考慮負載均衡的過驅動航天器推力器分配方法

張世杰，段晨陽，趙亞飛

(哈爾濱工業大學衛星技術研究所，哈爾濱150080)

0 引言

高性能航天器常采用冗余配置的推力器以提高系統在軌可靠性，構成一類過驅動系統。過驅動航天器的推力器分配方案并不唯一，增加了在軌推力分配的復雜性，卻可為控制系統提供新的設計自由度，進而能夠改善航天器控制系統性能。已有諸多學者針對推力分配問題提出了多種方法，包括固定

分配列表法［1，2］和動態分配法等［3－5］。固定分配列表法是根據推力器布局，預先制定推力分配列表，在運行過程中始終采用該方案，其主要缺點是需要預先制定推力器分配列表，包括推力器故障時的分配列表，這就需要占用巨大的星上存儲空間，特別是靜態推力器列表無法考慮執行機構特性，無法對該特性實時地調整分配策略應對不可預見的跟蹤誤差。

控制分配(Control allocation，CA)方法是由控制算法給出的期望控制量出發，在各類約束條件和最優目標下，將期望控制量在冗余配置的執行機構間進行分配，使執行機構的實際控制輸出盡可能與期望控制量相吻合的一種控制設計技術［6］。Ricardo等［7］嘗試將控制分配方法引入航天器推力控制問題，隨后多位學者面向不同的控制性能，提出了諸多航天器推力分配算法［8－10］。

航天器在軌運行時，控制目標一般具有方向性，在推力器分配時如果不做限制，會出現僅有少數幾個推力器承擔主要控制任務的情況，導致這幾個推力器的工作總時長或開關次數顯著增加，相比于其它推力器會提前達到最大連續工作時長和繼電器開關次數壽命，發生故障或失效。因此，在推力分配過程中，確保誤差最小前提下，需要均衡分配給各推力器的負載，降低各推力器分配力矩之差，對提高推進系統整體工作壽命具有重要意義。如何利用推力器冗余配置特性，實現推力器負載均衡(Load balancing)分配，是一個亟待解決的問題。控制分配容許在一定的約束下，提出新的設計指標，并進行最優求解，為解決負載均衡問題提供了可行途徑。

負載均衡的概念源自于計算機網絡，用于處理多個節點間的協同工作問題，如用于P2P系統的負載平衡算法，其核心思想是將虛擬服務器分解，并且動態調節虛擬服務器的數量［11］。Wang等針對提高無線電網絡系統利用率的問題，基于當前或過去臨近節點的信息來滿足整個數據流需求的思想，給出了每個節點的資源分配方案［12］。Frost等對飛機中的負載均衡控制分配問題進行了研究，基于一種min-max準則實現執行機構的均衡分配，并對該算法的敏感度進行了分析［13］。部分學者也探討了航天領域的負載平衡方法［14－16］，但主要集中在編隊飛行控制的燃料平衡問題。上述工作具有重要參考價值，但并不完善，難以直接應用。

本文以冗余配置推力器的小衛星作為研究對象，探索采用控制分配方法實現負載均衡控制目標的可行途徑，期望本文的工作對高性能航天器控制系統設計能夠提供一定的參考。

1 負載均衡分配問題描述

在航天器控制中，系統狀態空間模型可以寫成

其中x∈Rm是系統狀態量，d∈Rm為擾動項，ad∈Rm為通過控制器給出的控制指令，y∈Rk為觀測向量。

在推力器進行航天器姿態/軌道控制過程中，滿足

式中:F= ［F1，…，Fn］T，其各個元素分別代表各個推力器的推力大小，B為m×n階矩陣。對于第i個推力器的大小，滿足約束0≤Fi≤Fimax(i=1，…，n)。這里在給定的約束條件下，尋找“最優”解F的問題即為控制分配問題。

在給定約束條件下，控制分配問題可能存在多解、唯一解或無解三種情況。一種常見的，也是容易理解的方式，是降低控制分配誤差以獲取最佳的控制性能。除此以外，多推力器同時工作更容易實現姿態和軌道控制，尤其是在系統故障及恢復的過程中。因此，控制分配實際上包含兩個層次的內容:一個是誤差最小，另一個為控制優化。

控制分配的目的在于將控制器給出的期望控制指令，以一定的優化指標，分配給冗余的執行機構，從而優化配置，提高控制系統性能，原理如圖1所示。

圖1 控制分配原理圖Fig.1 Schematic diagram of control allocation

考慮一般的控制分配模型

式中:B為由推力器安裝布局確定的矩陣，稱之為控制效率矩陣，控制效率矩陣的計算過程見文獻［3］，Fimax分別為第i個推力器標稱的最大推力。

在不考慮推力器上限約束的情況下，該控制分配模型可以通過簡單的Lagrange算法求解［17］，當考慮推力器上限約束時，可通過零空間方法對飽和情況進行修正求解［18］。然而，力矩最優目標下的解不能保證均衡分配效果，且在給出初解之后予以被動修正，將飽和分配量賦予最大值，這種策略不能預先調節控制分配指令，無法達到在滿足約束條件下實現力矩最優的分配效果。

