液體多模態晃動充液航天器姿態機動復合控制

宋曉娟，岳寶增，閆玉龍，鄧明樂

(北京理工大學宇航學院，北京100081)

0 引言

為了完成長時間復雜的航天任務，航天器需要攜帶大量的發動機液體燃料。液體燃料晃動質量的增加使得液體晃動更容易與航天器的姿態運動及柔性附件振動發生耦合從而影響航天器的穩定性，甚至可能導致航天器飛行任務失敗。開展相關研究的緊迫性和重要性還可以從美國航空航天管理局于2010年2月所發射的太陽動力學高精度觀測衛星的研制過程和在軌運行經歷而窺見一斑。SDO觀測器含有2個大型燃料貯腔(充液重為1400 kg，占衛星總重的47%)。在觀測器執行第二次遠地點主發動機點火并進行變軌機動過程中，控制系統發出了過載警告信號，同時迫使觀測器關閉主發動機并轉入安全模式。科研人員在長達一周的時間內進行了13次軌道和姿態機動并最終成功地將太陽動力學觀測器引導到預定的使命軌道。相關工程技術人員在總結這次事故經驗教訓中得到兩點非常重要的啟示:其一是傳統的液體晃動等效力學模型并不能有效模擬液體非線性晃動動力學(尤其是遠地點發動機點火階段);其二是在充液復雜航天器的研制過程中，必須考慮液體晃動及控制系統之間的非線性耦合動力學問題［1］。對于大型充液航天器而言，液體非線性等效力學模型的建立［2－3］、流固耦合非線性系統的穩定性及分叉［4－5］、液體晃動抑制［6］以及相應現代控制理論等問題的研究仍是有待解決的關鍵性課題［7］。

目前有關充液航天器剛－液－控－耦合動力學研究的文獻報道中，大部分工作只涉及液體晃動的基階模態，即只考慮單一質量擺模型和單一質量彈簧模型，而忽略了高階模態。雖然高階模態的晃動幅值很小，但在建立耦合系統更精確模型時應適當增加模態的階數。有文獻報道，如果在耦合系統建模時加入前兩階或前三階模態將能更加準確地反映液體晃動動力學特征［8］。

近年來，一些學者將輸入成型技術應用于液體晃動抑制中取得了令人矚目的成果。文獻［9］通過數值模擬和實驗證明魯棒輸入成型器在一定參數范圍內可以有效抑制儲液箱內液體殘余晃動;文獻［10］采用輸入成型控制技術詳細研究了球形貯箱的液體晃動的抑制問題;文獻［11］將前饋輸入成型技術與動態逆方法相結合，對充液航天器軌道轉移過程中的大角度姿態機動問題進行了復合控制方法的研究。

對于現代大型航天器的控制設計不可避免地會遇到各種擾動(諸如太陽光壓、重力梯度)和不確定參數問題(諸如柔性附件振動及液體晃動等)。這就要求控制系統具有很強的自適應與魯棒性［9－11］。研究表明，采用自適應動態輸出反饋控制策略可以達到對復雜航天器的良好控制效果［12］。

本文對充液航天器采用零動量反作用輪進行三軸姿態穩定，其在航天器的3個主慣性軸上各裝一個動量輪，3個動量輪相互正交(如圖1所示)，應用動量矩守恒定理建立航天器系統姿態動力學方程和彈簧質量等效力學模型的前兩階模態液體晃動動力學方程。針對充液航天器大角度姿態機動問題設計了基于自適應動態輸出反饋控制器及多模態前饋輸入成型技術的復合控制器，并進行了數值仿真試驗研究。

