高階交通流模型的寬移動堵塞行波解

吳春秀

（1.泉州師范學院數學與計算機科學學院，福建泉州　362000；2.福建省大數據管理新技術與知識工程重點實驗室，福建泉州　362000；3.智能計算與信息處理福建省高等學校重點實驗室，福建泉州　362000）

高階交通流模型的寬移動堵塞行波解

吳春秀1，2，3

（1.泉州師范學院數學與計算機科學學院，福建泉州362000；2.福建省大數據管理新技術與知識工程重點實驗室，福建泉州362000；3.智能計算與信息處理福建省高等學校重點實驗室，福建泉州362000）

基于漸近分析理論，研究一個宏觀高階交通流模型的寬移動堵塞行波解.由邊界層方法推導出該行波解特征參數的代數方程組，并證明該漸近解與相應的無粘性交通流模型的一種守恒形式的行波解一致.選取五階精度的有限差分加權本質無振蕩（WENO）格式進行數值模擬，所得數值解與解析結果相符合，能較好地解釋交通中的停停走走現象.

交通流；寬移動堵塞；行波解；邊界層方法

1　研究背景

宏觀高階交通流模型不僅考慮車輛數守恒，還考慮了加速度方程，因而能更好地描述現實交通中的非平衡態現象.PW模型［1－2］是較早期的高階模型.之后，為了避免過大的加速度，而將粘性項引入加速度方程.結合連續型方程，粘性模型的一般形式可用如下方程組來描述：其中，ρ表示平均密度，v表示速度，ve（ρ）為平衡速度，ν（ρ）為粘性項系數，等效音速c0＞0.該方程組有2個特征速度：λ1，2＝v?c0，故模型方程是雙曲的.當ν（ρ）＝0時，可得PW模型；當ν（ρ）＝ν＞0且為常數時，可得Kühne模型［3］；當ν（ρ）＝μ/ρ且μ＞0為常數時，可得KK模型［4］.

交通流模型的行波解是一種非平凡穩態解.許多學者研究了道路交通行波解的特征［3－10］.近幾年，交通模型的研究考慮了網絡和隨機因素［11－14］.寬移動堵塞解是交通流模型的一種重要的行波解.它描述了現實交通中的停停走走現象.運用弱解理論，推導出PW模型在2種守恒形式下對應的2個不同的行波解析解［5］.當方程（2）選取速度v或流量q＝ρv作為一個守恒變量時，PW模型對應2種守恒形式.其解可分別由Kühne模型和KK模型的解漸近得到［5］.這些對應關系與無粘和有粘Burgers方程相似［2］.KERNER等［6］運用漸近理論，忽略高階小量O（μ），得到KK模型中描述寬移動堵塞特征參數的一系列代數方程.該組方程與PW模型中以q＝ρv作為守恒變量推導出的方程組一致.

函數q＝qe（ρ）的圖形稱為基本圖，見圖1，行波解的相圖（ρ，q）由線段表示，該線段的斜率為行波速度a，其中q＝ρv，線段兩端點對應密度分別為ρA和ρB，其中假設了一個非凸的流量－密度關系qe（ρ）＝ρve（ρ）.描述交通擁堵的寬移動堵塞密度和速度見圖2、圖3，其中在X＝X0處存在邊界層.

圖1　基本圖和相圖Fig.1　Phase plot and fundamental

圖2　寬移動堵塞的密度剖面圖Fig.2　Density profile of a widemoving jam

圖3　寬移動堵塞的速度剖面圖Fig.3　velocity profile of a widemoving jam

在下一節中，運用邊界層理論推導出Kühne模型形如圖1～2的寬移動堵塞解，并證明其特征參數方程組與PW模型中以v作為守恒變量推導出的方程組一致，其中寬移動堵塞的特征參數為ρA、ρB、ρC、vA、vB、vC和行波速度a.

2　模型方程的漸近分析

3　數值模擬

在本節的數值模擬中，選取五階精度WENO格式，驗證Kühne模型中寬移動堵塞的形成.假設模型方程的守恒形式如下：

選取三階TVD Runge-Kutta格式進行時間離散.詳細的討論參見文獻［15］.

圖4　密度演化圖Fig.4　Evolution of density

圖4顯示：隨著時間的發展，初始均勻的平衡態交通流在小擾動下，演化形成寬移動堵塞行波.驗證了解析分析的結果.

4　結　論

本文運用漸近分析理論中的邊界層方法，研究Kühne模型的寬移動堵塞行波解，描述現實交通中的停停走走擁堵現象.推導出行波解特征參數的代數方程組，驗證了該解與相應的無粘性交通流模型的行波解一致.并通過數值模擬得到密度波演化形成的寬移動堵塞行波，驗證了解析分析的結論.

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W idemoving jam solution of higher-order traffic flow model

WU Chun-xiu1，2，3

（1.College of Mathematics and Computer Science，Quanzhou Normal University，Quanzhou 362000，China；
2.Fujian Provincial Key Laboratory of Data Intensive Computing，Quanzhou 362000，China；
3.Key University Laboratory of Intelligent Computing and Information Processing of Fujian Province，Quanzhou 362000，China）

Based on the asymptotic theory，the widemoving jam solution of a higher-order traffic flow model is investigated.The boundary-layermethod is applied to obtain a setof algebraic equations of the characteristic parameters about the travelling wave solution.This asymptotic solution is identical to thatwhich corresponds to a certain conservation form of the inviscidmodel.The numerical simulation by five-order accuracy finite difference Weighted Essentially Non-Oscillatory（WENO）scheme is applied to show the good agreementwith the analytic solution.This explains the phenomenon of stop-and-go wave in real traffic very well.

traffic flow；widemoving jam；travelling wave solution；boundary-layermethod

O29；U121

A

1671-4229（2015）06-0017-04

2015－07－07；

2015－10－13

福建省教育廳科研資助項目（JK2014039）

吳春秀（1978－），女，講師，博士.E-mail：wuchunxiu66＠163.com

【責任編輯：孫向榮】