計算極限題的若干技巧和方法

李長民

天津商務職業學院，天津300350

本文給出的這些方法有些是作者閱讀高等數學書籍[1-12]獲得的簡明方法，有些是作者在多年的教學和科研中深入鉆研的結果，其中的二重積分法解極限題則是在一般的高等數學書、數學分析、考研數學書和數學競賽書籍上都見不到的方法，是作者在閱讀一些數學大師的文集和有關極限論文[13-17]后體會到的意外收獲。本文將從方程法、一重積分法、二重積分法、羅必塔法則、等價無窮小代換法、帶佩亞諾余項的泰勒公式法等入手，通過重點例題和典型實例進行歸納總結。

一、方程法

利用方程法計算有些數列極限的題目，可以簡化解題過程，大大降低解題的難度。

解法2：利用方程法進行創新求解。

二、用一重積分法計算極限

利用一重積分法計算極限題目是常用的求數列極限的方法，其做法是把數列的極限題目轉變為一重定積分進行計算，這樣能夠簡便、快速的得到結果。

三、用二重積分法計算極限

用二重積分法求極限的問題較少看到，其做法是把數列的極限題目轉變為二重定積分進行計算，下面的例子說明用二重積分法求極限題是相當簡便、有效的好方法。

四、乘“1”法

有些極限題目通過乘以等于“1”的式子，可以使較復雜的式子得以簡化，然后我們可以簡便的求出極限。

解：原式

五、拆項求和法計算極限

將待求的式子通過各項的拆分相加來消除中間的大多數項，把式子簡化后即可方便的求出極限。這種使用待定系數法來拆分簡化和式求極限的方法，多用于數列極限題目的計算，一般的計算步驟是“先拆項求和，再取極限”。

六、利用洛比達法則求極限

應該注意，洛比達法則并不是總可以使用，如下例。

正確做法如下：

六、利用等價無窮小代換計算極限

七、利用帶佩亞諾余項的泰勒公式求極限

通常我們把用高階無窮小表示余項Rn（x）的泰勒公式稱為帶佩亞諾（Peano）余項的泰勒公式，其數學表達式見公式（1）。

特別是，當x0=0時，泰勒公式稱為麥克勞林（Maclaurin）公式，應用這種特殊形式的帶佩亞諾余項的泰勒公式求當x→0時某些函數的極限，可以大大簡化解題過程、降低解題難度。其數學表達式見公式（2）。

常用的帶佩亞諾余項的泰勒展開式有如下6個：

分析：此式分子中含有帶根號的項，用洛比達法則也可以求解，不過比較繁瑣。若使用泰勒公式求解，可以將問題大大簡化。

通過上面幾個例子，可以看出利用帶佩亞諾余項的泰勒公式求某些函數的極限具有簡潔、方便、高效的效果。它不像用羅必塔法則求極限有時需要用多次，而用泰勒公式則可以一步到位，只要觀察出分子、分母無窮小的階數就可以求出結果。

八、極限問題的實際應用舉例

例19.計算第二宇宙速度 （指物體脫離地球引力、在太陽系運行所具有的速度）。

解：設地球質量為M，物體質量為m，地球半徑R=6.370×106米，地心為原點，將物體發射到離地面高度為h時所做的功為：

要使物體脫離地球引力場，即把物體發射到無窮遠處，這相當于h→∞，因而做功總量為：

結束語：本文從多方面分析了求解極限題目的方法技巧，有些技巧和方法應用很廣，在高等數學的學習中，只要我們能夠靈活地運用這些解題技巧，積極思考每一種解題的方法和應用范圍，認真總結解題規律，靈活巧妙地應用求極限的各種技巧，就能有效地計算極限題目。

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