1 充液航天器動力學建模

1. 1 姿態動力學方程描述

假設旋轉坐標系對慣性系有一個旋轉角速度ω，航天器系統在慣性坐標系下的總動量p可表示為

式中:f為系統外力。系統在慣性系中的動量矩h有以下關系式

式中:v為系統平動速度，g為外力矩。反對稱矩陣

1. 2 建立航天器數學模型

帶有單個儲液腔體的充液航天器模型如圖1所示，假設航天器本體坐標系的原點與系統質心重合，航天器本體為剛體，提供控制力矩的動量輪分別作用在三個坐標軸上，儲液腔體中的晃動燃料等效為二階彈簧質量模型如圖2所示。圖中的各個參數物理意義如下:O為航天器質心，OXYZ為與剛體航天器固連的參考坐標系，假設航天器的橢球形燃料貯箱部分充液且整個系統處于零重力環境，將液體晃動等效為彈簧質量模型并考慮其二階模態振動，一階晃動模型參數為mf1，kf1，cf1，其沿著OZ軸方向距離質心O的距離為bf1，二階晃動模型參數為mf2，kf2，cf2，bf2，不參與晃動液體參數 If0，mf0，bf0。動量輪關于坐標軸是軸對稱的，其到質心的距離為bw，其轉動慣量為Is。

航天器質心到一階晃動質量mf1的距離為rOf1vO+ω×rOf1+˙η1，η1為一階彈簧質量的晃動位移。這里，η1= ［η11η12］T，η11為晃動質量沿著 OX 軸的晃動位移，η12為晃動質量沿著OY軸的晃動位移。同理可知，二階晃動質量mf2的位移及速度表達式。由于研究液體小幅晃動，略去速度項中的二階高次項，則

在轉動坐標系中，晃動質量的動量為

由于本文只討論姿態轉動對航天器的影響，沒有考慮平動的影響，所以認為v0=0，并且應用式(1)，得到關于等效液體晃動質量的動力學方程

圖1 充液航天器系統動力學模型Fig.1 Simplified model of the liquid-filled spacecraft

圖2 航天器液體貯箱內部結構圖Fig.2 The internal structure diagram for the liquid filled tank of spacecraft

轉動坐標系中，航天器整體的動量矩為

結合式(5)及式(2)，可以得到帶有動量輪的充液航天器的動力學方程為

由此，得到充液航天器系統的動力學方程。

2 大角度反饋控制率設計

2. 1 設計自適應動態輸出反饋姿態控制器

將動力學方程(6)、(4)寫成矩陣形式，液體為小幅晃動，省略式(4)中的高階小量。為了控制系統方便引入了一個新的變量α。控制系統為

用四元數描述動力學方程

式中:q=［q1q2q3］T，qTq+q20=1。

設計控制器τ確保閉環系統是漸近穩定或者一致最終有界穩定的，即當t→∞ 時，q→0，ω→0，α→0，η→0，或者當t→∞ 時，q與ω收斂到原點的一個較小鄰域內。

動態輸出反饋一般采用補償的設計方法，具有全局反饋及可靠鎮定的效果，且對轉動慣量的攝動及外力擾動變化具有一定的魯棒性。充液航天器控制系統是一個參數不確定系統，航天器姿態角及角速度是可以測量的狀態向量，而等效液體模型的晃動模態為不可測的狀態向量。本文針對這類不確定系統的控制問題，運用自適應方法得到了彈簧質量模型的狀態向量的最優估計值并設計出了自適應動態輸出反饋控制器，

假設1.對于存在有干擾力矩的充液航天器姿態控制系統，外部擾動Td具有連續性及一致有界性，滿足如下條件

式中:β為沿著三個坐標軸關于 Td2的最大未知邊界。

設計如下控制器［12］

式中:Qi為待設計的正定對稱矩陣，有Qi=＞0，β^為 β無限接近的估計值，單位向量a=［1 1 1］T，K、D為待設計控制增益，η^i為 ηi無限接近的估計值，α^i為αi無限接近的估計值，qe=［qe1qe2qe3］T為指令四元數qc與輸入四元數 q的姿態誤差。

控制反饋增益可以設計為

式中:k＞0，d＞0。

根據四元數的性質，qe有如下表達形式

下面證明系統的穩定性，構造李雅普諾夫函數

將李雅普諾夫函數對時間求一階導數，并且將式(7)、(14)和(18)代入到式(17)中，為了得到˙V≤0，結合式(18)及假設1，進一步整理，得到^β、^αi，及^ηi自適應律

此時李雅普諾夫函數對時間求一階導數可以表示為如下形式

式中:Ri與Qi有如下關系

可以證明系統漸近穩定。

2. 2 多模態輸入成型

輸入成型器是通過改變期望輸入的形狀和作用點位置，使得系統達到預定位置的同時，不會出現顫振現象。即通過整型之后的系統輸入不僅可以滿足剛體的需求，而且可以抑制液體的晃動現象。對于線性系統，設計單個脈沖的響應可描述為

