由物體的影子變化定位其位置的數(shù)學(xué)模型研究
——以2015年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模賽題為例*

霍俊爽 楊柳 吳兆薇 張春轉(zhuǎn) 王柳行

吉林醫(yī)藥學(xué)院公共衛(wèi)生學(xué)院 吉林吉林 132013

由物體的影子變化定位其位置的數(shù)學(xué)模型研究
——以2015年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模賽題為例*

霍俊爽 楊柳 吳兆薇 張春轉(zhuǎn) 王柳行△

吉林醫(yī)藥學(xué)院公共衛(wèi)生學(xué)院 吉林吉林 132013

本文運(yùn)用太陽(yáng)高度角、太陽(yáng)赤緯角、太陽(yáng)方位角、日角等地理公式建立了直桿所處的經(jīng)緯度和直桿在水平地面上的太陽(yáng)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的數(shù)學(xué)模型，最后根據(jù)建立的模型用MATLAB軟件求解出了物體可能所處的經(jīng)緯度，得到直桿的經(jīng)緯度為：。

影子；數(shù)學(xué)模型；建模競(jìng)賽；緯度角公式

1、引言

隨著社會(huì)的發(fā)展，人們經(jīng)常會(huì)處理和圖片或視頻等相關(guān)的資料，在研究這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，其中有一類(lèi)需要根據(jù)圖片或視頻的影像資料去確定視頻拍攝地點(diǎn)和日期越來(lái)越重要。因此本文研究了如何應(yīng)用太陽(yáng)高度角、太陽(yáng)直射緯度、太陽(yáng)方位角、太陽(yáng)赤緯角、日角等公式[1]建立了直桿所處的經(jīng)緯度和直桿在水平地面上的太陽(yáng)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用該模型研究了2015年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中A題的第二問(wèn)，確定了直桿的地理位置。

2、基本理論

2.1 太陽(yáng)高度與物理影子的關(guān)系

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)影子的長(zhǎng)度與太陽(yáng)高度、太陽(yáng)直射緯度、物體原長(zhǎng)因素影響如圖1所示。

從圖1中不難看出，距離太陽(yáng)直射點(diǎn)越近，太陽(yáng)高度角越大，物體的影子越短；距離太陽(yáng)直射點(diǎn)越遠(yuǎn)太陽(yáng)高度角越小，物體的影子越高；物體越長(zhǎng)，物體影子越長(zhǎng)；物體越短，物體影子越短[2]。

2.2 軌道線形成圖及影長(zhǎng)與桿高公式等

一天之中一根直桿在太陽(yáng)下直立時(shí)，直桿的影子隨著太陽(yáng)的轉(zhuǎn)動(dòng)在不斷地變化，而這時(shí)就可以將直桿影子移動(dòng)的軌跡看作太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)，運(yùn)用這一原理，將地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)的移動(dòng)簡(jiǎn)化成為地球是不動(dòng)的，而后假設(shè)太陽(yáng)是一個(gè)球體，地球與球體有統(tǒng)一球心。

圖2中太陽(yáng)位于L在天體中相對(duì)地球位置O上某一點(diǎn)的相對(duì)位置，由這個(gè)點(diǎn)的地理緯度、日期和時(shí)間3個(gè)因素決定。以地平坐標(biāo)及赤道坐標(biāo)同時(shí)表示太陽(yáng)位置，即以太陽(yáng)高度角h，方位角A及赤緯角c，時(shí)角s來(lái)表示。

可知太陽(yáng)高度角的公式為

l=Hcot(h)其中h為太陽(yáng)高度角，l為桿影子的長(zhǎng)度，H為桿的高度，w為直桿所在地的緯度，c為太陽(yáng)直射的緯度角，s為時(shí)角。

太陽(yáng)直射緯度角公式為c=24.5×sin(2×pi×(284+N)/365)，N為從1月1日起至所觀測(cè)日的天數(shù)。

太陽(yáng)方位角公式為sinA=(cosc·sins)/cos h

綜上可得太陽(yáng)的方位角公式為A=arctan(y0/x0)，太陽(yáng)的赤緯角公式為

其中δ為日角。即δ=2π(N?N0)/365.2422，其中，從觀測(cè)點(diǎn)天球子午圈沿天赤道量至太陽(yáng)所在時(shí)圈角的距離即時(shí)角公式為

s=15t，t=N?Et?12 隨著地球的自轉(zhuǎn)不同的地方具有不同的時(shí)差，時(shí)差公式為

Et =0.0028-1.9857sinδ+9.9059sin2δ?7.0924cosδ?0.6882cos2δ+0.0201cos3δ，綜上可得直桿的緯度公式[3]為

直桿的經(jīng)度公式為γ=γ0±Et*15，其中γ0為直桿所在地點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)經(jīng)度。

3.實(shí)證分析

2015年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題第二個(gè)問(wèn)題是要求建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點(diǎn)。基于MATLAB軟件，將影子的定點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)代入以上所得的經(jīng)緯度模型[4]，求得直桿的地理位置約為。該直桿在我國(guó)的海南島，如圖3所示。

4.討論

本文運(yùn)用太陽(yáng)高度角、太陽(yáng)赤緯角、太陽(yáng)方位角、日角等地理公式建立了直桿所處的經(jīng)緯度和直桿在水平地面上的太陽(yáng)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的數(shù)學(xué)模型，最后根據(jù)建立的模型求解出了直桿所處的經(jīng)緯度[5]。

[1]鄭鵬飛等.基于影子軌跡線反求采光效果的技術(shù)研究[J].華東理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2010.(6)：458-463.

[2]E.W伍拉德，G.M.克萊門(mén)斯，球面天文學(xué)[M].北京：高等教育出版社(本科版)，1983.

[3]尚智勇.一種新的緯度測(cè)量方法[J].大學(xué)物理，2010，9：51-54.

[4]唐爽，馬世紅.利用數(shù)碼相機(jī)測(cè)量所在地區(qū)緯度[J].大學(xué)物理，2009，28(7)：56-58.

[5]徐寶菜，應(yīng)振華.地球概論教程[M].北京：高等教育出版社，1983：96-97.

吉林省教育廳十二五規(guī)劃科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(2015393)，吉林省科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(20120697).

霍俊爽(1982-)，男，碩士，講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)。

△通信作者：王柳行(1965-)，男，教授，碩導(dǎo)，研究方向：社會(huì)醫(yī)學(xué)、教育管理.