空間機(jī)械臂的確定性學(xué)習(xí)控制

楊飛飛，王 聰，曾 瑋

(1.華南理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，廣州510641;2.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州510641;3.龍巖學(xué)院物理與機(jī)電工程學(xué)院，龍巖364012)

0 引言

隨著空間技術(shù)的迅速發(fā)展，機(jī)器人機(jī)械臂［1－3］的作用日益重要。利用安裝在航天器上的空間機(jī)械臂代替宇航員完成捕捉失效衛(wèi)星、建造空間站、維修空間站以及大型空間站的在軌組裝工作，能減少宇航員艙外活動(dòng)，避免生命危險(xiǎn)和節(jié)省出艙費(fèi)用［4］。

在微重力環(huán)境下，機(jī)械臂空間操作時(shí)，往往會(huì)引起載體位姿的變化，從而表現(xiàn)出非完整的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)，且系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程關(guān)于系統(tǒng)慣性參數(shù)呈非線性函數(shù)關(guān)系。同時(shí)，空間機(jī)械臂操作往往具有不確定性，如參數(shù)的攝動(dòng)，負(fù)載的擾動(dòng)及載體中燃耗等，而利用現(xiàn)有的空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型的先驗(yàn)知識(shí)常常難以建立其精確的數(shù)學(xué)模型［5］。自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展為解決機(jī)械臂控制中存在的一些問(wèn)題提供了新的途徑［6－7］。針對(duì)動(dòng)力學(xué)未知的非線性機(jī)械臂系統(tǒng)，自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器［6］能保證系統(tǒng)狀態(tài)最終一致有界以及跟蹤誤差的收斂。然而，由于不滿足持續(xù)激勵(lì)條件，所采用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不能實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的準(zhǔn)確逼近，以至于對(duì)經(jīng)歷過(guò)多次的同一控制任務(wù)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仍然需要重新進(jìn)行冗余而繁瑣的訓(xùn)練［7］。最近新興的確定性學(xué)習(xí)理論［8］可實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性系統(tǒng)(包括閉環(huán)非線性控制系統(tǒng))的局部準(zhǔn)確建模，以及對(duì)非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)模式的快速識(shí)別。文獻(xiàn)［7］采用確定性學(xué)習(xí)理論［8］，使用徑向基函數(shù)(Radial Basis Function，RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為機(jī)械臂設(shè)計(jì)自適應(yīng)神經(jīng)控制算法，不僅實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)的最終一致有界，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了對(duì)未知機(jī)械臂閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的局部準(zhǔn)確逼近，并可將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于后續(xù)相同或相似的控制任務(wù)中。

值得注意的是，空間機(jī)械臂在執(zhí)行各種不同的任務(wù)當(dāng)中，其慣性動(dòng)力學(xué)會(huì)發(fā)生改變。這種改變使得對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)進(jìn)行控制變得更加困難［9］。為了解決這個(gè)問(wèn)題，多模型控制思想近年來(lái)被用于具有非線性動(dòng)態(tài)的空間機(jī)械臂控制中［10－11］。尤其是，Goodwin［12－13］、Narendra［9，14］等人在基于模型切換的多模型自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)方面取得了很多成果，為基于模式的空間機(jī)械臂控制提供了研究思路。盡管如此，上述多模型自適應(yīng)控制器的結(jié)果多局限于線性系統(tǒng)，很難推廣到非線性系統(tǒng)。在最近新興的確定學(xué)習(xí)理論中提出一種基于模式的控制思路［8，15－16］，即通過(guò)把非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的不同周期或回歸軌跡定義為動(dòng)態(tài)模式，并在對(duì)動(dòng)態(tài)模式進(jìn)行快速識(shí)別的基礎(chǔ)上，可選擇相應(yīng)的已經(jīng)過(guò)訓(xùn)練的、包含了系統(tǒng)局部準(zhǔn)確模型的常值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器用于對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行多模型控制。

本文研究針對(duì)一種空間機(jī)械臂的基于模式的控制方法，優(yōu)點(diǎn)在于:1)由于采用確定性學(xué)習(xí)算法，可實(shí)現(xiàn)對(duì)空間機(jī)械臂未知非線性動(dòng)態(tài)的局部準(zhǔn)確逼近;對(duì)于新出現(xiàn)的任務(wù)模式，基于對(duì)其快速識(shí)別并調(diào)用相應(yīng)的常值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)進(jìn)行控制，可實(shí)現(xiàn)響應(yīng)速度更快，跟蹤性能更好的空間機(jī)械臂控制;2)空間機(jī)械臂基于模式的控制的切換發(fā)生在不同系統(tǒng)動(dòng)態(tài)之間，不會(huì)因狀態(tài)改變而發(fā)生頻繁切換，因而可改善系統(tǒng)的暫態(tài)性能，從而保證系統(tǒng)較高的控制性能。最后，仿真結(jié)果表明控制方法的有效性。

