自主機動飛網機器人動力學建模與網型保持方法

孟中杰，黃攀峰

(1.西北工業大學航天學院智能機器人研究中心，西安710072;2.航天飛行動力學技術國家級重點實驗室，西安710072)

0 引言

近年來，隨著航天技術的不斷發展，各國對于故障衛星維修、近距離目標捕獲、軌道垃圾清理等在軌服務技術的需求日益迫切［1］。

自主機動飛網機器人(簡稱飛網機器人)是一種由柔性網和多個自主機動單元組成的新型空間機器人。在機動單元的控制下，它可以逼近任意空間目標，由柔性網覆蓋捕獲目標，然后進行操作、變軌等。飛網機器人在安全性、靈活性、可靠性等具有傳統的空間機器人所無法比擬的優勢，在軌道垃圾清理、失效衛星捕獲等空間任務中有著非常廣泛的應用前景。在操作任務中，飛網機器人需要保持固定的網型，但是由于重力梯度、科氏力等的作用，柔性飛網保持固定網型十分困難。另外，飛網機器人的機動也大大提高其網型保持的難度。

在與飛網機器人類似的空間柔性網系統動力學與控制研究方面，G?rdsback M等研究了一種空間自旋網結構的動力學和最優展開控制問題［2－3］。翟光、于洋、李京陽等人的研究對象是一種由平臺、系繩、質量塊、網組成空間飛網結構。針對這種飛網，Mankala等研究了動力學建模與仿真問題［4］，Zhai等研究了結構設計與動力學問題，并設計了一種利用系繩張力和推力的反饋控制器，保證飛網能夠有效地飛向目標［5－7］，但是，在 Mankala和 Zhai的研究中，研究重點放在平臺、系繩、末端執行器組成的系統動力學研究上，飛網結構被假設為質點。于洋等研究了飛網的拋射動力學問題［8］。李京陽等分析了空間飛網的松弛模型和柔性模型，得出了松弛模型更接近真實飛網的結論［9］。陳欽等研究了空間飛網的設計，并利用集中質量法，將系繩質量集中在兩端節點處，建立了“節點+輕質彈性桿”的飛網數學模型［10－11］。馬駿等利用類似的方法研究了一種帶四個自主機動單元的空間繩網機器人動力學建模和仿真問題［12］。但是，柔性網的編織特點造成各節點間的距離較小，而輕質彈性桿的剛度極大，“節點+輕質彈性桿”的飛網模型在計算時需要極小的步長。另一方面，上述模型均是針對仿真分析的數學模型，利用該模型很難進行針對性的控制器設計。

針對該問題，本文提出一種面向控制的自主機動飛網機器人的動力學建模方法，并針對性的設計其空間任務過程中的網型保持方法。

1 自主機動飛網機器人動力學建模

在動力學建模時，采用如下基本假設:

(1)忽略自主機動單元體積，將其假設為質點;

(2)飛網機器人運行在圓軌道上。

1. 1 飛網機器人的描述

在動力學建模之前，需要首先研究飛網機器人的表達方式。本文采用無向圖G=(V，E)描述其拓撲結構。其中，V為非空的頂點集，包括自主機動單元、系繩交叉的編織點及人為選擇的系繩節點，設n為V中頂點數。E為V中元素構成的二元組的集合，稱為邊集，包含飛網機器人各繩段，描述了各節點間的連接關系，設c為E中所有邊的個數。在實際建模中，可采用鄰接矩陣表達無向圖。將鄰接矩陣中表示連接的元素1用系繩的自然長度lij代替。則n×n維鄰接矩陣A的元素aij為:

1. 2 空間系繩動力學建模

系繩的模型由簡單到復雜可以分為輕質剛性桿模型、剛性桿模型、輕質彈性桿模型、彈性桿模型、株式模型、有限元線段模型、考慮彈性/彎曲/扭轉/剪切的模型等［13－14］。Buckham B 研究了低張力系繩的應用，并通過實驗數據和仿真數據的對比，校驗了將系繩質量集中在節點處的方法適合低張力系繩的數值仿真［15］。因此，本文采用集中質量法建立系繩模型，系繩的非線性本構關系為:

