有效積累數學活動經驗的四個途徑

李生強

（長樂師范學校附屬小學，福建 長樂 350200）

數學基本活動經驗作為《義務教育數學課程標準2011年版》提出的“四基”之一，已引起小學數學教師的廣泛關注。數學活動經驗是在特定的數學活動中，在教學目標的指引下，學生直接或間接地經歷實踐活動所形成的個性化的認識、體驗和領悟，是經歷數學活動的過程和結果的組合體。[1]數學活動經驗的獲得有益于數學意義的建構，形成完整的認知結構，是學生數學素質養成的必要條件。筆者認為，在教學中應以問題為載體，從重組遷移、多維建構、比較探究和綜合應用四個途徑幫助學生有效積累數學活動經驗。

一、重組遷移——擴展認知經驗

弗賴登塔爾曾經提出:“每個人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這個客觀世界的各種數學概念，它的運算方法、規律和有關的數學結構。”這就是所謂的“數學現實”。“數學現實”不單是新舊知識的邏輯連接，也不能簡單地理解為新知的“預備知識”，而更多的是指向于學生原有認知的方式、規律的把握、抽象的能力等。教學新知就要了解學生的原初經驗，它是后續經驗擴展的基礎。

三年級學生在學習“分數的初步認識”時積累了較豐富的“均分”經驗，五年級“分數的意義”內容是對原有認知的擴展理解。皮亞杰等人的研究表明，借助“面積”模型容易幫助學生認識分數。教材常以“把一塊月餅平均分成四份，每份是它的四分之一”作為例題，引導學生學習分數。繼而教師結合“拿一張長方形或正方形、圓形的紙折一折，表示它的進行更高層次的抽象，歸納它們的共同屬性。但感性的直觀操作只是建構單一的分數“面積”模型。五年級再次重構的意義時，教師要精心安排學生經歷多種模型，幫助學生建構分數的豐富意義。

學生通過觀察并發現:一個物體、一個計量單位或是一些物體等都可以看作一個整體，可以用自然數1來表示。不管是月餅、圖形、單位長度、多個物體的均分，其中的一份都能表示為單位“1”的。特別是借助數形直觀幫助學生建構分數“集合”模型，有效突破以往分數“連續量模型”的思維局限，降低了對“離散量模型”的理解難度。當學生有了大量的感官、操作經驗的基礎，不難引導學生歸結:可以用0～1這樣的一條線段來表示這里的每一個單位“1”，把它平均分成4份，每份是它的“數線”模型的建構也就水到渠成了。教師利用多種模型幫助學生理解分數的意義，引導學生對經驗進行重組性遷移，，學會發現不同素材之間的共同點，從而認識分數的抽象意義。[2]

為學生提供一些經過結構化處理的素材，使數學活動更具“數學味”。讓學生經歷數學產生的過程，以數學表象為支撐，促進學生的思維由感性向理性發展，有效幫助學生進行經驗的擴展。

二、多維建構——豐實抽象經驗

學生對數學知識的理解不是一蹴而就的，需要一個長期的過程。教材簡單的內容，卻蘊含豐富的數學內涵。如何透過外在形式，引導學生深刻理解，取決于教師對教材的深度解析。鑒于小學教材濃厚的現實基礎，教師可對內容進行研發，創設學生可感可知的問題情境，幫助學生多維建構新知。中高年級學生具有初步的抽象思維能力，在問題研究中可以展現思維歷程，讓學生綜合理解數學概念。

“平均數”一課是在學生學會整數除法和“平均分”的基礎上進一步展開教學的。在設計該課時，如何準確定位教學目標?如何超越算法的程序性理解水平，達到算法和統計方面的概念性理解水平?以期對應《義務教育數學課程標準（2011年）》提出的“體會平均數的作用，能計算平均數，能用自己的語言解釋其實際意義”的目標成為首要思考的問題。為此，筆者創設了“大問題”情境，分板塊地引導學生多層面體會平均數的特征和作用。

師:請你仔細觀察數據，你覺得誰的成績更好?（課件出示下圖）

20秒夾珠子成績統計圖

通過觀察、說理、辨析，學生明白不能比較某一次成績，也不能比較總成績。基于“平均分”的認知經驗，學生覺得“選一個數作為平均每次夾珠子的個數”來比較更公平，體會平均數產生的必要性，能運用“移多補少”和“先合后分”的方法求出“平均數”。學生通過觀察圖形，操作計算，合作探討平均數的特征:“平均數比最小的數大，比最大的數小”“超過平均數的部分等于不到平均數的部分”“平均數不是實際的數，它是虛擬的數”“當小君第四次多夾一些珠子，就能趕上或超過小迪的平均成績，平均數容易受某一數據的影響。”學生對于相對抽象的平均數的區間性、虛擬性、敏感性等有了豐富的體驗。

在認知實踐中叩問本質，教學中的多維建構使數學概念的本質及性質越來越清晰了，從而深化學生對數學概念的有效理解，從中積累了豐實的數學抽象性經驗。

三、比較探究——優化方法經驗

在小學數學教學階段，有意識地向學生滲透一些數學思想方法，是提高學生的數學素養和思維品質的重要手段。布魯納說:“探究是教學的生命線”。教師要引導學生經歷數學活動的全過程，探索解決問題的途徑、方法和策略，體會數學思想方法在解決問題中的作用。

