基于改進廣義cat映射的彩色衛星圖像加密算法

張新，柏逢明

（長春理工大學 電子信息工程學院，長春 130022）

隨著信息技術的發展，保護圖像的安全顯得越來越重要，尤其是軍事或商業衛星圖像涉及國家機密、軍事安全和公司利益等，因此要保證在存儲和傳輸過程中圖像的安全?；煦缦到y具有對初始條件的極端敏感性和非周期性，可以很好的運用于圖像加密。近年來，許多學者利用混沌系統對圖像加密進行了大量的研究。Chen等［1］提出利用二維廣義Arnold變換構造三維Arnold變換。王猛［2］提出了一種基于maker map混沌理論的衛星圖像加密技術，但是安全性不高，密鑰直接設定容易被破解。吳成茂［3］提出一種離散Arnold變換改進及其在圖像置亂加密中的應用，取得了良好的加密效果，但是只是基于離散二維Arnold映射改進進行了實驗結果和分析。本文提出了一種基于改進廣義cat映射的彩色衛星圖像加密算法。通過理論分析和仿真實驗檢測，結果能夠達到相應的安全水平。

1 基本理論

1.1 復合混沌映射CCM［4］（compound chaos mapping）

標準帳篷映射的方程為：

研究表明，當 μ＞1時，方程（1）表現為混沌狀態，并且混沌帶隨著μ增大而逐漸擴大。

Logistics混沌映射為：

當3.5699456＜λ≤4時，Logistics映射處于混沌狀態。當λ=4時，在(0,1)上達到滿映射。因此當取值 λ=4時，式（2）變為：

由于式（1）中xn的值始終處在(0,1)之間，即無論對（1）式怎樣取值，其值域都不會超出式（3）的定義域范圍，因此，將式（1）代入到（3）中，便得到新的復合混沌映射，稱其為CCM：

復合混沌映射的分插圖如圖1，可見當μ∈(0.4,2)時，該系統處于一種混沌態。

圖1 CCM分叉圖

1.2 改進的廣義cat映射

為了提高圖像的置亂效果，下面對廣義cat映射進行了改進。

廣義Arnold映射的方程定義為：

其中det(A)=1；a,b以 N為周期，故要求a,b∈N。

將式（5）的方程組形式改寫為：

針對式（6），將其改進表達式為：

其中 f(xn+1)=x2n+1。

對于式（7），其可逆映射表達式為：

根據有限整數域上的可逆變換一定存在變換周期的判定定理，可得知式（8）仍是一種具有周期的可逆一一映射，可以利用其逆映射或者是其周期性便能恢復置亂前原圖像。

2 彩色衛星圖像加密算法

本文提出的加密算法是一種改進廣義cat映射的加密算法。在置亂階段，應用改進的廣義cat映射以不同的參數和迭代次數對原始圖像的三個色彩分量進行三輪置亂。在擴散階段，由CCM復合混沌映射對置亂圖像進行擴散。加密流程圖如圖2所示。

圖2 加密流程圖

原始圖像I是N×N×3大小的彩色衛星圖像，CCM映射的初始條件x1(0)，x2(0)和x3(0)，控制參數m1，m2和m3以及M作為部分加密密鑰。

當初始條件為x1(0)和控制參數為m1，迭代CCM產生一個序列I1(n)，取序列的第M 個值，得到x1(M)；同樣的方法，當初始條件為x2(0)和控制參數為m2，迭代CCM產生一個序列I2(n)，取序列的第M個值，得到x2(M)；當初始條件為x3(0)和控制參數為m3，迭代CCM產生一個序列I3(n)，取序列的第 M 個值，得到 x3(M)。 x1(M)，x2(M)，x3(M)和I1(n)，I3(n)，I3(n)分別用于置亂階段和擴散階段。

在置亂階段使用改進后的廣義cat映射，如式（9）所示：

圖3 “長春理工大學”彩色原始圖像（a），加密圖像（b）和解密圖像（c）

控制參數a，b如下式描述：

根據（9）式，對原始圖像三個色彩分量RGB分別進行三輪置亂，得到置亂圖像CR，CG，CB。

在擴散階段，由CCM映射產生的I1(n)，I2(n)，I3(n)，對此三個序列分別進行隔d個點抽樣成有N×N 個序列值的序列Y1(n)，Y2(n)，Y3(n)，如式（11）所示：

