高中數學課程運算主線分析

黃小脈 鄒循東

摘要：運算在整個高中學習中有重要作用。文章從主線結構、內容安排、運算核心等角度進行了分析，認為在運算教學中應該注重強化重點內容和數學思想方法、講清算理、加強變式訓練、培養學生良好的計算習慣和增強學生運算的自信心。

關鍵詞：高中數學；運算主線；分析及建議

中圖分類號：G632.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）36-0243-02

運算是解決數學問題的一種手段，同時也是一種重要的數學能力。從小學階段到高中，運算的載體不斷增加。在高中，運算則拓展到集合、初等函數、三角函數、向量等。尤其是向量運算的擴充，使運算進入到數學的各個領域。總之，運算始終貫穿于數學課程學習之中。

一、對高中運算主線的認識

高中運算是數學能力的一個重要體現，高中數學課程標準對高中數學運算部分的內容做出明確的要求。從必修模塊的集合、基本初等函數、三角函數等，到選修模塊里的向量、解析幾何與導數的有機結合，對運算能力的要求越來越高，尤其是運算在幾何問題里的應用越來越多。在以后的進一步學習中，還會涉及到矩陣、線性變換等運算，所以高中運算的學習為今后進一步學習其他數學運算、體會數學運算的意義以及運算在建構數學系統中的作用，奠定了基礎。

二、高中運算內容的分析

高中運算的主要內容，除了使用初中的多項式運算和數的運算之外，我們又引入了一些新的運算對象。以下將從知識結構、內容設計、運算核心、初高中運算知識比較等角度進行分析。

（一）高中運算主線結構圖

（二）高中運算內容的設計

在高中數學課程中，運算的內容主要安排在以下位置：必修模塊一中基本初等函數；必修四中的三角函數與三角恒等變換運算；必修二模塊中空間幾何的體積面積、直線與圓的方程；必修模塊五中解三角形、數列與不等式；必修4和選修2-1中安排了平面向量、空間向量與立體幾何；選修2-1中還安排了圓錐曲線與方程；在選修1-2和選修2-2中安排了數系擴充與復數的運算；在選修1、選修2中安排了導數的運算。

（三）運算主線的核心內容分析

從高中數學的教學內容中來看，運算是一個很重要的核心問題。從人教版高中數學必修和選修模塊梳理出運算主線的核心，主要包括以下幾個方面。

1.函數運算。高中的函數運算主要是函數的單調性、待定系數法、求函數的解析式、求函數的定義域、值域、最值等問題。這些問題需要利用等價變形、因式分解、消元的思想、配方法和整體代換的思想等。

2.數列運算。方程思想貫穿著數列這一整塊內容。等差、等比數列的通項公式和求和公式中的一個變量都是一個方程。在等比數列當中常利用整體的思想、平方差公式和立方差公式，將高次方程轉化成低次方程，求數列最值的問題同樣要用到了配方法和基本不等式的性質。

3.不等式部分。在數或式的等比、等差比較中，需要進行等價變形，其中就涉及到用因式分解和配方來確定符號問題。在二次不等式的求解中，尤其是含參數的求定義域等，還要求對這個參數進行討論，即分類討論的思想。

4.三角函數與三角恒等式。高中學習六個一般角的三角函數，主要是求值問題以及三角函數的周期、振幅、頻率等，還有三角恒等式的證明和應用問題。這里同樣要利用到整體思想、等價變換和化歸的思想，還有數形結合的思想。

5.立體幾何與解析幾何。空間幾何部分主要涉及到計算空間幾何體的面積和體積的問題，要把立體幾何圖形轉化成平面幾何圖形，利用直角三角形的勾股定理來構造方程，進而來求解。

6.向量運算。涉及到平面和空間向量的加法、數乘、點乘等，向量提供了豐富的運算內涵，如平行、垂直、夾角、距離等，都可以通過運算得到相應的解釋。從數的運算到向量的運算，是學生數學學習的又一次質變，學生對運算的理解也會更上一層樓。