“牛奶中的數學問題”是五年級下冊第六單元“分數的加法和減法”新增的問題解決內容。雖然，學生已學習分數的意義和加減法的內容，但這牽涉到應用分數解決問題，比較抽象，有一定的難度。一位老師課始創造“喝牛奶”的生活情境，讓學生從中發現數學信息，提出關鍵問題:“一杯純牛奶，老師喝了半杯后，覺得有點涼，就兌滿了水，又喝了半杯。老師一共喝了多少杯純牛奶?多少杯水?”學生先自己想辦法解決上述問題，兩分鐘獨立嘗試后，一部分學生做錯，一部分學生做對，還有一部分學生無從下手。老師找到不會的學生說說自己的想法，鼓勵其說出不會的地方，理清了解題的關鍵點:“第二次喝了多少杯純牛奶?喝了多少杯水?”在探究理解杯的一半是杯”這個數量關系時，學生中出現純文字說理，直接計算，數形結合等不同解決問題的方法。課堂充分展現學生富有個性的思路，這是教學中最寶貴的學習資源。學生比較、評價各種方法，體會到純文字說理、直接計算不是最佳解題策略，如果通過數形結合就能把“形”中蘊藏的數量關系形象地表示出來，使問題簡明直觀。[3]根據學生反饋，教師借助課件演示、梳理整個過程。

通過回顧、整理，讓學生進一步清楚問題解決的過程、步驟和方法，形成畫圖解題的經驗。學生體味這一解題經驗在問題探究中提供什么樣的幫助?感受畫圖法在理解、分析喝牛奶問題中的優化作用，學習了運用幾何直觀解決實際問題，感悟“數形結合”“變中不變”等數學思想，同時也為今后探究解題方法積累優化經驗。

四、綜合應用——提升思維經驗

朱德全教授說:“應用意識的生成便是知識經驗形成的標志。”在整個教育過程中都應該培養學生的應用意識，讓學生認識到生活中蘊涵著大量與數量和圖形有關的問題都可以抽象成數學問題，用數學的眼光加以分析和解決。“綜合與實踐”領域的內容是培養學生應用意識的重要載體。[4]

“包裝的學問”屬于北師大版五年級下冊的內容。此前，學生已學過長方體的特征和表面積的計算等相關知識。五年級學生已具備一些商品包裝的生活經驗，但很少親自動手包裝過，或從節約材料的角度去關注，更談不上從數學的角度去探究包裝的學問。一位教師教學該課時，先以一個長方體盒子的單獨包裝問題作為學習的起點，喚起學生對長方體表面積計算的經驗。把兩個相同盒子組合包裝的節約用紙問題定為該課教學重點。課中，學生借助所提供的長方體學具，用操作實踐的方法，直觀感受為什么要包裝、可以怎樣包裝、如何包裝最節約;在對比、分析不同包裝方案中，總結最省包裝的特點:相同的長方體疊放后減少的面積越多，露在外面的面積越少，包裝越節省。全班學生通過計算驗證，梳理方法，形成策略。學生在“玩”中學，在“學”中思，活動架設起數學與生活之間的橋梁。在“實踐應用”環節，小組合作學習:如果把4盒糖果包在一起，怎樣包裝最節省包裝紙?課堂出現預設學情:一是四個長方體六個大面重疊一起，二是重疊四個大面和四個中面。受到剛形成的認知經驗的遷移，難免出現第①種方案。教師再次組織學生進行操作、觀察、對比、說理、驗證等開放式的互動交流，最終領悟:第①種方案減少六個大面的面積，第②種方案減少四個大面和四個中面的面積。兩個長方體大面疊放一起時，兩個中面的面積合起來大于一個大面，通過比較四個中面和兩個大面的面積，發現第②種方案更省包裝紙。

四個相同盒子組合包裝的節約用紙問題是本節課的拓展和延伸，也是思維靈活性、優化包裝策略的數學思想在本節課的進一步體現。學生靈活運用知識解決實際問題的能力得到新的考驗，學生的思維不斷走向深入，也對包裝中的最優策略有了更深的體會。學生通過檢查自己的思維過程，反思遇到的新問題，以及如何解決這些問題，并從中回味思路，自我領悟，提升并豐富數學思維經驗。[1]

數學活動經驗的獲得有賴于問題的有效規劃和設計，讓學生經歷數學活動的全過程，學會從頭到尾數學地思考問題，“重走科學家的發現之路”，從而積累數學實踐的經驗和思維的經驗。教師應作為學生數學活動經驗的開發者、促進者，只有在數學活動中沿著“做—思—用—悟”的途徑前行，才能使學生積累的活動經驗得以有效內化和提升。

[1]劉德宏.經歷活動過程，積累活動經驗[J].小學數學教育，2014（10）.

[2]任景業.創新需要把經驗重新結構化[J].福建教育，2012（23）.

[3]雷玲.名師課堂DNA解碼[M].福建:福建教育出版社，2012.

[4]教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京:北京師范大學出版社，2012.