2 控制分配的公式化表述

如前所述，控制分配包含兩個層次的內容:誤差最優和分配優化，下文將分別給出其數學描述。

誤差最優:根據推力器安裝構型矩陣B，尋求推力器分配向量F，滿足，

最小，并滿足執行機構約束0≤Fi≤Fimax，其中向量范數為p范數。如果控制器給出的力和力矩指令在推力器可達集內，那么顯然使得方程(4)得到最優解的條件為J=0，進而說明推力器的能力能夠完成當前控制器的控制指令。但實際上，該條件并不一定成立，尤其是在某種特定情形下，如采用小推力發動機，大角度機動等，因此，考慮該分配目標極其必要。

分配優化:在給定推力器安裝構型矩陣B，向量Fg滿足0≤Fg≤Fmax時，尋找向量F滿足

使得

混合優化:給定推力器安裝構型矩陣B，進一步將優化指標修改為，尋找向量F滿足

并滿足

混合優化是將誤差最優和分配最優兩種不同的優化指標通過參變量ε變成一個統一的優化指標，如果選擇較大的ε，則分配結果更趨向于分配最優;如果選擇較小的ε，那么結果更趨向于誤差最優。

選擇不同的范數可以達到不同的控制目標，對于向量x∈Rm，向量范數分別定義為:

顯然，對于誤差最優，可以選擇多種方案，都能夠表示控制分配誤差最小，可針對具體的求解復雜性確定;而對于控制最優指標，選擇無窮范數是減小各推力器的最大值，從而降低分配給推力器的最大推力，增加利用率低的推力器的工作負荷，達到均衡分配的目的。這種均衡是一種相對“均衡”的概念，由控制指令確定，并非指最終分配給推力器的推力相等。通過設計一定目標函數，滿足控制器指令的要求，同時考慮了推力器間負荷均衡的效果，合理的分配給各個執行機構，因此，該方法是一種全局的均衡推力器控制分配策略。

3 負載均衡分配算法

3. 1 控制分配算法

應用上節給出的混合優化控制分配模型，考慮負載均衡的控制分配模型可表示為其中，誤差最優選擇1范數，控制最優選擇無窮范數，即負載均衡的概念。

顯然，上述控制分配模型無法直接求解，需要將其轉化為標準的優化模型，并基于現有的優化算法進行求解。

引入參變量F*，滿足F*= F∞，并引入一個新的標量函數y=s(x)，該函數定義為

相應的向量函數y=s(x)定義為，對于x∈Rm

根據s函數的定義，引入如下松弛變量

以及誤差松弛變量

于是有

令各推力器最大值的集合為Fmax=［F1max，…，Fnmax］T，則有

對于誤差e，令emax=s(ad)+s(－ad)，則有，

于是控制分配模型可以轉化為標準的線性規劃模型

式中:

上述模型具有標準線性規劃模型的形式，因此基于現有的線性分配算法可以進行求解［19－20］。

3. 2 算法評價指標

本文主要采用兩種指標，用于評價執行機構負載均衡算法性能:平衡度和敏感度。

3.2.1 負載裕度與平衡度

定義第i個推力器的負載裕度

在給定配置下推力器的平均負載裕度為

平衡度定義為推力器配置下的整體平均負載裕度，可定義為

式中:N為采樣時間點的數目。

顯然，在推力器均未工作在最大推力時，平均負載裕度越大，說明推力器平均輸出距離推力器閾值越遠，越能夠避免出現推力器工作在最大負荷的幾率。

3.2.2 敏感度

對于控制器算法給出的期望力矩指令Tcmd，加以一小的常值偏差向量Δ，會導致執行機構指令發生變化，定義執行機構指令變化的程度為敏感度。其表達式為

式中:Fcmd為未加偏差的執行機構指令，Fdelta為具有偏差時的執行機構指令。

由敏感度定義可知，敏感度越低時，執行機構的指令分配越理想，對誤差的敏感程度越低。

綜上，平衡度表征執行機構負載均衡狀況，平衡度越高，則執行機構出現飽和狀況的可能性越小;而敏感度表征算法對干擾的敏感程度，敏感度越低，則誤差分配導致執行機構的出現飽和的可能性越小，表現為一定的魯棒性。