三、初、高中運算主線比較分析

處理好高中的運算主線的教學，需了解初中課標對運算的要求和內容的安排情況。從人教版初中新教材和高中教材在運算內容方面進行比較，主要有以下一些不同。

1.數與式的運算。初中的數與式的運算主要有有理數、絕對值、乘法公式、因式分解、二式根式的運算。其中有理數混合運算以三步為主：絕對值強調借助數軸理解其意義，乘法公式只有平方差、完全平方公式，因式分解只要求掌握提公因式和公式法。對于二次根式則要求學生會對被開方數進行化簡和計算。

高中的有理數運算一般都是三步以上，多項式重點在二項式定理的運算，絕對值里含有字母，常要分類討論。高中增加了立方和與立方差的公式，因式分解方法則提升到十字相乘法和分組分解法。高中的二式根式的被開方數常含字母，需要討論。

2.方程與不等式。初中只要求學生認識方程、解方程和方程的實際應用問題，三元一次方程則只作為需了解的知識，方程的系數不含字母。高中里對方程的要求更高，比如方程里含字母系數的方程要進行討論、根與系數的關系、解三元一次方程組、無理方程、二元二次方程組等在高中都有涉及到。高中的一元二次不等式要求結合圖形和分類討論進行求解。

3.函數運算。初中涉及一次函數、反比例函數、二次函數這三類，要求會用待定系數法求函數的解析式，主要是通過轉化成二元一次方程組進行求解。高中的函數還設計到求函數的定義域、值域、最值等問題，所用到的方法有配方法、換元法、因式分解法化簡等。

4.三角函數運算。三角函數，初中是在直角三角形中定義了三個銳角的三角函數（正弦、余弦、正切），而高中是在單位圓中定義了六個任意角的三角函數，還涉及到重要的三角公式以及三角恒等式的證明和應用方面的知識，是高中運算的一個重要內容。

5.高中新的運算載體。高中新學的運算有指數函數、對數函數、數列、向量、導數、解析幾何與立體幾何等。

四、運算在教學中的建議

綜合上面的高中運算主線的分析，高中數學教師在教學中要針對運算內容的特點和課標要求，合理補充相應的知識和思想方法，才能有效提高學生的運算能力。

1.注重強化重點內容和重要的數學思想方法。高中運算里涉及到解方程、配方法、因式分解、不等式、方程的思想、消元思想、化歸與轉化思想、整體思想、代換思想、分類討論思想等重要的知識和思想方法，在教學中要強化這些內容。如待定系數法求函數解析式、列方程、解方程組等問題，如何把三元轉化成二元，再進行消元思想把二成轉化成一元，這要強化學生對消元思想的理解；在數列部分，為學生強調整體代換的思想；在空間幾何部分，繼續讓學生感覺到方程、方程的思想和解方程的能力在高中數學中占有重要的地位。另外，立方和、立方差公式，再比如因式分解中十字相乘法和分組分解法等，這部分內容要有意識地突出和強化。

2.強化變式訓練，做到量變到質變的提升。對于運算，需要做一定量的練習這是不爭的事實，同時需要做變式訓練。在變式訓練中，讓學生抓住根本的東西，通過變式強化問題的本質，特別是對一些基本運算的難點要把握，有針對性的變式訓練可以做到這一點。

3.注意運算算理的正確引導。在運算教學中，講請運算的算理十分重要，在掌握一個新的運算法則的時候，沒有弄清算理很可能一開始就出問題，那么往后運算的正確率很難得到提升。比如說關于符號的運算常常容易出問題。在數學運算里面，減號有兩種不同的含義，反映在乘法和減法上，需要轉化它的含義。在開始，對它的算理要有一個正確的引導，可以避免因算理不清而出錯。

4.培養學生良好的學習習慣和提高其自信心。對于運算，只靠大量的強度來做題是不夠的，還需要有思維的訓練，不能做了一遍又錯，做了一遍還錯，這樣有可能會養成一些很不好的習慣。這里強調運算過程中要養成良好的解題習慣，比如細心、書寫各式的規范性、檢查的習慣等。另外還要培養學生自信的能力，每一步要做得踏實，開始可以慢一點，要自信，慢慢的自信心就會越來越強。

參考文獻：

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