利用數(shù)學(xué)建模解應(yīng)用題教學(xué)之我見

黃云山

摘要：隨著人類社會的進(jìn)步和科技的發(fā)展，數(shù)學(xué)知識的更新與內(nèi)容的豐富，數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛，在教學(xué)中也越來越被教師所重視。模型思想應(yīng)用如此廣泛，應(yīng)該在數(shù)學(xué)本質(zhì)意義上給學(xué)生一定的領(lǐng)悟力，讓學(xué)生形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)態(tài)度。建模教學(xué)對數(shù)學(xué)教育及提高學(xué)生的素質(zhì)有著極其重要的意義，它是銜接大學(xué)教育的需要，它能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的能力，教師應(yīng)努力將其應(yīng)用于教學(xué)中。

關(guān)鍵詞：方程；不等式；函數(shù)

中圖分類號：G632.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）36-0255-02

將生活中的實(shí)際問題，經(jīng)過描述、刻畫、抽象化形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，這就是數(shù)學(xué)建模，從而我們選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方式方法進(jìn)行解答，這是解決數(shù)學(xué)中應(yīng)用問題的關(guān)鍵所在。在素質(zhì)教育的前提下，應(yīng)該怎樣培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的能力一直是教育界所關(guān)系的問題。通過數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練思維力，可以有效提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力，也能夠使學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決生活中的實(shí)際問題。

應(yīng)用性問題是中考必考的一種重要題型，應(yīng)用性問題是考查學(xué)生閱讀理解、信息遷移和數(shù)學(xué)方法等綜合能力的重要形式。應(yīng)用題本身的復(fù)雜性和數(shù)學(xué)模型的抽象性是學(xué)生解答應(yīng)用題的困難所在，一遇到背景生疏、條件隱蔽的應(yīng)用題，學(xué)生便望題興嘆、束手無策。究其原因，主要是對數(shù)學(xué)模型及其特征認(rèn)識不足，建立數(shù)學(xué)模型解題的實(shí)踐不夠，未能從根本上形成解應(yīng)用題的能力。解應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，而相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型有：不等式、方程、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)初步知識等。請看下面的應(yīng)用題所用到的有關(guān)數(shù)學(xué)模型。

一、方程（組）的相關(guān)類型

方程或者方程組是描述當(dāng)今世界數(shù)量關(guān)系最直觀、最有效的數(shù)學(xué)模型，方程或方程組能夠使人類從數(shù)量關(guān)系的層面出發(fā)，更加直觀、清楚、準(zhǔn)確地理解和面對現(xiàn)實(shí)世界。有相當(dāng)數(shù)量的應(yīng)用題，要求我們能求出一個或幾個數(shù)量來，或求出一個或幾個數(shù)量后就可以導(dǎo)致問題的解決，而方程和方程組正是求出一個或幾個量的最有效的工具。

例1：整理一批圖書，由一個人做要40h完成。現(xiàn)計(jì)劃由一部分人先做4h，然后增加2人與他們一起做8h，完成這項(xiàng)工作。假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應(yīng)先安排多少人工作？

分析：如果把總工作量設(shè)為1，則人均效率（一個人1h完成的工作量）為，x人先做4h完成的工作量為，增加2人后再做8h完成的工作量為，這兩個工作量之和應(yīng)等于總工作量。

解：設(shè)安排x人先做4h。

根據(jù)先后兩個時段的工作量之和等于總工作量，列出方程+=1

解方程，得x=2

答：應(yīng)安排2人先做4h。

這類問題中常常把總工作量看作1，并利用“工作量=人均效率×人數(shù)×?xí)r間”的關(guān)系考慮問題。

例2：2臺大收割機(jī)和5臺小收割機(jī)同時工作2h共收割小麥3.6hm2，3臺大收割和2臺小收割機(jī)同時工作5h共收割小麥8hm2。1臺大收割機(jī)和1臺小收割機(jī)每小時收割小麥多少公頃？

分析：如果1臺大收割機(jī)和1臺小收割機(jī)每小時各收割小麥x hm2和y hm2，那么2臺大收割機(jī)和5臺小收割機(jī)同時工作1小時共收割小麥（2x+5y）hm2，3臺大收割機(jī)和2臺小收割機(jī)同時工作1小時共收割小麥（3x+2y）hm2，由此考慮兩種情況下的工作量。

解：設(shè)1臺大收割機(jī)和1臺小收割機(jī)每小時各收割小麥x hm2和y hm2。

根據(jù)兩種工作方式中的相等關(guān)系，得方程組2（2x+5y）=3.6

5（3x+2y） =8

解這個方程組，得x=0.4

y=0.2

答：1臺大收割機(jī)和1臺小收割機(jī)每小時各收割小麥0.4hm2和0.2hm2。

回顧以上兩個例題的解法可知，利用方程（組）解應(yīng)用題，應(yīng)認(rèn)真分析其中的數(shù)量關(guān)系，關(guān)鍵是找出相等關(guān)系，引入適當(dāng)?shù)奈粗浚⑾鄳?yīng)的方程（組）模型，通過解方程（組）獲得數(shù)學(xué)結(jié)論，最后用數(shù)學(xué)結(jié)論解釋實(shí)際問題。

二、不等式組類型

不等式（組）是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的一種有效的數(shù)學(xué)模型。現(xiàn)實(shí)世界中存在許多涉及不等關(guān)系的實(shí)際問題，需要通過深入地分析，根據(jù)問題中的相關(guān)信息，將問題數(shù)學(xué)化，抽象為不等式（組）模型。