4 仿真及結果分析

推力器姿態控制的控制效率矩陣為

以某型小衛星基于推力器的高精度姿態穩定控制問題為背景，小衛星的質量為10 kg，轉動慣量為I= ［6.292 0 0;0 5.477 0;0 0 2.687］kg·m2;初始姿態四元數為 q(t0)= ［0.7035 －0.4708 0.3430 0.4073］T;初 始 姿 態 角 速 度 ωb0= ［0.9 0.6 0.7］Trad/s;控制器采用PD控制律，控制律參數kp=2.4 ，kd=3.9 。

為了能夠對比說明均衡控制分配的效果，采用該算法和燃料最優推力器控制分配方法進行對比，燃料最優分配方法的模型可以寫為

該模型是一個標準線性規劃模型，求解該模型的線性分配算法可參考文獻［21］。

在給定的安裝構型及控制效率矩陣B下，記矩陣B的每i列編號為#i的推力器分別在三個坐標軸的分量，每個推力器的最小推力均為0.01 N，最大為10 N，推力器可以產生連續推力。在給定的推力器配置和控制律作用下，姿態角速度和姿態四元數的變化情況如圖2和圖3所示。可以看出姿態角速度逐漸趨于0，同時從姿態四元數的變化可以看出小衛星從初始姿態完成機動，進入穩態過程。

圖2 姿態角速度隨時間變化曲線Fig.2 Attitude angular velocity curve change with time

圖3 姿態四元數隨時間變化曲線Fig.3 Attitude quaternion curve change with time

在姿態控制過程，各個推力器的工作狀態如圖4所示。其中4a)和4b)是負載平衡下的推力器分配結果，而4c)和4d)是燃料最優控制分配時各個推力器的工作狀態，灰色填充部分為推力器的工作時間段，非填充區域表示推力器處于關機狀態，每個推力器柱狀圖后面的數字表示推力器工作期間輸出的最大推力。

從圖4中可以得出以下幾點結論:

圖4 負載均衡分配時的推力器工作情況(a和b)及燃料最優分配時的推力器工作情況(c和d)Fig.4 Working status of thrusters under balancing control allocation(a＆b)，and optimal fuel-consumption allocation(c＆d)

(1)推力器工作數目:在進行姿態控制期間，采用負載均衡控制分配方法時所有推力器都參與了工作，而燃料最優控制分配方法參與控制的推力器只有10個。這說明了負載均衡控制分配方法能夠合理利用推力器的安裝布局，使推力器間彼此協同工作，避免頻繁使用部分推力器，從而均衡各推力器的利用率;

(2)系統進入穩態時間:采用負載均衡控制分配方法時，系統進入穩態的時間為40.2 s，而采用燃料最優控制分配方法時，系統進入穩態時間為49.6 s;可見，采用負載均衡控制分配方法能充分利用多推力器協同工作降低系統穩態時間，這對于工程實際應用是十分有意義的;

(3)最大推力:采用負載均衡控制分配方法時，最大推力輸出為#5，#12，#13，#14，#15 推力器，均為1.78 N，采用燃料最優控制分配方法時，最大推力輸出是#12推力器，大小為4.08 N;可見，負載均衡控制分配方法能夠減小最大分配推力達56.4%，可見該方法能夠有效降低某一或某些推力器工作負荷。

(4)推力器總工作時間:采用負載均衡控制分配方法時，所有16個推力器的工作時間總和為306.3 s，而燃料最優控制分配方法的推力器工作時間總和僅為111 s，這也說明負載均衡控制分配方法所達到的優化效果是以增加總的推力器工作時間為代價的;但是，在燃料最優控制分配方法中工作時間較長的推力器，如#11，#15推力器，在負載均衡控制分配方法中，工作時間均有所減少。

圖5 最大推力變化曲線Fig.5 The curve of maximum thrusters change

圖6 平均負載裕度變化曲線Fig.6 The curve of average payload margin change

表1 兩種算法評價對比結果Table 1 The comparison of two algorithms

(5)總燃料消耗:燃料消耗常用速度增量表示，采用燃料最優的控制分配方法時總速度增量為0.0024 km/s，而負載均衡的控制分配方法的速度增量為0.0032 km/s。可見，負載均衡的控制分配方法比燃料最優的控制分配增加燃料消耗約33.3%。

圖5和圖6分別給出了姿態控制過程中，各個時刻下分配給推力器的最大推力變化曲線和平均負載裕度變化曲線，燃料最優控制分配曲線始終位于負載均衡控制分配曲線上方，更直觀的體現出了本文提出的控制分配方法能夠有效的降低分配給推力器的最大控制指令分量，優化控制過程，使得推力器間分配更為均衡、合理。

通過表1可以看出，負載均衡控制分配方法能夠增加推力器配置的平衡度，同時降低對擾動信號的敏感程度，從而提高控制系統性能。

5 結論

本文通過對負載均衡控制分配策略進行建模，并轉化為線性規劃模型，通過仿真，在給定的評價指標下進行了驗證，得到了以下結論:

(1)負載均衡控制分配方法能夠充分利用推力器冗余特性，通過增加推力器執行數目，達到減小推力器最大分配推力，減小控制系統進入穩態時間的目的;

(2)負載均衡控制分配方法能有效增加推力器配置的平衡度，將控制器指令“平均”分配給各個退器，同時在存在擾動力矩時，負載均衡控制分配方法對擾動誤差不敏感，魯棒性強。

［1］ Martel F.Optimal simultaneous 6 axis command of a space vehicle with a precomputed thruster selection catalogue table［J］.Advances in the Astronautical Sciences，2004，116:1 －13.

［2］ 王敏，解永春.考慮推力器推力上界及故障情況的航天器實時指令分配最優查表法［J］.宇航學報，2010，31(6):1540－1546.［Wang Min，Xie Yong-chun.Spacecraft thrusters real time command allocation algorithm in consideration of thrust upper bounds and thruster failure［J］.Journal of Astronautics，2010，31(6):1540 －1546.］

［3］ 唐生勇，張世杰，陳閩等.交會對接航天器推力器分配算法研究［J］.宇航學報，2008，29(4):1120－1125.［Tang Sheng-yong，Zhang Shi-jie，Chen Min，et al.Research on a thrust Allocation algorithm of spacecraft in RVD［J］.Journal of Astronautics，2008，29(4):1120 －1125.］

［4］ Ankersen F，Wu S F，Aleshin A，et al.Optimization of spacecraft thruster management function［J］. Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2005，28(6):1283 －1290.

［5］ Pablo A S，Ricardo S P.Spacecraft thruster control allocation problems［J］.IEEE Transaction on Automatic Control，2005，50(2):245－249.

［6］ Wayne C D.Constrained control allocation［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1993，16(4):717 －725.

［7］ Ricardo SP，Roberto A，Pablo A S.Robust optimal solution to the attitude/force control problem［J］.IEEE Transaction on Aerospace and Electronic Systems.2000，36(3):784 －792.

［8］ 陳瑋，解永春.基于多目標規劃的交會對接推力器指令分配方法［J］.航天控制，2007，25(3):33－38.［Chen Wei，Xie Yong-chun.A method of command distributing of thrusters in rendezvous and docking based on multi-objective programming［J］.Aerospace Control，2007，25(3):33 －38.］

［9］ Pablo A S.Control allocation for gimballed/fixed thrusters［J］.Acta Astronautica，2010，66(3－4):587－594.

［10］ Tang SY，Zhang SJ，Zhang Y L.A modified direct allocation algorithm with application to redundant actuators［J］.Chinese Journal of Aeronautics，2011，24(3):299 －308.

［11］ Yang L，Chen Z X.A VS-split load balancing algorithm in DHT-based P2P systems［C］.2012 International Conference on Systems and Informatics，Yantai，China，May 19 －20，2012.

［12］ Wang W，Kang G.S，Wang WB.Distributed resource allocation based on queue balancing in multihop cognitive radio networks［J］.IEEE/ACM Transactions on Networking，2012，20(3):837－850.

［13］ Susan A F，Marc B.Resource balancing control allocation［C］.2010 American Control Conference，Baltimore，USA，June 30－July 2，2010.

［14］ Beard R W，McLain T W，Hadaegh F Y.Fuel optimization for constrained rotation of spacecraft formations［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2000，23(2):339 －346.

［15］ Rahmani A，Mesbahi M，Hadaegh F Y.Optimal balancedenergy formation flying maneuvers［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2006，29(6):1395 －1403.

［16］ Bodson M，Frost SA.Load balancing in control allocation［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2011，34(2):380－387.

［17］ Kenneth A B，Wayne C D.Null-space augments solutions to constrained control allocation problems［C］.Baltimore:AIAA Guidance，Navigation and Control Conference，1995:328 －333.

［18］ 張世杰，趙亞飛，陳閩等.過驅動輪控衛星的動態控制分配方法研究［J］.航空學報，2011，32(7):1260－1268.［Zhang Shi-jie，Zhao Ya-fei，Chen Min，et al.Dynamic control allocation for overactuated satellite with redundant reaction wheels［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2011，32(7):1260 －1268.］

［19］ Johansen T A，Fossen T I.Control allocation—a survey［J］.Automatica，2013，49(5):1087－1103.

［20］ Marc B.Evaluation of optimization methods for control allocation［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics.2002，25(4):703－711.

［21］ Jin J，Park B，Park Y，et al.Attitude control of a satellite with redundant thrusters［J］.Aerospace Science and Technology，2006，10(7):644－651.