基于JPL星歷的月基SAR多普勒參數(shù)估算方法

丁翼星，郭華東，劉廣*

(1.中國(guó)科學(xué)院 電子學(xué)研究所，北京100190;2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 資源與環(huán)境學(xué)院，北京100039;3.中國(guó)科學(xué)院 遙感與數(shù)字地球研究所，北京100094)

目前在軌工作的低地球軌道合成孔徑雷達(dá)(SAR)測(cè)繪帶較窄，重復(fù)觀測(cè)周期長(zhǎng)，不利于大面積區(qū)域的整體連續(xù)觀測(cè).提升軌道高度是增大觀測(cè)范圍和測(cè)繪帶幅寬最有效的方法，因此關(guān)于傾斜地球同步軌道衛(wèi)星SAR［1］、地球同步軌道寄生SAR［2］和地球同步軌道雙站 SAR［3］的研究相繼問(wèn)世.同步軌道SAR高度約為36 000 km，重訪(fǎng)周期縮短到1d，而且距離測(cè)繪帶幅寬也優(yōu)于低軌系統(tǒng)，具有廣闊的應(yīng)用前景，不過(guò)星載天線(xiàn)和能源系統(tǒng)是當(dāng)前面臨的難題.月基SAR是一個(gè)更新的設(shè)想，即在月球上放置一個(gè)甚至一對(duì)大型天線(xiàn)實(shí)現(xiàn)對(duì)地觀測(cè).現(xiàn)在國(guó)際上對(duì)月基SAR的研究剛剛起步，雖然它的系統(tǒng)設(shè)計(jì)更加復(fù)雜，但是優(yōu)勢(shì)也十分明顯:同樣具有1 d的重訪(fǎng)周期［4］、測(cè)繪帶幅寬更大、壽命更長(zhǎng)、能夠形成長(zhǎng)期的時(shí)間序列數(shù)據(jù)［5］，還可以形成穩(wěn)定的單軌雙、多天線(xiàn)系統(tǒng)，通過(guò)干涉達(dá)到亞度數(shù)的干涉測(cè)量精度和亞毫米級(jí)的形變測(cè)量精度［6］.

多普勒中心頻率和多普勒調(diào)頻率是SAR成像處理中十分重要的參數(shù)，其計(jì)算精度直接影響到距離徙動(dòng)校正和方位向聚焦的效果.目前星載SAR多普勒參數(shù)計(jì)算方法有很多，如 Raney［7］簡(jiǎn)化了衛(wèi)星軌道和地球模型的不規(guī)則性，得到了較為簡(jiǎn)潔的計(jì)算方法，Curlander等［8］考慮了軌道和地球模型的偏心率，基于速度偏向角給出了精度更高的計(jì)算方法，Cumming等［9］給出了基于坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的星載SAR精確估計(jì)方法，楊文付等［10］考慮了J2攝動(dòng)對(duì)多普勒參數(shù)估算的影響，文竹等［11］給出了全觀測(cè)帶內(nèi)多普勒參數(shù)估計(jì)的方法，鄭經(jīng)波和趙秉吉等［12-13］分別針對(duì)地球同步軌道SAR給出了高精度計(jì)算方法等.這些方法應(yīng)用在低軌SAR或同步軌道SAR的情況下，表現(xiàn)出良好精度和實(shí)用性.但是月基SAR天線(xiàn)運(yùn)動(dòng)方式與星載SAR系統(tǒng)不同，因此這些方法不能直接用于月基SAR多普勒參數(shù)分析.本文在利用噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室(JPL)高精度星歷DE405建立月基SAR對(duì)地觀測(cè)幾何模型的基礎(chǔ)上，提出一種基于空間坐標(biāo)變換，利用天線(xiàn)的位置、速度和加速度估算月基SAR多普勒參數(shù)的方法.

1 DE405星歷插值

目前只有文獻(xiàn)［6］利用ELP2000月球運(yùn)動(dòng)理論建立了詳細(xì)的月基SAR對(duì)地觀測(cè)幾何模型.ELP2000是一個(gè)半解析的模型，高精度計(jì)算的數(shù)學(xué)物理意義較為復(fù)雜，而且精度不如JPL星歷.JPL星歷是基于解析模型通過(guò)大量數(shù)值運(yùn)算得到的，與月球激光測(cè)距(目前已達(dá)到毫米級(jí)精度)的結(jié)果能較好地吻合［14］.因此本文選擇基于JPL的星歷DE405利用插值建立月基SAR對(duì)地觀測(cè)幾何位置模型.目前美國(guó)航天航空局噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室研制的DE系列星歷表是最常用的高精度星歷表.每個(gè)星歷表都由數(shù)值積分方法來(lái)解決多體問(wèn)題，并用最小二乘法來(lái)逼近大量的觀測(cè)數(shù)據(jù).在JPL星歷數(shù)據(jù)中天體的位置、速度和加速度以及月球天平動(dòng)以切比雪夫多項(xiàng)式系數(shù)序列的形式給出［15］.利用切比雪夫插值多項(xiàng)式對(duì)星歷進(jìn)行插值可以獲得任意時(shí)刻地球、月球的位置、速度和加速度，并且采用三維坐標(biāo)的形式進(jìn)行表達(dá).坐標(biāo)單位是一個(gè)天文單位(AU).插值計(jì)算具有相似的形式，例如x方向的位置矢量可由式(1)插值得到:

