淺談高等數(shù)學(xué)知識(shí)在課堂教學(xué)中的應(yīng)用

謝秋玲

摘要：充分地全面地培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)、興趣和能力，教師應(yīng)在課堂教學(xué)過(guò)程中有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法去觀察、分析、解決實(shí)際問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);應(yīng)用能力;實(shí)際問(wèn)題

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ?文章編號(hào)：1674-9324（2015）46-0189-02

數(shù)學(xué)教育要教給學(xué)生的不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)，還要培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)、興趣和能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式觀察周?chē)氖挛铮脭?shù)學(xué)思維方法分析、解決實(shí)際問(wèn)題.當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家、教育家、Wolf獎(jiǎng)獲得者H.惠特尼指出：“學(xué)數(shù)學(xué)意味著什么？當(dāng)然是希望能用它，最好的學(xué)習(xí)就是用，并且古今皆知僅在你有自己的想法時(shí)才有真正的學(xué)習(xí).”著名數(shù)學(xué)教育家H.弗洛登塔爾指出：“數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，并且用于現(xiàn)實(shí).”眾所周知，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力，可惜只能有部分學(xué)生參與這項(xiàng)競(jìng)賽.為了適應(yīng)培養(yǎng)應(yīng)用型人才的需要，充分地、全面地培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)、興趣和能力，最根本的還需要從課堂教學(xué)做起，教師在講授高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的同時(shí)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法去觀察、分析、解決實(shí)際問(wèn)題.以下是在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，可針對(duì)不同內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生分析解決實(shí)際問(wèn)題的幾個(gè)例子.

一、微分學(xué)內(nèi)容的應(yīng)用

例1.有一個(gè)滑雪場(chǎng)的坡面是光滑曲面∑：

在坡上的點(diǎn)P ? 處有一運(yùn)動(dòng)員，問(wèn)運(yùn)動(dòng)員從該處沿什么軌跡下滑時(shí)的路徑最短？

解：本題需要掌握梯度的概念和含義.

設(shè)下滑的軌跡在xoy面上的投影為L(zhǎng)：y=y（x），記坡面函數(shù)為z=f（x，y），則由函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與過(guò)這點(diǎn)的等值線、方向?qū)?shù)間的關(guān)系可知，L在（x，y）處的切向量與等高線（m為常數(shù)）在該點(diǎn)的法向量平行，也即與函數(shù)z=f（x，y）在這點(diǎn)的梯度方向平行：

故所求軌跡為

例2.一個(gè)毛紡廠用羊毛和兔毛生產(chǎn)A、B、C三種混紡毛料，生產(chǎn)1單位產(chǎn)品需要的原料如表所示：

三種產(chǎn)品的單位利潤(rùn)分別為4、1、5元/單位.每月可購(gòu)進(jìn)的原料限額為羊毛50000單位，兔毛80000單位，問(wèn)此毛紡廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)才能獲得最大利潤(rùn)？

解：本題是條件極值問(wèn)題.

設(shè)每月用所購(gòu)原料生產(chǎn)出A、B、C三種混紡毛料各x、y、z單位，則每月所獲利潤(rùn)為：

f=4x+y+5z（1）

x、y、z應(yīng)滿足的約束條件為：3x+y+4z=500002x+3y+4z=80000（2）

和x≥0，y≥0，z≥0 ? ? ? ? ? （3）

由（2）可得：x=-8t+104y=-4t+2×104z=7t （4）

將（4）代入（1）得：f=-t+6×105（5）

將（4）代入（3）得：0≤t≤×104（6）

由（5）、（6）兩式可得，當(dāng)t=0時(shí)，利潤(rùn)取得最大值f=6×105，即當(dāng)x=104，y=2×104，z=0時(shí).所以毛紡廠應(yīng)該不生產(chǎn)C混紡毛料，把全部原料用來(lái)生產(chǎn)104單位的A毛料，2×104單位的B毛料，所獲利潤(rùn)最大.

二、積分學(xué)內(nèi)容的應(yīng)用

例3.一“龜形”小島上各處高度為z=200（1-）（單位為米，水面對(duì)應(yīng)z=0），欲在高度小于150米的小島坡地上全部栽上樹(shù)，每樹(shù)約占地4平方米，問(wèn)至少要準(zhǔn)備多少樹(shù)苗？（結(jié)果可用式子表示，最后的運(yùn)算可省略）

解：本題是求曲面面積問(wèn)題.

小島在高度小于150米部分的表面積為

因此要準(zhǔn)備的樹(shù)苗總數(shù)約為.

例4.一輛汽車(chē)由正圓臺(tái)形山的腳部沿盤(pán)山公路向山頂行駛，平均速度為40公里/小時(shí)，若視公路為一條光滑曲線，該曲線上任一點(diǎn)處的切線與水平面的夾角為arcsin，已知山底半徑為5公里，山頂半徑與山高均為0.5公里，求汽車(chē)到達(dá)山頂邊緣所用的時(shí)間.

解：本題是求盤(pán)山公路的長(zhǎng)度，即求光滑曲線弧長(zhǎng)的問(wèn)題.建立坐標(biāo)系如圖1.

設(shè)曲線的參數(shù)方程為x=x（t）y=y（t）z=z（t）

其中z（t）隨t單增，0≤t≤t0（t表示垂直高度）曲線在點(diǎn)（x（t），y（t），z（t））處的切向量為1={x'，y'，z'}，xoy平面的法向量為2={0，0，1}，由已知條件：

注：由求解過(guò)程可看出，路程S與山的上、下底半徑無(wú)關(guān)，進(jìn)一步，路程與山的形狀無(wú)關(guān)，只與山的高度以及盤(pán)山公路的傾斜度有關(guān).

參考文獻(xiàn)：

[1]袁震東.數(shù)學(xué)建模方法[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2003.

[2]姜啟源.數(shù)學(xué)建模案例選集[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]段勇，黃廷祝.將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)課程教學(xué)[J].中國(guó)大學(xué)數(shù)學(xué)，2009，（3）：34-35.