1 問(wèn)題描述

基座固定的空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程為［17］

式中:q，˙q，¨q∈Rn分別代表關(guān)節(jié)的位置、速度和加速度;M(q)∈Rn×n為對(duì)稱正定的慣性矩陣;Vm(q，˙q)∈Rn×n為哥氏力和向心力矩陣;F(˙q)∈Rn為摩擦力矢量;G(q)∈Rn為重力矢量;τ∈Rn為控制轉(zhuǎn)矩輸入矢量。

空間機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程(1)具有如下性質(zhì)。性質(zhì)1.慣性矩陣M(q)是正定對(duì)稱矩陣，且有界，即滿足m1I≤M(q)≤m2I，?q∈Rn，其中，I為適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣，m2≥m1＞0。

令x1=q，x2=˙q，則式(1)可表示為

由此，本文考慮一類機(jī)械臂通用模型:

式中:x= ［x1，x2］T∈R2是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，f(·)和g(·)表示未知的非線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)。

本文設(shè)計(jì)機(jī)械臂通用系統(tǒng)(3)跟蹤由下面參考模型產(chǎn)生的不同跟蹤任務(wù):

式中:xd= ［xd1，xd2］T∈R2是狀態(tài)變量是光滑的非線性函數(shù)m=1，2，…，M)表示由于初始條件和系統(tǒng)參數(shù)不同產(chǎn)生的不同參考軌跡(定義為不同的任務(wù)模式)。σ:R+=［0，∞)→S={1，…，M}是關(guān)于時(shí)間的連續(xù)分段函數(shù)，表示一類切換信號(hào)。M∈N+表示產(chǎn)生的不同任務(wù)模式的數(shù)目。

根據(jù)性質(zhì)2以及性質(zhì)3，以下假設(shè)成立。假設(shè)1.g(x)的符號(hào)已知且存在常數(shù)g1≥g0＞0使假設(shè)2.存在常數(shù)gd＞0使得g˙(x)≤gd，?x∈Ω?R2，式中˙g(x)是關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。

控制目標(biāo):給定多個(gè)跟蹤任務(wù)，設(shè)計(jì)基于模式的局部RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂系統(tǒng)基于跟蹤任務(wù)模式的控制。

2 機(jī)械臂系統(tǒng)基于模式的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器設(shè)計(jì)

空間機(jī)械臂系統(tǒng)要求實(shí)現(xiàn)沿參考軌跡(稱為參考任務(wù)模式)的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有多個(gè)參考軌跡時(shí)，需要首先識(shí)別出當(dāng)前的參考軌跡，然后調(diào)用相應(yīng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)經(jīng)驗(yàn)控制器對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)進(jìn)行跟蹤控制。機(jī)械臂系統(tǒng)基于任務(wù)模式的控制過(guò)程可描述如下:

自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器設(shè)計(jì)為:

式中:z2=e2/g(x)，e1=x1－xd1，e2=x2－xd2，c2為控制器增益。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)律為:

上述自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器的設(shè)計(jì)在專著［8］中已有詳盡的研究，并總結(jié)于第四章定理4.5。

εm1，εm2為逼近誤差

本文依據(jù)上述辨識(shí)結(jié)果，構(gòu)造出如下包含所學(xué)機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的常值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器集合:

式中:ˉxm=［x］T表示所構(gòu)建的動(dòng)態(tài)模型的狀態(tài)，x是待識(shí)別任務(wù)模式的狀態(tài)。B=diag(b1，b2)表示對(duì)角陣，注意bi(i=1，2)可選擇為較大值。

采用下邊的識(shí)別誤差系統(tǒng):

系統(tǒng)(10)是一個(gè)帶有界擾動(dòng)的簡(jiǎn)單線性時(shí)不變系統(tǒng)，由式(10)可快速識(shí)別任務(wù)模式，m ∈ S。在該步驟中，識(shí)別第m個(gè)參考模式所需時(shí)間用［tm，tm'］表示，且 tm＇=tm+ Δtm，Δtm＞ 0，m ∈ S 。