其中，Tk(t)為第1類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式;ak為星歷文件中的系數(shù);t為標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)間，大小在－1～1之間.對(duì)速度和加速度插值可由對(duì)式(1)做微分得到.設(shè)星歷插值后的月心位置、速度和加速度分別R0，V0和A0.另外，通過(guò)星歷插值還可以獲得任意時(shí)刻從月固坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到地心慣性坐標(biāo)系的3個(gè)天平動(dòng)歐拉角.

2 月基SAR對(duì)地觀測(cè)模型的建立

月基SAR與星載SAR對(duì)地觀測(cè)模型的最大區(qū)別在于:①星載SAR姿態(tài)旋轉(zhuǎn)一般采用3-1-2方式，而月基SAR采用3-1-3旋轉(zhuǎn)方式.②星載SAR一般假設(shè)天線(xiàn)指向在星體坐標(biāo)系內(nèi)不變，利用衛(wèi)星姿態(tài)控制指向，而月基SAR無(wú)法控制月球姿態(tài)，需直接調(diào)整控制指向的兩個(gè)角度，這兩個(gè)角度在月面站心坐標(biāo)系內(nèi)為高度角和方位角，在天球坐標(biāo)系內(nèi)為赤經(jīng)和赤緯，它們與星下點(diǎn)離線(xiàn)角和斜視角可相互轉(zhuǎn)化.③月基SAR需要考慮月球半徑在姿態(tài)旋轉(zhuǎn)時(shí)對(duì)天線(xiàn)位置的影響.

下面首先介紹3個(gè)右手坐標(biāo)系(圖1):①地心天球坐標(biāo)系OE-xyz，x指向春分點(diǎn)，z指向天球北極，假設(shè)其為慣性坐標(biāo)系.②月固坐標(biāo)系，OL-x′y′z′，x′指向平均可見(jiàn)月盤(pán)中心或者也可以說(shuō)是地球平均位置，同時(shí)也是月面經(jīng)緯網(wǎng)的零點(diǎn)，z′指向月球北極.③地固坐標(biāo)系，OE-x″y″z″，x″指向零度經(jīng)線(xiàn)與赤道的交點(diǎn)，z″指向地球北極.

圖1 3個(gè)右手坐標(biāo)系，γ為春分點(diǎn)Fig.1 Three right handed coordinates system in which γ is the vernal equinox

通過(guò)旋轉(zhuǎn)春分點(diǎn)格林尼治恒星時(shí)角αG可以將地固坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到地心慣性坐標(biāo)系，旋轉(zhuǎn)矩陣為Mr，可以用來(lái)計(jì)算等效斜視角.由于變化量小或時(shí)間尺度過(guò)大的原因，本文未考慮地球章動(dòng)、歲差和極移.dαG/dt=ωe，ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度.

月基SAR天線(xiàn)運(yùn)動(dòng)可以分解為兩個(gè)部分:月球質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)和天線(xiàn)隨月球自轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng).由于月球在地心慣性坐標(biāo)系中的位置、速度和加速度僅為時(shí)間的函數(shù)，因此本文不將其視為影響多普勒參數(shù)的自變量.能夠影響月基SAR多普勒參數(shù)的量為:①天線(xiàn)在月球表面的位置;②波束角.

因此對(duì)于月面上經(jīng)緯度為(αa，δa)的點(diǎn)，它在月固坐標(biāo)系下的天線(xiàn)位矢、速度和加速度為

其中Rm=1738 km為月球半徑.

將它們轉(zhuǎn)到月心慣性坐標(biāo)系，再轉(zhuǎn)到地心慣性坐標(biāo)系后變?yōu)?/p>

式(7)～式(9)表示天線(xiàn)在慣性系中的位置、速度和加速度，當(dāng)然也可以用數(shù)值差分方法計(jì)算速度和加速度，兩者最大速度誤差約為7.2×10－5m/s，最大加速度誤差約為 5.5 ×10－9m/s2，對(duì)于多普勒參數(shù)計(jì)算完全可以忽略.

