繞線轉子無刷雙饋電機的d-q軸數學模型

熊飛， 王雪帆， 華斌， 尹傳濤

(1.華中科技大學強電磁工程與新技術國家重點實驗室，湖北 武漢 430074; 2.中國船舶重工集團第七一二研究所，湖北 武漢 430064)

繞線轉子無刷雙饋電機的d-q軸數學模型

熊飛1， 王雪帆1， 華斌2， 尹傳濤2

(1.華中科技大學強電磁工程與新技術國家重點實驗室，湖北 武漢 430074; 2.中國船舶重工集團第七一二研究所，湖北 武漢 430064)

在闡述繞線轉子無刷雙饋電機的定子繞組、轉子繞組結構和靜止a-b-c軸數學模型的基礎上，推導出電機的d-q軸數學模型。這種電機模型建立在一個任意d-q軸坐標系下，使用起來方便，消除定子繞組和轉子繞組之間互感矩陣的時變系數，縮短計算時間，有利于控制方法的實現，適用于繞線轉子無刷雙饋電機動態和穩態性能的分析研究。d-q軸數學模型的參數能根據電機的設計幾何尺寸和經驗公式得到。通過仿真分析結果和實驗數據的對比，驗證了任意d-q軸數學模型的正確性。繞線轉子無刷雙饋電機任意d-q軸數學模型的建立為電機性能分析和控制策略的研究奠定基礎。

無刷雙饋電機;數學模型;繞線轉子;d-q軸坐標系;仿真分析

0 引 言

無刷雙饋電機是一種由兩套不同極對數的定子繞組和一套轉子繞組構成的新型交流感應電機。兩套定子繞組分別稱為功率繞組和控制繞組，轉子可采用特殊籠型、磁阻轉子或者繞線轉子結構［1-3］。電機既能作為電動機運行，也能作為發電機運行，兼有異步電機和同步電機的特點。由于這種電機具有結構簡單、堅固耐用、功率因數可調和變頻器容量等級小等優點，它在交流變頻調速以及船用軸帶發電、水力發電和風力發電等領域有著廣泛的應用前景［4］。

國內外學者對無刷雙饋電機的數學模型進行了廣泛的研究。文獻［5］建立了6/2極特殊籠型轉子無刷雙饋電機在轉子坐標系下的d-q軸模型，并對電機的起動和運行性能進行仿真研究。文獻［6］將上述的轉子坐標系下d-q軸模型推廣至任意極對數的通用形式。文獻［7］建立適用于雙饋運行穩態計算的無刷雙饋電機諧波分析模型來評估樣機的性能，并建立有限元分析模型用于研究鐵心的損耗和飽和問題［8］。文獻［9］推導籠型轉子和磁阻轉子無刷雙饋電機的統一等效電路與電磁轉矩表達式，并對等效電路中的電感參數進行了實驗驗證。文獻［10］從電機的基本定子線圈及籠型轉子的基本回路出發，建立無刷雙饋電機靜止a-b-c軸數學模型，并給出相應的參數計算公式。文獻［11］提出無刷雙饋電機混合坐標系數學模型，為變頻器-無刷雙饋電機調速系統仿真計算提供了有力的理論工具。近年來，文獻［12］提出用電動勢來等效機械負載的新頻率折算方法，建立通用的等效電路模型，并對電機的特性進行分析和仿真。文獻［13］提出一種場路藕合運動問題的二維時步有限元方法，建立無刷雙饋電機有限元分析模型。

根據繞線轉子無刷雙饋電機的特點，給出了電機的定子繞組、轉子繞組結構和靜止a-b-c軸數學模型。在此基礎上，通過坐標變換，推導出任意d -q軸數學模型和d-q軸數學模型參數的計算方法。最后，通過仿真結果和實驗數據來驗證建立的任意d-q軸數學模型的正確性。