式中:N為系繩張力，E為系繩的楊氏模量，A為系繩的截面積，ε為系繩應變，τ為系繩張力的單位方向向量。

空間系繩普遍采用KEVLAR等合成纖維編織而成，楊氏模量E極大，可達130 GPa。以1 mm直徑的KEVLAR系繩段為例，其彈性系數高達105。而飛網機器人系繩中的張力與網大小、機動單元的推力相關，一般較小。以10 N張力為例，系繩應變僅為10－4，且沿系繩方向具有極高頻的振動。這也是“節點+輕質彈性桿”的飛網模型在計算時需要極小的步長，以保證仿真穩定的根本原因。為解決這一問題，假設EA→+∞，ε→0。此時，式(2)已不能用來計算系繩的張力。分析不可伸長系繩的特點，并借鑒文獻［16］中剛體接觸問題的處理方法，引入間隙函數和約束反力描述系繩的非線性本構關系。

間隙函數:

約束反力:

式中:Ri，Rj為系繩上兩節點的位置，l0為兩節點間系繩的自然長度。約束反力即近似描述了系繩中的張力。

將飛網機器人系統的間隙函數和約束反力寫成向量形式:

1. 3 飛網機器人的動力學建模

本節利用Hamilton原理建立自主機動飛網機器人的動力學模型。在集中質量和系繩不可伸長假設下，飛網機器人的拉格朗日函數L僅包括各節點的動能與勢能。在地心慣性系下:

式中:mi為節點質量，Ri為節點在地心慣性系下的位置，G表示萬有引力常數，M表示地球的質量。

系統的非保守力包括各節點的控制力Fi和約束反力。非保守力做的功為:

利用廣義Hamilton原理:

可推導飛網機器人的動力學模型。

Ri包含飛網機器人的軌道運動和相對運動，很難直接分析機器人的形狀保持情況。在圓軌道假設下，選取飛網機器人軌道或附近軌道上一點為虛擬目標，建立目標軌道系，將飛網機器人模型轉換到目標軌道系下，并利用Hill方程化簡，得:

式中:ω為虛擬目標的平均軌道角速度。

另外，不可伸長的系繩還具有一種獨特的速度跳變現象。以兩節點、單系繩結構為例，當t－時刻，兩節點間距離達到標稱長度(即g=0)，但兩節點相對速度不為0，且有相互遠離的趨勢(即˙g＜0)時，系繩突然繃緊，系繩中張力極大，使得兩個節點在t+時刻具有了沿系繩方向一致的速度，這就是速度跳變現象。下面對不可伸長系繩的速度跳變進行動力學建模。

將動力學方程(9)在時間區間［t－，t+］積分，得:

時間區間［t－，t+］為瞬時過程，節點位置矢量、速度矢量、控制力均為有限值，約束反力為無窮大，式(11)左側后兩項和右側第一項均為0，設約束反力在［t－，t+］的積分為 ΛC，式(11)可化簡為:

式中:ΛC為積分區間［t－，t+］內約束反力產生的動量，未產生速度跳變系繩約束反力產生的動量為零。刻產生速度跳變現象系繩的間隙函數。在t+時刻，產生速度跳變現象的系繩間隙函數為零。即:

聯立式(12)(13)，可得速度跳變后的系統狀態。

1. 4 飛網機器人動力學模型的解算

飛網機器人的動力學模型(9)中包含未知項約束反力λC，而λC與位置項rN，速度項˙rN，加速度項¨rN隱性相關，但式(4)僅給出其定性表達式，不能應用于動力學模型解算。

在系統動力學求解時，位置項、速度項已知，即g，˙g已知。若g＞0∪g=0，˙g＞0，約束反力λ=0;若g=0，˙g=0，需要進一步求解λ。

設滿足g=0，˙g=0條件的間隙函數和約束反力為m個，將其寫成向量形式ˉλC，ˉgC。利用間隙函數定義，對ˉgC求兩次導得:

式中:h(rN，˙rN)為不含二次項的余項，在動力學解算時為已知項。

將動力學方程(9)代入式(14)，得:

式中:MR是ˉλC到λC的轉換矩陣，為c×m維。

具有不等式約束的隱式方程(15)是一個典型的線性互補問題，最常用的求解算法是Lemke算法。詳細的求解步驟參見文獻［17］。

飛網機器人動力學模型的解算流程如圖1所示。詳細的解算步驟為:

(1)計算各系繩的間隙函數，根據間隙函數及其微分將間隙函數ˉgC及約束反力ˉλC分離;

(2)利用Lemke算法求解式(15)，計算當前時刻的約束反力;

(3)利用式(9)，計算當前時刻的加速度項;

(4)利用四階龍格庫塔法進行積分運算，得到下一時刻的系統狀態;

(5)判斷是否存在速度跳變現象;若存在，聯立式(12)(13)，求解速度跳變后的系統狀態;

(6)轉到第一步，循環求解下一時刻的動力學。

圖1 自主機動飛網機器人模型解算流程Fig.1 Solution process for the dynamic model of AMNR

2 自主機動飛網機器人網型保持控制

由于重力梯度力、科氏力、系繩張力的作用，飛網機器人不能自動保持其固有形狀，尤其是在軌道機動過程中，控制力僅作用在自主機動單元上，對飛網形狀影響極大，因此需要進行網型保持控制。

系統動力學模型存在未知的約束反力項λC僅能通過構建線性互補問題求解。并且，λC屬于快變項，很難利用神經網絡等方法通過學習表達。這給控制系統設計帶來了極大的困難。速度跳變現象的存在也加劇了控制系統設計的難度。借鑒單面約束的剛體接觸控制思想，本文提出一種“雙層優化偽動態逆內環+變結構控制外環”的設計思想，如圖2所示。

在偽動態逆控制中，優化目標是求取滿足動力學約束的控制力，使得實際加速度與期望加速度之間的偏差最小。針對約束反力λC的存在，本文提出一種兩層優化的策略。首先，設計虛擬控制量

將式(9)轉化為線性方程。在求其偽逆時，需要考慮不等式約束≥0。設飛網機器人可直接控制的節點位置為rNC。

然后，利用虛擬控制量求解實際控制量F。以最省能量為目標，重新構建優化問題。

考慮到偽逆與真實逆的偏差，需要在偽逆的外環加入控制器。本文選擇變結構控制器。經過偽逆控制器后，系統動力學模型可寫為:

式中:

設期望指令為XD，跟蹤誤差Xe=XD－X。

設計積分型切換函數為:

式中:C為正常數組成的矩陣，K為狀態反饋增益矩陣。設計滑模控制器為:

式中:B+為B的Moore－Penrose逆，f＞0。下面進行穩定性證明。

因此，在控制器作用下，系統一致漸近穩定。

為減弱控制過程中的抖動，選用飽和函數sat(s)代替符號函數sgn(s)，得到最終的變結構控制律。設Si表示S的元素，sat(S)的各元素表示為:

圖3 自主機動飛網機器人實例Fig.3 An example of MNR

3 仿真算例與分析

以圖3所示飛網機器人為例。該機器人包含5個自主機動單元和12個系繩節點。將自主機動單元和系繩編織節點作為無向圖的頂點，鄰接矩陣為:

式中:Ψ是4×8的稀疏矩陣，其元素為:

Φ是8×8的稀疏矩陣，其元素為:

設系繩直徑1 mm，楊氏模量130 Gpa，線密度4.5 g/m，自主機動單元質量 10 kg，軌道高度700 km，飛網機器人初速［1，0，0］m/s，設初始狀態為繃緊狀態，分別仿真無控和節點1施加［0.1，0，0］N恒推力兩種情況，并與文獻［12］中珠子模型進行對比，誤差如圖4、圖5所示。可以看出，無控時，本文的數學模型與珠子模型仿真誤差較小。施加恒推力時，由于實際系繩存在變形，誤差比無控時大，但與整個系統相比，誤差最大為萬分之八。在時間對比上，珠子模型需要選擇較小的步長(本文選擇為2 ms)，以保證系統收斂，本文建立的模型可以選擇較大步長(本文選擇為500 ms)，時間消耗大大降低。