其中，Yj(n)的序列長度為N×N，d為正整數。因為圖像的大小為N×N，所以CCM所產生的三個Ij(n)的序列長度L≥N×N，j=1,2,3。

擴散密鑰流Kj由（12）式方法生成：

這里，i=1,2,3,...,ceil(N×N)，j=1,2,3。

將密鑰流Kj(i)從上到下，從左到依次進行排列將其轉化為三個N×N的矩陣：X1，X2，X3。

置亂圖像通過Xj矩陣進行擴散加密，得到密文矩陣：

然后將此處的SR，SG和SB這三個矩陣進行色彩合成既得到加密圖像。

解密圖像就是對加密算法進行逆運算。

3 實驗性能分析

3.1 直方圖分析

在MATLAB 2010系統條件下，采用256×256像素的“長春理工大學”彩色衛星圖像作為明文圖像，CCM映射的初始值和控制參數分別為：x1(0)=0.2899，m1=1.6；x2(0)=0.5193，m2=1.4；x3(3)=0.0048，m3=0.8；M=300；d=1000。原始圖像、加密圖像、解密圖像由圖3給出，其三個RGB色彩分量像素直方圖由圖4給出。如圖4可見，加密圖像的直方圖均勻分布，具有很好的統計特性，可以抵抗統計攻擊。

圖4 “長春理工大學”原始圖像（a），加密圖像（b）和解密圖像（c）的RGB三個色彩分量直方圖

3.2 密鑰空間

本文的加密算法采用了復合混沌映射，其三對初始值和控制參數作為密鑰，則其組成的密鑰空間至少為1042；密鑰M以及抽樣隔點d都可以增大密鑰空間。加密圖像專家建議密鑰空間大于264可以抵抗暴力破解，因此該加密算法足夠安全。

3.3 密鑰敏感性分析

為了驗證該算法的敏感性，在保持其他密鑰值不變的前提下，現對解密密鑰做如下改動：將CCM映射的初始值密鑰x1(0)改為0.2898，得到的解密圖像如圖5（a）；將CCM映射的控制參數m1改為1.5，得到的解密圖像如圖5（b）；將 M 改為299，得到的解密圖像如圖5（c）。

圖5 錯誤解密結果

由圖5可知，即使是對密鑰做微小的改變，解密圖像也是錯誤的，滿足了雪崩效應，因此該算法具有很強的密鑰敏感性。

3.4 信息熵分析

對加密圖像的RGB三個分量進行信息熵分析，通過MATLAB系統計算，“長春理工大學”彩色衛星圖的三個色彩分量的信息熵分別為：HR(m)=7.9895，HG(m)=7.9898，HB=7.9900，非常接近理想值8。由此可見，加密圖像的信息熵足夠大，可以有效地抵抗熵攻擊。

3.5 像素相關性分析

隨機選取原始圖像和加密圖像的1000對水平相鄰像素、垂直相鄰像素、以及對角相鄰像素的相關性，由圖6所示。

圖6 “長春理工大學”彩色衛星圖像的相關性

其中，（a）原始圖像水平方向相鄰像素；（b）加密圖像水平方向相鄰像素；（c）原始圖像垂直方向相鄰像素；（d）加密圖像垂直方向相鄰像素；（e）原始圖像對角方向相鄰像素；（f）加密圖像對角方向相鄰像素。由此可見，加密后圖像像素相關性小，可以有效抵抗統計攻擊的能力。

4 結論

經過實驗分析與仿真結果可知應用復合混沌映射和和改進后的cat映射對圖像進行加密保證了該算法的復雜性的大大提高了圖像加密的效果。加密后像素分布均勻、相鄰像素點相關性很弱，具有抵抗統計攻擊能力強、有效抵抗熵攻擊、密鑰敏感性強等特點，算法安全性較高。將此方法運用到衛星圖像加密中可以取得很好的效果。但是衛星測繪不斷的發展，如何實現衛星圖像的實時性要求、保證傳輸的安全性等非常值得研究。

［1］Chen Guanrong，Mao Yaobin，Charles K Chui.A symmetric image encryption scheme based on 3D chaotic cat maps［J］.Chaos Solution and Fractals，2004（21）：749-761.

［2］王猛.提出了一種基于maker map混沌理論的衛星圖像加密技術研究［D］.哈爾濱：哈爾濱工業大學，2008.

［3］吳成茂.離散Arnold變換改進及其在圖像置亂加密中的應用［J］.物理學報：2014，63（9）：090504-1-090504-20.

［4］李錦青，柏逢明，底小強.基于Hopfield混沌神經網絡的彩色圖像加密算法研究［J］.長春理工大學學報：自然科學版，2012，35（4）：117-121.

［5］趙希奇，柏逢明，呂貴花.基于混沌理論和Hash函數的自適應圖像加密算法［J］.長春理工大學學報：自然科學版，2014，37（4）：117-120.

［6］張雪峰，范九倫.一種新的分段非線性映射及其性能分析［J］.物理學報，2010，59（4）：2298-2304.