式中:Qi的具體表達式可通過Matlab線性不等式模塊求出。

綜上，可以得到

根據LaSalle不變原理，此時，系統狀態收斂于最大不變集Ξ中，其中Ξ包含于

式中:yi(t)是輸出，Ai是幅值，ti為時間，ωf為無阻尼系統的頻率，ζ為系統的阻尼。為了使系統在多個脈沖作用下的響應最終相互抵消而趨于零，則必須滿足

具有一定魯棒性的三階脈沖ZVD成型器，有如下形式

以上分析僅僅考慮了系統存在單個模態的情況，對于多階振動模態的系統，輸入成型器可以先設計抑制各個單獨振動模態的成型器，然后將這些成型器卷積起來，從而得到一個新的成型器

式中:*表示卷積運算。

3 數值模擬

圖3 成型后的姿態四元數輸入指令Fig.3 Time vs shaped input command quaternions

對于三軸穩定充液航天器，根據以上的數值仿真試驗，通過比較自適應動態輸出反饋控制器，以及將其與二階模態ZVD輸入成型技術相結合所得到的復合控制器這兩種控制方法的控制效果圖，可以得到如下重要的分析結果和結論:

(1)從圖4及圖5所給出的航天器姿態角速率及姿態四元數響應圖可以看出:系統在110 s左右達到穩定效果。仿真圖還表明帶有多模態輸入成型技術的復合控制控制器可以稍快達到穩定;而由自適應動態輸出反饋控制器(14)所得到的控制效果與復合控制器所達到的控制效果幾乎相當，這也從另一角度說明自適應動態輸出控制器具有較好的魯棒性、穩定性及抗干擾的能力。

圖4 姿態角速率的響應Fig.4 Time vs angular velocities response

圖5 姿態四元數的響應Fig.5 Time vs attitude quaternions responses

(2)從圖6及圖7所給出的采用成型器技術前后液體燃料晃動動力學響應圖可以看出:液體晃動沿著偏航軸、滾動軸的一階晃動的瞬態響應特征非常明顯;雖然二階晃動響應幅值比一階晃動幅值小10－1數量級，但也顯示出其不可忽略的瞬態響應特性。仿真結果顯示，本文所設計的基于成型器技術的復合控制器對液體晃動的抑制效果非常明顯。

(3)圖8給出了采用控制器(14)時的控制力矩輸入時變圖，圖9為采用復合控制器時的控制力矩輸入時變圖。在數值仿真的實施過程中，為了結合航天器工程應用實際，本文還考慮了控制力矩的飽和約束條件;控制力矩約束范圍限制在－5～5 N·m之間。對比仿真圖8、圖9可以發現:加入成型器后的復合控制器將使航天器系統更快達到穩定姿態且控制過程中所需要的控制力矩輸入更小。

圖6 液體一階晃動時域曲線Fig.6 Time vs first mode displacement of fuel slosh

4 結論

圖7 液體二階晃動時域曲線Fig.7 Time vs second mode displacement of fuel slosh

圖8 控制器(14)下的控制力矩Fig.8 Control moment input under controller(14)

圖9 控制器(14)結合輸入成型的控制力矩Fig.9 Control moment input under controller(14)and input sharpening

本文以三軸穩定充液航天器為研究對象，在航天器的3個主慣性軸上各裝一個動量輪，提供航天器的控制力矩。液體貯箱假定為橢球形，將晃動液體等效為二階彈簧－質量模型，應用動量矩定理建立了充液航天器耦合系統動力學方程。針對充液航天器大角度姿態機動問題，設計了自適應動態輸出反饋控制器，該控制器具有良好的穩定性及魯棒性品質。為了在對航天器進行姿態機動過程自適應控制的同時，達到對儲腔中的液體晃動進行抑制的目的，本文設計了具有魯棒特性的二階ZVD輸入成型器。數值仿真試驗所給出的控制效果圖校驗了本文方法的有效性;本文所得到的結果具有理論意義和工程應用參考價值。

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