1 繞線轉子無刷雙饋電機的結構

1.1 定子繞組結構

無刷雙饋電機的定子繞組結構有單繞組和雙繞組兩種結構。單繞組結構從一套定子繞組中引出兩個三相的出線端口供電，從不同端口看進來，同一套繞組等效為不同極對數的繞組，較理想的連接方式為3Y/3Y和4Y/3Y兩種連接方式，但這種結構在兩種不同極對數下由于各并聯支路感應電勢不容易控制平衡會導致內部產生環流，因此現有的無刷雙饋電機基本采用雙繞組結構。雙繞組結構是在定子槽中放有兩套相互獨立不同極對數的三相對稱繞組，兩套繞組能分別采用單層或者雙層繞組、不同的并聯支路和不同的節距進行靈活設計。圖1給出一臺定子72槽，功率繞組極對數為7和控制繞組極對數為5試驗樣機的定子繞組接線圖。

圖1 定子繞組接線圖Fig.1 Stator w inding connection

1.2 轉子繞組結構

轉子結構是影響無刷雙饋電機性能的一個重要因素。目前國內外無刷雙饋電機的轉子主要采用特殊籠型和磁阻轉子兩種結構，其中特殊籠型轉子結構簡單，加工制造容易，成本低廉，適用于制造大容量電機［14］;磁阻轉子結構堅固，轉子由鐵心沖片和永磁體構成，轉子上沒有導體和繞組，建模和控制簡單;但這兩種轉子由于結構受到一定的限制，使得轉子諧波含量難以控制，電機性能難以滿足實用要求。當無刷雙饋電機的轉子采用繞線轉子這種結構時，其能對電機中存在的兩種不同極對數基波磁勢相對大小、繞組系數和諧波含量等進行方便地設計、調整和控制，可以做到繞組導體利用率高，諧波含量低的優點。圖2給出一臺轉子12槽，功率繞組極對數為7和控制繞組極對數為5試驗樣機的轉子繞組接線圖。

圖2 轉子繞組接線圖Fig.2 Rotor w inding connection

2 d-q軸數學模型

2.1 靜止a-b-c軸數學模型

為了得到繞線轉子無刷雙饋電機靜止a-b-c軸數學模型的磁鏈方程和電壓方程，作如下假定:

1)不計定子和轉子齒槽影響，定子內表面和轉子外表面圓滑，氣隙均勻;

2)不計鐵磁材料飽和、磁滯、渦流的影響，參數線性化;

3)定子繞組和轉子繞組產生的磁動勢為正弦波，忽略它們的諧波影響。

在上述假定的基礎上，為簡化分析，再假設轉子繞組由三相對稱繞組構成。根據基爾霍夫定律，按照電動機慣例定義參考方向，建立其磁鏈矩陣方程和電壓矩陣方程為

式(1)和式(2)中，ψ表示磁鏈矩陣，U表示電壓矩陣，I表示電流矩陣，Z表示阻抗矩陣，R表示電阻矩陣，L表示電感矩陣;下標abc表示abc三相有關的變量參數;下標p和c分別表示與功率繞組和控制繞組有關的變量參數，下標r表示與轉子繞組有關的變量參數;下標pr表示功率繞組與轉子繞組之間的互感參數，下標cr代表控制繞組與轉子繞組之間的互感參數;上標T表示轉置矩陣;d()/d t表示微分算子。

根據這種電機的原理和結構可知，電機可由功率繞組和控制繞組兩個子系統構成。選取功率繞組和控制繞組子系統參考坐標系如圖3所示，其中Ap、Bp、Cp和ap、bp、cp為功率繞組子系統中定子繞組和轉子繞組三相軸線，Ac、Bc、Cc和ac、bc、cc為控制繞組子系統中定子繞組和轉子繞組三相軸線，以功率繞組子系統中Ap軸線為參考軸，pp和pc分別為功率繞組和控制繞組的極對數，θr為轉子旋轉的機械角度，θspc+180°為功率繞組和控制繞組A相軸線之間的夾角。