3 波束指向

月基SAR的一大優(yōu)勢(shì)是可以快速指向可見(jiàn)地球半球的任意位置，因此需要計(jì)算任意波束方向下的多普勒參數(shù).空間中任意一個(gè)單位矢量都需要由兩個(gè)角度控制，類(lèi)似星載SAR系統(tǒng)，這兩個(gè)角度一般可以轉(zhuǎn)化為星下點(diǎn)離線(xiàn)角θn和斜視角θs.星下點(diǎn)離線(xiàn)角為波束與天線(xiàn)位置矢量的夾角.斜視角是波束與零多普勒面之間的夾角.當(dāng)這兩個(gè)角度確定后，波束中心視矢量RLOS就確定了，中心視矢量與大地橢球體的交點(diǎn)即為地面波束覆蓋區(qū)中心.在地心慣性坐標(biāo)系下，如果知道星下點(diǎn)離線(xiàn)角θn和斜視角θs，則可以得到以下兩個(gè)方程:

式(10)和式(11)構(gòu)成兩個(gè)圓錐面，兩方程的解為兩個(gè)曲面相交的單位矢量，z的大根表示左視，小根表示右視，以下計(jì)算以左視為例.在地心慣性坐標(biāo)系中計(jì)算，由于地球自轉(zhuǎn)效應(yīng)的主導(dǎo)作用，此時(shí)的θs為實(shí)際斜視角，與等效斜視角存在一定差異;如果在地固坐標(biāo)系中計(jì)算，可以得到總的等效斜視角，用θrs表示.

地面波束中心矢量 Rt、波束中心視矢量RLOS=Rlos和天線(xiàn)位置矢量R有如下關(guān)系:

并且，Rt滿(mǎn)足地球橢球方程:

其中，ae為地球赤道半徑6378.137 km;be為地球極地半徑6 356.752 km.根據(jù)以上關(guān)系可以得到一個(gè)二次方程，從而得到Rlos的值［9］.星載SAR可以假設(shè)連接方式使得天線(xiàn)和星體的相對(duì)姿態(tài)保持一致，然而在月基SAR系統(tǒng)中，由于觀測(cè)星下點(diǎn)離線(xiàn)角的限制和天平動(dòng)的存在，天線(xiàn)指向必須不斷調(diào)整以指向地球.

由于月球軌道傾角較小，月基SAR的緯度覆蓋完整度受到一定限制.表1和圖2顯示了θrs為零時(shí)θn對(duì)波束緯度覆蓋的影響(改變波束與天線(xiàn)速度的夾角).可以看出，隨著θn等差遞增，波束入射角和照射緯度也呈現(xiàn)等差遞增的規(guī)律，而且波束中心掃過(guò)的緯度跨度也很穩(wěn)定.這個(gè)特點(diǎn)使觀測(cè)計(jì)劃的制定變得相對(duì)簡(jiǎn)單，只需根據(jù)月球與目標(biāo)的緯度差用簡(jiǎn)單的線(xiàn)性關(guān)系來(lái)計(jì)算所需的離線(xiàn)角.另外，考慮到波束寬度，月基SAR至少能覆蓋±75°之間的地區(qū).2014年1月月球軌道傾角較小，約為20°，在其他傾角較大的月份，波束覆蓋區(qū)域更大.

表1 月基SAR離線(xiàn)角對(duì)入射角和地面緯度的影響Table1 Incident angle and terrestrial latitude related to moon-borne SAR off-nadir angle (°)

圖2 θn與地面波束中心緯度沿軌變化關(guān)系Fig.2 Relationship between terrestrial latitude of beam footprint center and θnalong the orbit

如果直接給定一個(gè)θs，那么波束會(huì)有大部分時(shí)間不能與地球橢球相交.由表1可以看出，月基SAR 的 θn最好在 0.3°～0.7°之間，而最大 θs不應(yīng)超過(guò)4°.圖3給出了月基SAR的θs沿軌從－4°變化到4°時(shí)地面波束中心的緯度變化情況(θn=0.5°)，其整體形狀與圖2類(lèi)似.很明顯需要通過(guò)沿軌不斷變化θs可以使波束一直照射在地球上，而且還可以增加緯度照射范圍以應(yīng)對(duì)不同的觀測(cè)需求.

圖3 θs與地面波束中心緯度沿軌變化關(guān)系Fig.3 Relationship between terrestrial latitude of beam footprint center and θsalong the orbit

4 估算多普勒參數(shù)

SAR多普勒中心頻率可表示為

其中Vt為目標(biāo)隨地球自轉(zhuǎn)的線(xiàn)速度.

對(duì)式(14)進(jìn)行微分，得到多普勒調(diào)頻率的計(jì)算公式:

其中At為目標(biāo)隨地球自轉(zhuǎn)的加速度.由于觀測(cè)距離長(zhǎng)，式中大括號(hào)里的第1項(xiàng)很小.通過(guò)式(14)和式(15)可以計(jì)算得到月基SAR的多普勒參數(shù).文獻(xiàn)［9，11］方法與本文的方法均為利用坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)進(jìn)行計(jì)算，但本文方法做了適合月基SAR特點(diǎn)的改進(jìn):①考慮了天線(xiàn)位置與月心的差異;②直接利用離線(xiàn)角和斜視角定義天線(xiàn)方向更適合月基SAR的實(shí)際情況.下面探討天線(xiàn)位置差異引入的計(jì)算誤差.

