關性，針對空間相關MIMO信道，利用發送相關矩陣對獨立同分布信道下的碼本進行修正，所得碼本具有不錯的性能[4-5]。本文考慮酉預編碼OSTBC有限反饋系統，首先推導了接收端信噪比(Signal to Noise Ratio，SNR)平均失真的上界，得到了預編碼矩陣的結構，然后利用發送相關矩陣的平方根對碼本進行旋轉，設計了適用于空間相關MIMO信道下的新碼本，同時設計一種快速選碼方案。新碼本不僅進一步提高了誤碼率性能，而且在快速選碼方案下，選碼復雜度有了很大的降低。

1 系統模型

酉預編碼OSTBC有限反饋系統框圖如圖1所示。假設MIMO系統有Nr根接收天線，Nt根發射天線。H是有發送相關和接收相關的平坦衰落信道。相關模型采用Kronecker模型[6]，表示為:

式中，Rt為發送相關矩陣，Rr為接收相關矩陣，G為獨立同分布的復高斯隨機變量矩陣。

預編碼矩陣Pi是由接收端依據當前的信道實現而選出的最佳碼字，并將碼字序號i 反饋回發送端。假定波束矢量上等功率分配，那么與一個OSTBC 符號矩陣對應的接收信號可表示為:

式中，ρ為信噪比;X=[x1，x2，…，xT]是一個M×T 維的空時碼矩陣，向量xt表示t時刻OSTBC編碼器輸出;W是Nr×T 維的噪聲矩陣，其每一個元素均是零均值、單位方差的復高斯白噪聲。

為了表述方便，本文將后面的數學符號進行說明。(·)H表示矩陣的共軛轉置，表示絕對值，表示向量的Euclidean 范數，表示矩陣的Frobenius 范數。EH[·]表示對H的期望值，arg max(arg min)表示使表達式取得最大值(最小值)的任意變量，Ⅰk表示k×k的單位矩陣。

圖1 酉預編碼OSTBC有限反饋系統框圖

2 空間相關信道下預編碼的碼本設計

2.1 多層碼字的結構

文獻[2]中的碼本是為了最小化系統錯誤概率而設計的。它是把反饋比特分解成M個比特數，預編碼矩陣是按列向量逐列地進行構造，形成具有M層結構的碼字空間。假設系統接收端反饋r 比特，使得r=r1+r2+…+rM，令Jm=2rm(1≤m≤M)，系統碼本碼字個數為J =2r。根據預編碼設計準則，得到的J1個Nt維的復列向量v1，1，v1，2，…，v1，J1，將其作為第一層選碼空間VJ1={v1，1，v1，2，…，v1，J1}。第二層選碼空間為VJ2={v2，j1，1，v2，j1，2，…，v2，j1，J2}(1≤j1≤J1)，其中每J2個向量都對應著上一層選碼空間中的一個向量。應用預編碼設計準則，直到得出第M層的選碼空間VJM={vM，j1，j2，…，1，vM，j1，j2，…，2，…，vM，j1，j2，…，JM}(1≤j1≤J1，1≤j2≤J2，…)。通過最優選碼或快速選碼準則，在每一層選碼空間中選出最優向量，然后組合成最優的預編碼碼字矩陣Fi(1≤i≤J)。

2.2 碼本設計

文獻[4]證明了當信道只有接收相關性，系統仍可用Grassmannian 碼本進行預編碼，但當信道還具有發送相關性，仍是本文需要解決的問題，下面考慮既有發送相關性又有接收相關性的情況。

通過最小符號錯誤概率準則得到的最佳預編碼碼字矩陣如下:

令m×n維矩陣A的奇異值分解[7]為:

式中，UA、QA、∑A分別是A的左奇異向量矩陣、右奇異向量矩陣、奇異值矩陣;k個非零奇異值以降序排列為σ1≥…≥σk，k為矩陣A的秩。文獻[1]通過對H和P 實行奇異值分解，得到的上界為的前M列構成的矩陣，此時最優預編碼矩陣為是QH前M列所構成的矩陣。