圖3 功率繞組和控制繞組子系統的參考坐標系Fig.3 Three-phase stationary reference frames of the power w inding subsystem and the control w inding subsystem

根據文獻［15］中的參數計算方法，推導出功率繞組、控制繞組和轉子繞組的電阻矩陣為

功率繞組的互感矩陣Lp為

控制繞組的互感矩陣Lc為

轉子繞組的互感矩陣Lr為

功率繞組和轉子繞組之間的互感矩陣Mpr為

控制繞組和轉子繞組之間的互感矩陣Mcr為

式(3)～式(10)中，rp、rc和rr分別表示功率繞組、控制繞組和轉子繞組一相的電阻值，Lσp、Lσc和Lσr分別表示功率繞組、控制繞組和轉子繞組一相的漏電感;Lmp、Lmc和Lmr分別表示功率繞組、控制繞組和轉子繞組一相的激磁電感;Lpr表示功率繞組和轉子繞組相與相之間的互感;Lcr表示控制繞組和轉子繞組相與相之間的互感。

電阻參數rp、rc和rr能根據電機的幾何尺寸來計算，漏感參數Lσp，Lσcand Lσr與繞組端部漏磁、槽漏磁和諧波漏磁等漏磁通有關，可由經驗公式估算或者試驗方法測定，這里不作討論。通過推導，功率繞組一相的激磁電感Lmp為

控制繞組一相的激磁電感Lmc為

轉子繞組一相的激磁電感Lmr為

功率繞組和轉子繞組相與相之間的互感Lpr為

控制繞組和轉子繞組相與相之間的互感Lcr為

式(11)～式(15)中，g是氣隙有效長度;l是鐵心有效長度;τp和τc分別是定子功率繞組和控制繞組的極距;Np和Nrp分別是定子功率繞組和對應于功率繞組的轉子繞組的每相串聯匝數;Nc和Nrc分別是定子控制繞組和對應于控制繞組的轉子繞組的每相串聯匝數;Kwp和Kwrp分別是定子控制繞組和對應于控制繞組的轉子繞組的繞組系數;Kwc和Kwrc分別是定子控制繞組和對應于控制繞組的轉子繞組的繞組系數;μ0=0.4π×10-6H/m。

電機的電磁轉矩方程為

電機的轉子運動方程為

式(16)和式(17)中，Te表示負載轉矩，ωr為轉子的機械角速度，J表示電機的轉動慣量，KD表示轉子的機械阻尼系數，TL表示負載轉矩。

2.2 任意d-q軸數學模型的推導

在上一節中，已經得到電機的靜止a-b-c軸數學模型。由于功率繞組和轉子繞組之間的互感矩陣、控制繞組和轉子繞組之間的互感矩陣是轉子位置角的函數，靜止a-b-c軸數學模型是含有時變系數的微分方程組。為了使上述含有時變系數的微分方程組變換為易于求解的常系數微分方程組，常采用坐標變換。圖4給出靜止a-b-c軸坐標系與任意d-q軸坐標系的關系，其中ω為任意d-q軸坐標系軸線旋轉的角速度，ωp為功率繞組電流的電角速度，ωc為控制繞組電流的電角速度。

圖4 靜止a-b-c軸坐標系與任意d-q軸坐標系的關系Fig.4 Relation between the arbitrary d-q axis reference frame and the stationary a-b-c axis reference frame

根據圖3和圖4可知，軸線Ap與d軸的夾角θ1為

軸線Ac與d軸的夾角θ2為

軸線ap與d軸的夾角θ3為

式(18)～式(20)中，θ10、θ20和θ30分別表示軸線Ap、軸線Ac、軸線ap與d軸的初始夾角。前面推導出的功率繞組和轉子繞組之間的互感矩陣，控制繞組和轉子繞組之間的互感矩陣已不考慮初始夾角的影響，這里令θ10=θ20=θ30=0。

