因“惑”得“獲”

劉慧娜

因“惑”得“獲”

劉慧娜

孟子說：盡信書不如無書。教師不要過分迷信教材，教參，要敢于惹“惑”，有惑才會有收獲。

一、偶數概念生發的“惑”與“獲”

“偶數”概念是小學數學五年級下冊的一個重要知識點。對于0是否屬于偶數范疇，不同版本的教材，甚至同一版教材在不同的年份、不同的頁面有著不同的定義。

2005年人教版教材17頁中提到：“自然數中，是2的倍數的數叫做偶數（0也是偶數）”在教材第12頁又提到，“為了方便，在研究因數和倍數的時候，所說的數指的是整數（一般不包括0）。”這樣一來，偶數只能在自然數范圍內討論。由于在討論因數倍數的時候將0撇開，所以在定義偶數的時候不得不將0又加上。2013年人教版教材第5頁強調：“為了方便，在研究因數和倍數的時候，所說的數指的是自然數（一般不包括0）。”在第9頁定義偶數時說：“整數中，是2的倍數的數叫做偶數（0也是偶數）”新版將因數倍數限定在自然數（除去0）內，但是又用倍數來定義偶數，前面雖然說在“整數中”，但是基于倍數的范圍，只能在2的倍數范圍內理解偶數，而且0還是硬生生地加在后面。

其它版本教材對偶數是怎樣定義的呢？蘇教版教材在定義偶數時指出：“在整數中，能被2整除的叫偶數。”這句話將0、正偶數、負偶數都概括了，并且“整除”的概念也在學生的知識結構中，整除的范圍也在整數的范圍內討論，此時，不需要強調負偶數，只需點出0的特殊性即可。筆者認為這個偶數定義更加簡明深入，優于人教版的偶數定義。

人教版教材的偶數概念是在學生知識結構中已有的“倍數”概念基礎上延伸出的二級概念，學生在理解“倍數”的時候已經產生原認知的重建和改組，再在此基礎上建立“偶數”概念，增加了難度。蘇教版教材用“整除”來定義“偶數”只需要知識的同化，簡單許多。

二、認識真分數引發的“惑”與“獲”

人教版五年級下冊關于“真分數”的定義是：分子比分母小的分數為真分數。在判斷是否是真分數時，不同的學生有不同的見解：反對的學生指出，就是0，怎么可能是真分數？支持的學生指出，分子0小于分母12，分母不為0，分數有意義，怎么不是真分數？

兩位學生思考的深度讓人佩服。其他學生陷入了“不茍同卻無法說服”的境地。查閱整理相關資料后，教師總結出探索這一問題的兩大要點。

這種問題對于五年級的學生來說，確實不要求掌握，但他們求真的態度卻是值得肯定的。由這個問題，自然又會出現這樣一個問題：形如這樣的數是分數嗎？我們知道，是我們熟知的整數，而且根據假分數的定義，可以知道整數就是假分數，那么我們是否可以認為，任何一個正整數都可以寫成特殊的分數形式？引入負數以后，-也滿足分數的概念以及分數與除法的關系，換句話說，整數（零就寫成零分數）均可以寫成特殊的分數形式。那么，問題又來了，小學六年級下冊73頁對于小學階段學過的“數”進行了分類：

揣摩編者的意圖，應該是將小學學習的分數作為一類單獨的學習對象，著重強調分數表示整體或單位的一部分，而弱化了分數的表示形式。依筆者愚見，應該將小學所學的“數”進行如下分類：

這樣一來，讓學生感受到零的突出地位，并且將整個數域對稱分，展示了數學中的對稱美感。這樣既避免了分數表示形式的廣泛化，又不會對學生更高一級的學習產生沖突。

三、找次品的優化策略生成的“惑”與“獲”

“數學廣角《找次品》”是小學數學人教版五年級下冊的內容，旨在幫助學生利用數學思維更好地解決生活實際問題。一次聽課活動中，教師先講了利用天平稱重在3個物品中找1個次品的方法，而后延伸到在6個物品中找1個次品的方法。對于是將次品分為（2，2，2）還是分為（3，3），學生的討論陷入白熱化：

生A：我認為第一種分法更好，它最大的優點在于第一次稱完，只剩下兩個物品了，再稱一次就能找出次品。

生B：我覺得第二種方法更好，它在稱第二次的時候剩下三個，這樣一來，我們就轉化成研究3個的問題，這個問題剛剛研究過，輕車熟路。

生C：其實我覺得兩種方法差不多，如果次品總數是3的倍數，那么就平均分成3份，如果是2的倍數，就平均分成2份，6是2和3的公倍數，所以兩種方法都好。

于是學生們就分成三派進行舌戰。生A、生B爭論的焦點是稱第二次時，次品是在2個中選，還是在3個中選的問題，也就是在討論找出次品的“可能性”問題，這樣就將問題深入并遷移到“可能性”。然而這一知識點存在于學生的知識結構之中，在喚醒學生的元認知的同時，還加深對“可能性”知識點的理解。即：在兩個中選，找到次品的可能性（概率）就是1∕2，在三個中找，次品的可能性（概率）就是1∕3，那么目前可以得出（2，2，2）分法更優一些。

但是對于整個找次品的過程，這個優勢還在嗎？這個時候可以提示在第一次稱時，找到“次品組”的可能性，（2，2，2）分法是在三組里面挑兩組放在天平上稱，可能性為1∕3；但是（3，3）卻是在兩組里面挑，可能性為1∕2。

綜合兩次稱量，（2，2，2）的優勢在第二次稱量，（3，3）卻是在第一次稱量，所以結論就是：在可能性方面，兩種方法勢均力敵。

數學中的轉化思想是解決數學問題的重要思想。生B巧妙地利用了這一點，在解決在6個物品中找1個次品的問題時，通過第一次稱量巧妙地將問題轉化成已經解決的問題，也就是數學教學中的“同化”作用。生C的閃光點在于綜合了生A與生B的方法，尋找到“通法”，先不說方法的使用范圍，而是將公倍數的概念引用至此。

（作者單位：保康縣城關鎮小學）

實習編輯孫愛蓉

責任編輯 姜楚華