針對空間相關的MIMO信道，對于一個給定碼本，定義一個平均失真函數:

為了最小化式(5)，可以最小化式(5)的上界值。其上界值可由下式確定:

1)產生各層碼字空間。如上節所述，生成適用于獨立同分布瑞利衰落信道下各層碼字空間，設在各層碼字空間選擇出來的列向量所組合成的碼本F={F1，F2，…，FJ}，碼本包含J個碼字;

3)碼本量化。因為每個碼字為酉矩陣，所以需要對每個碼字進行酉矩陣化，使每個碼字滿足= ⅠM，最終得到新碼本為P，P={P1，P2，…，PJ}，其中

2.3 快速選碼準則

接收端可根據式(3)確定出適合于當前信道實現的最佳預編碼碼字矩陣的序號，并將碼字序號i 反饋回發送端。但這種選碼準則計算量未免很大。因為碼字是逐列地進行構造，所以預編碼碼字矩陣也可以逐列地進行選擇，因此可以設計一種快速選碼方案。

最佳碼字矩陣中第二列向量下標i2為:

依此類推，直到得出最佳碼字矩陣中的第M列向量的下標iM，經過上述M次下標確定后，可以直接得到最佳預編碼碼字矩陣。

3 仿真結果與分析

系統仿真參數為:H是3×4 維的空間相關的衰落信道，相關模型采用Kronecker模型，天線陣列為歸一化線性陣列，發射天線間距離為dt=3λ，接收端天線間距離為dr=0.5λ，λ是載波波長。天線接收端到達角為0°，發送端和接收端的角度擴展分別為2°和60°。角度功率譜服從拉普拉斯分布。輸入數據采用QPSK調制，OSTBC編碼采用全速率的2×2 維Alamouti 編碼。在不同反饋比特下，新碼本和文獻[2]碼本在空間相關MIMO信道中的誤碼率性能曲線如圖2、圖3所示。

圖2 反饋6 bit時不同碼本誤碼率性能對比

圖3 反饋8 bit時不同碼本誤碼率性能對比

在圖2中，反饋比特r=6 且r=r1+r2=3+3。由圖2可知，新碼本在最優選碼方案和快速選碼方案下所表現出的性能都優于文獻[2]中碼本性能。在圖3中，反饋比特r=8 且r=r1+r2=5+3，新碼本在最優選碼方案下的系統性能得到進一步的提升。

在圖2中，針對一個具體信道實現H，為了選出最佳預編碼碼字矩陣，最優選碼方案要對比26=64次，而快速選碼方案只需要進行2次選擇，每次需要對比23=8次，則一共只需進行16次選擇，兩者相差3倍。在圖3中，最優選碼方案要對比28=256次，而快速選碼方案只需要進行2次選擇，需要對比25=32和23=8次，則一共只需進行40次選擇，兩者相差5.4倍。很顯然，最優選碼方案需要計算J=J1×J2×·…×JM次矩陣HPi的Frobenius 范數，而快速選碼方案只需要計算J1+J2+…+JM次兩個向量的內積，因此系統在快速選碼方案下，選碼復雜度有了很大的降低。

圖4描述了反饋6 bit時新碼本在僅接收相關、僅發送相關、發送和接收同時相關信道下的誤碼率性能對比。在信道僅接收相關時，系統誤碼率性能優于僅發送相關、發送和接收同時相關這兩種情況，而在信道僅發送相關時，系統誤碼率性能曲線與發送和接收同時相關情況下的基本重合，這也說明了前文所說的當信道只有接收相關性時系統仍可用原有碼本進行預編碼。

圖4 信道在不同相關情況下新碼本的性能對比

4 結束語

針對酉預編碼OSTBC有限反饋系統，本文通過理論推導，得到了信道具有空間相關性時預編碼矩陣的結構，利用發送相關矩陣對獨立同分布信道下的酉預編碼碼本進行旋轉操作，設計出適用于空間相關信道下的新碼本。同時設計一種快速選碼方案。此新碼本不僅進一步提高了誤碼率性能，而且在快速選碼方案下，選碼復雜度有了很大的降低。

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