根據上面的分析，變換分塊矩陣為

式(21)中，功率繞組變換矩陣Cp為

控制繞組變換矩陣Cc為

轉子繞組變換矩陣Crp和Crc為

將轉子繞組分成對應于功率繞組和控制繞組子系統的轉子繞組，令

并定義

對式(1)和式(2)進行坐標變換，得到

式(28)和式(29)中，上標-1表示逆矩陣。

由于轉子繞組自閉合形成回路，根據式(22)～式(24)，對式(28)和式(29)中轉子繞組進行合并，因此轉子繞組磁鏈、電壓和電流滿足以下關系式

簡化式(28)和式(29)，根據以下關系式進行繞組折算，

并令Mmp=3Lmp/2、Mmc=3L′mc/2、Lsp=Lσp+3Lmp/2、L′sc=L′σc+3L′mc/2和L′sr=L′σr+3L′mr/2，其中上標′表示折算到功率繞組的控制繞組或者轉子繞組變量;假定系統三相對稱，通過推導，得到轉子繞組合并后的繞線轉子無刷雙饋電機在任意d-q軸坐標系下的磁鏈矩陣和電壓矩陣方程為

其中δc=ω-(pp+pc)ωr，δr=ω-ppωr。

對式(16)進行坐標變換，得到的電磁轉矩方程為

根據式(11)～式(15)，通過繞組折算，d-q軸數學模型的參數計算公式為

當電機雙饋同步穩定運行時，轉子的機械角速度ωr與功率繞組電流的電角速度ωp和控制繞組電流的電角速度ωc滿足以下關系式

電機的轉子運動方程仍為式(17)，不因坐標變換而變化。式(33)、式(34)、式(35)和式(17)構成繞線轉子無刷雙饋電機的任意d-q軸數學模型，選取不同的坐標軸能得到不同的坐標系。當參考坐標軸旋轉的角速度為零，即ω=0，能構成靜止α-β軸坐標系統;當坐標軸放在轉子繞組軸線上，即ω= ppωr，能構成轉子速d-q軸坐標系;當坐標軸放在以同步轉速旋轉的功率繞組軸線上，即ω=ωp=ωc+(pp+pc)ωr，能構成dc-qc軸同步速坐標系。任意d-q軸數學模型的建立消除定子繞組和轉子繞組之間互感矩陣的時變系數，使用起來方便，縮短計算時間，有利于控制方法的實現，使得無刷雙饋電機的分析變得和異步電機、同步電機一樣簡捷實用，能根據具體條件及問題性質采用不同的坐標變換方法加以應用。

3 樣機仿真和試驗研究

為驗證上述d-q軸數學模型的正確性，設計了一臺極對數為7/5的實驗樣機，定轉子鐵心沖片采用YZR200L的內外徑尺寸，定子采用72槽，轉子采用12槽。功率繞組、控制繞組和轉子繞組的接線圖如前圖1和圖2所示。電機d-q軸數學模型參數如表1所示。

表1 d-q軸數學模型參數Table 1 Param eters of them athem aticalmodel under the d-q axis reference frame

建立電機在dc-qc軸同步速坐標系下的動態仿真模型。采用轉動慣量J=1.1 kg.m2，機械阻尼系數KD=0kg.m2/s。圖5給出樣機級聯異步運行時，從理想空載起動到帶負載轉矩50 N.m的動態仿真工作特性曲線。

圖5 樣機異步運行時的仿真結果Fig.5 Sim ulation resultswhen the p rototypemachine is operating in the asynchronousmode

由圖5可知，樣機異步運行時，轉速在250.7 r/min處穩定，當突加負載后，轉速下降，并在238.2 r/min處穩定。當功率繞組、控制繞組和轉子繞組相電流轉換到dc-qc軸同步速坐標系下，穩定時dc-qc軸電流值均為恒定直流量。