(3)基于對(duì)任務(wù)模式的快速識(shí)別和分類結(jié)果，選擇神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器集合(8)中相應(yīng)的控制器，對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)(3)進(jìn)行閉環(huán)跟蹤控制。

即未識(shí)別出模式φm+1dζ前，依然利用第m個(gè)控制器um對(duì)機(jī)械臂閉環(huán)動(dòng)態(tài)進(jìn)行控制。

3)模式識(shí)別完成后，控制器選取為:

綜上，本文設(shè)計(jì)基于跟蹤任務(wù)模式的控制器:

式中:m∈S，z1，m+1，z2，m+1分別表示機(jī)械臂動(dòng)態(tài)跟蹤第m+1個(gè)跟蹤任務(wù)模式φm+1dζ的第一個(gè)誤差分量和第二個(gè)誤差分量，z2，m的定義類似，c2，m，c2，m+1分別表示um和um+1的控制器增益。

如果t0代表系統(tǒng)(3)的初始運(yùn)行時(shí)刻，(im，tm)表示第σ(tm)個(gè)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)當(dāng)前活動(dòng)，則基于跟蹤任務(wù)模式的機(jī)械臂閉環(huán)控制系統(tǒng)可用一類切換序列來(lái)描述，如切換序列 Ξ ={(i0，t0)，…，(in，tn)，…，|in∈S，n∈N+}。本文對(duì)由機(jī)械臂閉環(huán)系統(tǒng)(3)，參考軌跡模式(4)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器集合(8)構(gòu)成的基于模式的機(jī)械臂控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。首先給出以下引理。

引理1［18］.切換系統(tǒng)˙x=Aix，i=1，2，…，N若具有形為V(x)=xTPx的共同李亞譜諾夫函數(shù)，且對(duì)于i=1，2，…，N，˙V(x)關(guān)于時(shí)間負(fù)定，則切換系統(tǒng)對(duì)任意的切換序列指數(shù)穩(wěn)定。

定理1.考慮基于模式的機(jī)械臂控制系統(tǒng)，包括被控對(duì)象(3)，參考軌跡模式(4)，以及基于模式的控制器(14)。對(duì)于由初始條件0)產(chǎn)生的參考軌跡模式m∈S):基于模式的機(jī)械臂閉環(huán)控制系統(tǒng)(3)中的所有信號(hào)有界，且系統(tǒng)狀態(tài)跟蹤誤差~x=x(t)－xd(t)指數(shù)收斂到零的一個(gè)小鄰域內(nèi)。證.由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)經(jīng)驗(yàn)控制器(8)只在各自的訓(xùn)練域Ωφm，m∈S內(nèi)有效，是一種局部的控制器，因此本文分兩種情況討論空間機(jī)械臂系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這里假設(shè)機(jī)械臂閉環(huán)系統(tǒng)(3)跟蹤各個(gè)任務(wù)模式的切換瞬間的切換域均處于Ωζ之內(nèi)。

(1)情況1:識(shí)別當(dāng)前測(cè)試模式φm+1dζ，控制器取為

且神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練區(qū)域滿足:Ωφm+1?Ωφm，m∈S，即第m+1個(gè)模式的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)區(qū)域Ωφm+1包含于第m個(gè)模式的學(xué)習(xí)區(qū)域Ωφm中。

式中:

且李雅普諾夫函數(shù)取為

則有

由于下邊的不等式成立

因而得到

式中:ο1，m+1=O(ε1，m+1)，同理，

將式(24)(25)代入式(22)可得

將式(26)代入式(23)，并根據(jù)假設(shè)1和假設(shè)2，得到

上式意味著

式中:

根據(jù)式(20)及(29)，進(jìn)一步有

這意味著在［tm+1，t(m+1)'］內(nèi)，通過(guò)恰當(dāng)選取第m個(gè)證在短暫識(shí)別過(guò)程中能量函數(shù)是負(fù)定的。

動(dòng)態(tài)過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后，控制器切換為um+1，此時(shí)的機(jī)械臂誤差動(dòng)態(tài)方程為

這就意味著，當(dāng) t∈ ［t(m+1)'，tm+2)時(shí)， zm+1≤此通過(guò)恰當(dāng)選取參數(shù)致有界，并最終指數(shù)收斂于零的一個(gè)小鄰域內(nèi)。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練區(qū)域滿足:Ωφm+1?Ωφm，m∈S。