圖4 無控時，兩種模型對比Fig.4 Comparisons without control

圖5 節點1施加恒推力時，兩種模型對比Fig.5 Comparisons with constant thrusts on node 1

下面進行控制器的仿真校驗。設初始狀態為繃緊狀態，各自主機動單元具有［1，0，0］m/s初速，其余節點無初速。無控狀態的仿真結果如圖6所示。

可以看出:由于僅自主機動單元具有速度，其他系繩編織節點通過自主機動單元帶動運行，飛網機器人軌道法向平面視圖由“▽”變為“W”形狀，且整體成收縮趨勢。初始時刻處于軌道面內的節點1與節點3間距離由141.42 m減小為132.36 m，初始時刻處于軌道面外的節點2與節點4間距離由141.42 m減小為65.52 m，由節點1～節點4形成的最大開口面積由10000 m2減小為8672 m2。節點5運動速度大于編織節點，飛網機器人底部變為凹型。從飛網機器人軌道面看，飛網機器人沿軌道切向運動，由于科氏力的作用，其整體向 －Z方向偏移，且由于速度方向的偏移，沿軌道切向運動變慢。以節點5為例，在1 m/s的初速下，500 s內，其沿軌道 +X向僅運行276.56 m，同時，其沿軌道 －Z向運行198.03 m。因此，在飛網機器人沿切向機動時，需要進行網型保持與整體位置控制。

圖6 自主機動飛網機器人無控飛行Fig.6 Ideal non－control motion of AMNR

以節點5為例，速度跳變前后的速度差如圖7所示。可以看出:不可伸長系繩所特有的速度跳變現象一直存在于飛行過程。

圖7 節點5速度跳變現象Fig.7 Velocity jump of node 5

選擇控制器參數 K= － 0.03［I15，5I15］，C=115×30，f=0.1，設飛網機器人的期望狀態為沿軌道X 向，以初速［1，0，0］m/s運行，仿真時間為 500 s，仿真結果如圖8所示。可以看出:

(1)在控制器的作用下，飛網機器人整體沿軌道切向運動，未出現徑向和法向的移動，以節點5為例，位置由初始［－1000，0，0］m 變為［－500.07，0.03，－0.02］m。

(2)飛網機器人整體形狀保持良好;處于軌道面內的節點1與節點3間距離由141.42 m變為141.37 m，處于軌道面外的節點2與節點4間距離由141.42 m變為141.61 m，由節點1～節點4形成的開口面積由10000 m2變為100010 m2，變化率約為1‰。

圖8 自主機動飛網機器人有控飛行Fig.8 The motion of AMNR under the control

可見，本文設計的控制器能夠使自主機動飛網機器人沿預定軌跡運動，并保持其網型。但是，由于僅五個自主機動單元有控制力，飛網機器人形狀并不是嚴格未變化，在各節點間具有一定的變形。

以節點1與節點17間系繩為例，圖9是無控飛行和有控飛行時，該系繩約束反力對比。在無控飛行時，由于僅自主機動單元具有初速，在發射后，由于系繩的牽拉，系繩具有一定的約束反力(最大約0.02 N)，直至各節點具備相同的運行速度后，各節點處于近似自由飛行狀態、系繩約束反力近似為零。在有控飛行時，飛網機器人形狀保持較好，為克服科氏力等影響，系繩中一直存在約束反力，約束反力最大約0.34 N。

圖9 系繩約束反力對比Fig.9 Comparisons of constraint reaction forces

圖10 自主機動飛網機器人機動飛行Fig.10 The orbit maneuver of AMNR under the control

假設根據任務需要，在任務初期，飛網機器人在以設定初速逼近目標的同時，需要在100 s內向+Z向機動75 m，設計機動過程，并利用本文設計的控制器進行200 s仿真，仿真結果如圖10所示。可以看出，飛網機器人能夠按設計的機動軌跡完成機動，且在機動過程中飛網機器人整體構型保持良好，驗證了本文設計的飛網機器人控制及網型保持方法的有效性。

4 結論

針對自主機動飛網機器人的多節點編織特點，提出一種基于無向圖的結構描述方法，然后利用間隙函數和約束反力，基于Hamilton原理建立數學模型，并設計了一種“雙層優化偽動態逆內環+變結構控制外環”的網型保持方法。仿真結果表明:本文建立的數學模型精度與傳統珠式模型相當，但計算速度快，計算穩定，不易發散;控制器能夠在任務過程中有效保持飛網機器人的網型，且避免了飛網機器人的軌道徑向移動。

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