關于中值定理證明中輔助函數的構造

張芝華

摘要：構造輔助函數是高等數學證明中常用的技巧，它起著化難為易、化未知為已知的橋梁作用，特別是在應用中值定理證明問題時，需要構造輔助函數。如何才能找出合適的輔助函數，在教學實踐中人們總結出了多種方法，本文通過幾個實例著重介紹如何使用原函數法構造輔助函數的方法。

關鍵詞：中值定理;輔助函數;構造方法

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）45-0153-02

一、引例

例1：設f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內可導，證明在（a，b）內至少存在一點ξ使

=f（ξ）+ξf ′（ξ）

證明：令φ（x）=x·f（x）

φ（x）滿足拉格朗日中值定理條件，

∴在（a，b）內至少存在一點ξ，使φ′（ξ）=

？圯f（ξ）+ξf ′（ξ）=

上題結論中要證明f（ξ）+ξf ′（ξ）=0，那么對于這類題目有沒有方法來構造輔助函數？

我們可以用下面思路來構造輔助函數。

1°將ξ改寫成x，f（x）+xf ′（x）=0

2°將上式化為 + =0

3°上式又可以改寫成（lnf（x））′+（lnx）′=0

4°上式又可以改寫成[lnx·f（x）]′=0 所以我們可以令φ（x）=x·f（x）

上面構造輔助函數的方法就是原函數法。

二、證明的結論中含有ξf ′（ξ）+kf（ξ）=0可以令φ（x）=x ·f（x）

1°將ξ改寫成x，xf ′（x）+kf（x）=0

2°將上式化為 + =0

3°上式又可以改寫成（lnf（x））′+（lnx ）′=0

4°上式又可以改寫成[lnx ·f（x）]′=0 我們可以令φ（x）=x ·f（x）

例2：設f（x）在[0，1]上連續， ?f（x）dx=0，證明存在ξ∈（0，1）使

ξf（ξ）=-2 ? f（t）dt

分析：按上述思路

1°將ξ改寫成x，xf（x）+2 ? f（t）dt=0

2°將上式化為 + =0

3°上式又可以改寫成（ln ? f（t）dt）′+（lnx ）′=0

4°上式又可以改寫成[lnx · ? f（f）dt]′=0

我們可以令φ（x）= x · ? f（t）dt

證明：令φ（x）= x ·f（t）dt

φ（0）=φ（1）=0

？堝ξ∈（0，1） 使φ′（ξ）=0

φ′（x）=2x· ? f（t）dt+x f（x）

φ′（ξ）=2ξ· ? f（t）dt+ξ f（ξ）=0

即：ξf（ξ）=-2 ?f（t）dt

三、證明的結論中含有f ′（ξ）+kf（ξ）=0可以令φ（x）=e ·f（x）

1°將ξ改寫成x，f ′（x）+kf（x）=0

2°將上式化為 +k=0

3°上式又可以改寫成（lnf（x））′+（lne ）′=0

4°上式又可以改寫成[lne ·f（x）]′=0我們可以令φ（x）=e ·f（x）

例3：設f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內二階可導，f（a）=f（b）=0，

f ′ （a）·f ′ （b）>0.

證明（1）？堝c∈（a，b）使f（c）=0

（2）？堝ξ ，ξ ∈（a，b）使f ′（ξ ）-f（ξ ）=0和f ′（ξ ）-f（ξ ）=0

證明：（1）不妨設f ′ （a）>0，f ′ （b）>0

由f ′ （a）>0？圯？堝x ∈（a，b）使f（x ）>f（a）=0

由f ′ （b）>0？圯？堝x ∈（a，b）使f（x ）

？圯f（x ）·f（x ）<0

由零點定理得？堝c∈（a，b）使f（c）=0

（2）令φ（x）=e ·f（x）

∵φ（a）=φ（c）=φ（b）=0

∴？堝ξ ∈（a，c），？堝ξ ∈（c，b）使φ′（ξ ）=φ′（ξ ）=0

而φ′（x）=e ·（f ′（x）-f（x））=0且e ≠0

f′（ξ ）-f（ξ ）=0

f′（ξ ）-f（ξ ）=0

四、證明的結論中可以化為以上兩種形式，我們可以用原函數法構造輔助函數

例4：設f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內二階可導，f（a）=f（b）=0，

f ′ （a）·f ′ （b）>0.

證明？堝η∈（a，b）使f ?″（η）-4f ′（η）+3f（η）=0

分析：

1°將ξ改寫成x，f ?″（x）-4f ′（x）+3f（x）=0

2°將上式化為（f ′（x）-f（x））-3（f ′（x）-f（x））=0

3°將（f ′（x）-f（x））看成f ′（x）+kf（x）=0中的f（x）

4°我們可以令φ（x）=e ·（f ′（x）-f（x））

證明：令φ（x）=e ·（f ′（x）-f（x））

？堝η ，η ∈（a，b）使φ（η ）=φ（η ）=0

？堝η∈（a，b）使φ′（η）=0

φ′（x）=-3e ·（f ′（x）-f（x））+e （f ″（x）-f ′（x））

=e （f ?″（x）-4f ′（x）+3f（x）） ∵e ≠0

？圯f ?″（η）-4f ′（η）+3f（η）=0

從以上例子我們可以看到用原函數法構造輔助函數的步驟為：

1°將要證的結論中ξ改寫成x

2°移項使等式一邊為零

3°用觀察法或積分法求出原函數

4°這個原函數就是我們要找的輔助函數