例3：把一些書分給幾名同學(xué)，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每人分5本，那么最后一人就分不到3本。這些書有多少本？共有多少人？

解：設(shè)共有x個人，這些書有（3x+8）本。依據(jù)題意列不等式組3x+8-5（x-1） <3

3x+8-5（x-1） ≥0

解得不等式組的解集為5

當(dāng)x=6時，3x+8=3×6+8=26

即這些書有26本，共有6人。

例題3是一道不等式組的應(yīng)用題，要分析并挖掘題目的不等關(guān)系，并根據(jù)不等關(guān)系建立不等式組，從而通過解不等式組得到實(shí)際問題的答案。

三、不等式與函數(shù)類型

我們所處的世界是不斷運(yùn)動和變化的，函數(shù)是研究事物運(yùn)動和變化的十分重要的數(shù)學(xué)模型，它來源于生活、服務(wù)于實(shí)際。在運(yùn)用函數(shù)模型的過程中，相對變化是函數(shù)的重要思想和基礎(chǔ)，函數(shù)就是從數(shù)量的角度反映變化規(guī)律和對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。在現(xiàn)實(shí)生活中，我們周圍有許多問題涉及與函數(shù)有關(guān)的變量，其中有許多問題我們需要建立一次函數(shù)，并且利用有關(guān)函數(shù)的知識去進(jìn)行問題的分析研究，得到問題的最佳解決方案。

例4：某文具店計(jì)劃用不低于1500元且不高于1600元的資金訂購甲、乙兩款書包共30個。已知甲款書包每個進(jìn)價70元，乙款書包每個進(jìn)價40元。

（1）該文具店訂購這兩款書包，共有幾種進(jìn)貨方案？

（2）若該文具店以甲款書包每個100元，乙款書包每個60元的價格全部賣出，哪種方案獲利最大？最大獲利是多少元？

分析：這是一個進(jìn)貨方案的問題。訂購甲、乙兩款書包的個數(shù)，受到資金的制約，因此要挖掘隱含條件建立不等式組；而甲、乙兩款書包的總利潤也與這兩款書包的個數(shù)有直接關(guān)系，因此要建立一個總利潤與書包個數(shù)的函數(shù)模型，這是不等式與函數(shù)的綜合題。

解：（1）設(shè)訂購甲款書包x個，訂購乙款書包（30-x）個，

∴70x+40（30-x）≥1500

70x+40（30-x）≤1600 解得10≤x≤

∵x取整數(shù)，∴x=10，11，12，13，∴共有4種方案

（2）設(shè)以甲款書包每個100元，乙款書包每個60元的價格全部賣出可獲利y元，則y=（100-70）x+（60-40）（30-x）=10x+600

∵k=10>0，∴y隨x的增大而增大

∴當(dāng)x=13時，y最大=730元

四、二次函數(shù)及最值類型

二次函數(shù)與實(shí)際生活聯(lián)系緊密。用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題，其中關(guān)鍵的是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。

例5：一個矩形窗戶的窗框及中間兩個橫檔的用料總長定為8米。試求窗戶面積y（平方米）與橫檔長度x（米）的函數(shù)關(guān)系，并問x為何值時窗戶的面積最大？最大面積是多少？

解：如上圖所示。依據(jù)題意，矩形的一邊與橫檔同長為x，則另一邊為=4-2x，于是窗戶面積y=

x（4-2x）=-2x+4x

這個二次函數(shù)當(dāng)x=-=-=1（米）時，面積y最大。y=1×（4-2×1）=2（平方米）

例6：一家旅社有客房300間，每間房每天租金40元時，天天客滿，如果將房間租金每提高5元，預(yù)計(jì)客房出租數(shù)會減少10間，若不考慮其他因素，旅社租金提到多少時，每天客房的租金收入最高？

解：設(shè)租金提高到x元，則租金比40元提高了（x-40）元，減少的房間數(shù)為10×=2（x-40），所以出租的房間數(shù)為300-2（x-40）=380-2x，故租金收入為y=x（380-2x）=-2x+380x

當(dāng)x=-=-=95（元）時，y有最大值

y===18050（元）

即當(dāng)每間客房的每天租金提高到95元時，客房租金收入最高，為18050元。

這里，例5是矩形窗戶的設(shè)計(jì)問題，例6是旅社房間的定價問題，是兩個完全不同性質(zhì)的問題，但抽出其實(shí)際意義后，都可建立二次函數(shù)模型，用二次函數(shù)知識求出最大值。

數(shù)學(xué)建模就是建立一系列的模型，通過這種方式方法來解決生活中的實(shí)際問題的過程，這就需要經(jīng)歷觀察實(shí)際情境→發(fā)現(xiàn)提出問題→抽象成數(shù)學(xué)模型→得到數(shù)學(xué)結(jié)果→檢驗(yàn)（是否符合實(shí)際）。當(dāng)符合實(shí)際就能得出可用的結(jié)果；當(dāng)不符合實(shí)際就要修改，重新回到上述過程，直至到符合實(shí)際為止，得出可用的問題結(jié)果。數(shù)學(xué)建模解應(yīng)用題，它作為一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，要體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念、符號、運(yùn)算法則、公式及方法；而作為應(yīng)用題的模型，又反映出應(yīng)用題的特征、數(shù)量關(guān)系及規(guī)律。數(shù)學(xué)建模思想的建立是一個循序漸進(jìn)的過程，因此教師在教學(xué)中要充分利用教學(xué)資源滲透模型思想，這樣能使學(xué)生在各個方面都得到鍛煉，不僅使學(xué)生知識、技能方面得到提升，同時讓學(xué)生的方法和思想得到升華。