此情況與情況1分析方法類似，但在時(shí)間區(qū)間 t∈ ［tm+1，t(m+1)'］內(nèi)采用控制器 umhigh，根據(jù)式(16)有

采用類似于情況1中的證明步驟，仍然有式(33)成立。與情況1不同的是，此時(shí)的參數(shù)

3 仿真校驗(yàn)

下面以基座固定的兩聯(lián)桿空間機(jī)械臂為例說(shuō)明所提方法的有效性。兩聯(lián)桿機(jī)械臂動(dòng)態(tài)方程(1)滿足

機(jī)械臂系統(tǒng)的實(shí)際參數(shù)值選取為:l1=1 m，l2

切換序列如圖1所示。顯然:第二個(gè)任務(wù)模式的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)區(qū)域Ωφ2不包含于第一個(gè)模式的學(xué)習(xí)區(qū)域 Ωφ1中，即 Ωφ2?Ωφ1(滿足定理1 情況2)，因此需要選取高增益的控制器。

圖1 跟蹤不同的參考模式的切換序列Fig.1 Switching sequence of tracking different orbits

機(jī)械臂閉環(huán)系統(tǒng)的控制器參數(shù)均選取為:神經(jīng)元的個(gè)數(shù)為3×3×3×3×4×4=1296個(gè)，均勻地分布在［－1.05，1.05］×［－1.05，1.05］×［－ 1.05，1.05］× ［－ 1.05，1.05］ × ［－ 1.05，1.05］×［－1.05，1.05］區(qū)間上，==16=100，Δt＜5 s。圖2為跟蹤兩個(gè)任務(wù)模式的空間逼近效果圖。圖3為誤差跟蹤性能曲線，圖4為跟蹤誤差曲線，圖5為控制輸入。

圖2 空間上的函數(shù)逼近效果Fig.2 Function approximation in state space

從仿真結(jié)果看出，采用基于跟蹤任務(wù)模式的常值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，可成功驅(qū)動(dòng)仿真系統(tǒng)的狀態(tài)收斂于參考狀態(tài)附近的一個(gè)小鄰域中，而且在跟蹤過(guò)程中實(shí)現(xiàn)了確定學(xué)習(xí)。圖2～圖5清晰反映了切換瞬間，即60 s時(shí)刻，由于出現(xiàn)跟蹤任務(wù)，而系統(tǒng)仍采用跟蹤時(shí)的控制經(jīng)驗(yàn)對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)進(jìn)行控制，導(dǎo)致系統(tǒng)能量突增，出現(xiàn)了較大的攝動(dòng)。經(jīng)過(guò)短暫的識(shí)別過(guò)程后，機(jī)械臂系統(tǒng)立即調(diào)用跟蹤參考任務(wù)練得到的經(jīng)驗(yàn)控制器，這使得進(jìn)入Ωφ2中的控制器能夠馬上利用在該區(qū)域內(nèi)學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)，響應(yīng)速度與自適應(yīng)控制器相比，加快許多。如圖3～圖4體現(xiàn)出了系統(tǒng)良好的跟蹤控制性能，整個(gè)基于參考任務(wù)模式的機(jī)械臂系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定，且切換瞬間的暫態(tài)有界性利用短暫高增益控制器得到了保證。

4 結(jié)論

圖3 狀態(tài)x的跟蹤性能Fig.3 Tracking performance of x

圖4 狀態(tài)x的跟蹤誤差Fig.4 Tracking error of x

圖5 控制輸入Fig.5 Control input

研究了一類空間機(jī)械臂系統(tǒng)的確定學(xué)習(xí)控制方法，采用確定學(xué)習(xí)中基于模式的控制思想實(shí)現(xiàn)了空間機(jī)械臂基于模式的控制。通過(guò)理論證明，采用基于模式的局部神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，機(jī)械臂閉環(huán)系統(tǒng)不僅能實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定性要求，而且在節(jié)省時(shí)間和能量方面也體現(xiàn)了優(yōu)越性，同時(shí)說(shuō)明這類基于任務(wù)模式的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)機(jī)械臂閉環(huán)系統(tǒng)由于具有慢切換的屬性，因而可避免頻繁切換。最后，仿真結(jié)果在基座固定的兩聯(lián)桿空間機(jī)械臂上進(jìn)行校驗(yàn)，說(shuō)明該方法的有效性。

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