本文選擇了6個(gè)點(diǎn)進(jìn)行分析，分別是月面坐標(biāo)為 A(0，0)，B(0，60)，C(0，－ 60)，D(60，0)，E(－60，0)和 F 月心，θs=0°，θn=0.5°.圖4顯示了計(jì)算結(jié)果，為了表現(xiàn)差異，僅給出了局部放大圖.天線(xiàn)位置差異對(duì)多普勒中心頻率計(jì)算的影響主要體現(xiàn)在:①多普勒中心頻率曲線(xiàn)出現(xiàn)時(shí)移，最大時(shí)移均出現(xiàn)在 D和 E之間，大小為75～115 min;②曲線(xiàn)形狀略有不同，B和C的差異相對(duì)更大，消除時(shí)移后仍可達(dá)數(shù)十赫茲.位置對(duì)多普勒調(diào)頻率也有相似的影響，時(shí)移最大值也出現(xiàn)在D和E之間，而值的最大差異為0.002 Hz/s，出現(xiàn)在B和C之間.

圖4 月面位置對(duì)多普勒參數(shù)估算的影響Fig.4 Doppler parameters estimation variance attributed to different selenographic position

事實(shí)上，F(xiàn)點(diǎn)可以假設(shè)是一個(gè)放置在月心處的衛(wèi)星，能夠利用文獻(xiàn)［9］中的方法以及式(14)和式(15)進(jìn)行估算，但需要注意天線(xiàn)指向.圖5顯示了未經(jīng)月面位置補(bǔ)償?shù)男禽dSAR估算方法中與經(jīng)過(guò)月面位置補(bǔ)償?shù)谋疚姆椒ㄖg多普勒調(diào)頻率誤差沿軌變化情況，參照點(diǎn)為F點(diǎn)(多普勒調(diào)頻率誤差為0).為了使曲線(xiàn)連續(xù)并消除角度定義上的差異，本圖使用了零多普勒導(dǎo)引.六者最大誤差出現(xiàn)在B和C之間，大小仍然為0.002 Hz/s.與F點(diǎn)相比，調(diào)頻率誤差最大值出現(xiàn)在C點(diǎn)，約0.001 5 Hz/s，而月面零點(diǎn) A的最大誤差約為0.001 Hz/s.

由于月基SAR的合成時(shí)間相當(dāng)長(zhǎng)(10 min左右)，如此誤差仍然會(huì)對(duì)成像造成嚴(yán)重影響.多普勒中心頻率的估計(jì)誤差應(yīng)該處于信號(hào)模糊比和SNR容許的損失范圍之內(nèi).設(shè)時(shí)長(zhǎng)為600 s，調(diào)頻率為 0.2 Hz/s，過(guò)采樣率為 1.2，則 PRF=144 Hz，誤差應(yīng)小于7.2 Hz.另外，多普勒中心頻率誤差的差異還會(huì)造成圖像畸變.月基SAR方位壓縮中，2%的沖擊響應(yīng)展寬對(duì)應(yīng)1.9×10－6Hz/s的多普勒調(diào)頻率誤差.由此可見(jiàn)多普勒參數(shù)對(duì)天線(xiàn)放置位置十分敏感，而月面位置補(bǔ)償也是十分必要的.

圖5 零多普勒導(dǎo)引后的多普勒調(diào)頻率誤差Fig.5 Doppler frequency rate error after zero Doppler steering

5 結(jié)論

本文利用JPL星歷通過(guò)插值和坐標(biāo)轉(zhuǎn)換構(gòu)建了月基SAR對(duì)地觀測(cè)幾何模型.在此基礎(chǔ)上，利用兩個(gè)二次方程組，解算任意波束方向下的地面波束印記中心位置，再計(jì)算月基SAR的多普勒參數(shù)，得到如下結(jié)論:

1)星歷插值后，對(duì)旋轉(zhuǎn)矩陣近似求導(dǎo)可獲得天線(xiàn)在地心慣性坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，與高精度數(shù)值差分結(jié)果相比誤差可以忽略.

2)月基SAR的波束角需沿軌不斷調(diào)整以指向地球，在星下點(diǎn)離線(xiàn)角為0.5°時(shí)，斜視角最大值約為 4°.

3)天線(xiàn)放置的位置會(huì)明顯影響多普勒參數(shù)的計(jì)算值，中心頻率偏差可超過(guò)一個(gè)PRF，調(diào)頻率偏差在10－3量級(jí).

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