圖6給出樣機雙饋超同步速運行時，從異步空載起動、牽入到空載，控制繞組輸出電壓幅值為40 V、反相序、頻率為2 Hz雙饋運行，再到帶負載轉矩50 N.m的動態仿真工作特性曲線。由圖6可知，樣機雙饋超同步速運行時，轉速在260 r/min處穩定，這與式(37)是相吻合的。此時，功率繞組、控制繞組和轉子繞組的dc-qc軸電流值穩定時也均為恒定直流量。

圖6 樣機雙饋運行時的仿真結果Fig.6 Sim ulation resultswhen the p rototypemachine is operating in the doubly-fed mode

表2給出了不同運行方式下的仿真值與實測值對比結果。表2(b)中，樣機雙饋運行時，控制繞組輸出電壓幅值分別為20 V和40 V、反相序、頻率為2 Hz。

從表2可以看出，仿真值與實測值比較吻合，說明了這一模型的正確性。當然，仿真結果與實測結果存在一定誤差，這可能主要有以下幾個方面的原因:1)這一模型是基于一定的理想假設條件，忽略功率繞組、控制繞組和轉子繞組電機產生的諧波的作用;2)由于電機的電磁藕合模型復雜，實際電機的d-q軸數學模型參數難以準確給定;3)沒有考慮磁場飽和溫升等造成參數非線性化的影響。

表2 仿真值與實測值的對比Table 2 Com parison of simu lation and experimental data (a)樣機異步運行時

4 結 論

基于以上對繞線轉子無刷雙饋電機的任意dq軸數學模型的研究，可以得出如下結論:

1)繞線轉子無刷雙饋電機的任意d-q軸數學模型具有良好的通用性與準確性，適用于繞線轉子無刷雙饋電機動態和穩態性能的仿真分析研究，對電機性能分析和控制策略的研究具有一定的指導意義;

2)樣機的建模仿真和實驗測試結果對比驗證了這一建模方法的正確性，但由于這一模型是基于一定的理想假設條件，并且計算出的電機d-q軸數學模型參數有一定的偏差，因此導致仿真結果與實測數據存在一定誤差。

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(編輯:張詩閣)

D-q axismathematicalmodel of wound-rotor brushless doubly-fed machine

XIONG Fei1， WANG Xue-fan1， HUA Bin2， YIN Chuan-tao2
(1.State Key Laboratory of Advanced Electromagnetic Engineering and Technology，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China;2.712th Research Institute，CSIC，Wuhan 430064，China)

Based on the introduction of the statorwinding，rotorwinding structures andmathematicalmodel under a-b-c axis stationary reference frame ofwound-rotor brushless doubly-fed machine(BDFM)，themathematicalmodel of themachine under d-q axis reference frame was proposed.Thismodel was built under arbitrary d-q axis reference frame and convenient for use，time-varying coefficientof themutual inductancematrices between statorwinding and rotorwindingwas eliminated，computational costwas reduced，facilitates future research on the control strategies，and studying and analyzing themachine performance in both dynamic and steady-state conditionswere applied.Themachine parameters can be calculated from the design geometry and empirical formula of the machine.Simulation analysis results and experimental datawere presented to show the validity of themathematicalmodel under arbitrary d-q axis reference frame.The establishment of themathematicalmodel under arbitrary d-q axis reference frame provides the foundation for the study of the performance analysis and control strategy of themachine.

brushless doubly-fed machine;mathematical model;wound rotor;d-q reference frame; simulation analysis

10.15938/j.emc.2015.05.012

TM 301.3

A

1007-449X(2015)05-0081-09

2010-12-10

國家科技支撐計劃(2012BAG03B01);國家自然科學基金項目(51207061)

熊 飛(1983—)，男，博士，講師，研究方向為無刷雙饋電機的運行理論與設計方法;

王雪帆(1954—)，男，博士，教授，研究方向為新型特種電機及其控制;

華 斌(1977—)，男，博士，高級工程師，研究方向為電力電子與電力傳動;

尹傳濤(1983—)，男，碩士，工程師，研究方向為電力電子與電力傳動。

熊 飛