與時俱進之基礎引領統計與概率考查新趨勢*

☉江蘇省揚州市廣陵區教育局教研室 石樹偉

與時俱進之基礎引領統計與概率考查新趨勢*

☉江蘇省揚州市廣陵區教育局教研室 石樹偉

一、統計與概率領域必備基礎在與時俱進

九年義務教育屬于基礎教育．隨著時代的發展，“基礎”在不斷發生著變化，數學基礎也不例外．在統計與概率領域學生必備基礎的與時俱進主要體現在以下兩個方面.

1．統計與概率領域必備基礎的內涵在與時俱進

時代發展日新月異，數學基礎的內涵也在與時俱進．清末民初時，打得一手好算盤、簡單的口算速算是一個學生必備的數學基礎；解放后學習蘇聯，在“數學=邏輯”的主導思想下，邏輯思維能力是學生重要的數學基礎；進入21世紀，投資理財、抽獎中獎、大數據決策等都呈現在世人面前，數據估算、統計意識、計算機應用等應成為新時代公民必備的新數學基礎．［1］

過去的統計學習主要以統計計算和圖表制作為主．隨著科技的發展，這些工作逐步被計算機（器）所替代，概率分析與統計決策成為現代公民工作生活必備的數學基礎，義務教育階段數學課程將過去的“統計初步”提升為四大學習領域之一的“統計與概率”領域．

2．統計與概率領域必備基礎的外延在與時俱進

時代發展對人才培養的要求不斷提升，數學基礎的外延也在與時俱進．作為中國數學教育優良傳統的數學雙基教學如果插上創新應用的翅膀，中國的數學教育將會真正領先于世界．為此，《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準（2011年版）》）在課程目標中提出，通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗．［2］將傳統“雙基”擴充為“四基”，數學基礎的外延得到擴展．

在統計與概率領域，統計知識和技能的掌握是需要的，但以其為載體的統計意識和數據分析觀念更重要，是義務教育階段學生必備的新基礎．

二、順應基礎發展的統計與概率考查呈現新趨勢

隨著統計與概率領域學生必備基礎的發展，與過去的“統計初步”相比，統計與概率領域不僅內容和課時顯著增加，學習要求、學業考查也與時俱進呈現新趨勢．

1．知識考查重現實意義理解

統計與概率領域概念多，過去的考查注重概念的記憶和應用概念進行計算．隨著計算機（器）進入數學課堂和生活應用，概念的記憶和應用概念進行計算不再是必備基礎，考查也與時俱進，概念現實意義的理解和應用正在成為考查的重點．

例1概念理解考查范例（選擇題）.

（1）下列說法中不正確的是（）．

A.要了解一批燈泡的使用壽命，采用抽樣調查的方式

B.池塘的平均水深為1.2米，身高1.6米的水牛走進池塘可能會被淹沒

C.若甲組數據的方差s2甲=0.05，乙組數據的方差s2乙= 0.1，則甲組數據要比乙組數據穩定

D.一個游戲的中獎率是1%，則做100次這樣的游戲一定會中獎

（2）一位運動鞋經銷商抽樣調查了9位七年級學生的鞋號，號碼分別為（單位：cm）：24，22，21，24，23，25，24，23，24，經銷商最感興趣的是這組數據的（）．

A.中位數B.眾數C.平均數D.方差

（3）有十五位同學參加大運河申遺知識競賽，且他們的分數互不相同，取八位同學進入決賽，某同學知道了自己的分數后，還需知道這十五位同學的分數的（），就能判斷他能不能進入決賽．

A.平均數B.眾數C.中位數D.最高分數

評注：本例三個小題均沒有要求學生計算相關統計量或概率，而是考查學生對統計與概率相關概念及其現實意義的理解，涉及的抽樣調查、平均數、眾數、中位數、方差、概率均為初中階段統計與概率領域的核心概念．本例為統計與概率如何有效進行概念考查提供了示范．

2．技能考查重結果分析應用

對統計計算和統計圖表制作的考查，過去是為了計算而計算、為了制作而制作．隨著現代科技的發展，統計計算和圖表制作的工作將越來越多地由計算機完成，統計結果的分析應用取代統計計算和圖表制作成為學生必備基礎．因此，在有關技能考查中，統計計算和圖表制作不應是考查的重點所在，而應更多地關注學生基于統計量計算基礎上應用統計結果做出判斷和決策等，更多地關注對于統計計算和圖表制作原理的理解，以及圖表信息的提取、圖表的特點和選用等；概率計算無需復雜，關鍵在于對概率分析原理和概率現實意義的理解.

例2統計圖表考查范例（2013年江蘇南通模擬卷）.

某校學生會采用隨機抽樣的方式調查九年級同學每天（除課間操外）的課外鍛煉時間，繪制出如圖1所示的條形統計圖和如圖2所示的扇形統計圖.

圖1

圖2

（1）請求出圖1中每天課外鍛煉時間約10分鐘的人數，并將圖1和圖2補充完整；（注：圖2中相鄰兩虛線形成的圓心角為30°）

（2）若該校九年級共有240名同學，請你估計其中每天（除課間操外）課外鍛煉時間不大于20分鐘的人數，并根據調查情況向學生會提出一條建議.

評注：本例通過一個實際問題向學生呈現“數據收集→數據表示→數據分析→判斷決策”的統計活動全過程，重點在于統計圖表制作原理的考查，以及用樣本去估計總體的推理思想．題目呈現的是兩幅不完整的統計圖表，首先，需要學生善于從中提取有用信息進行推理計算，其次，讓學生在前面推理計算的基礎上補充完整統計圖表，既考查了圖表信息的提取和應用，又考查了學生對圖表制作原理的理解及圖表繪制的技能，同時工作量又不是很大，這不失為統計圖表考查的一種切實可行的辦法．本例為統計圖表的考查提供了一個示范．

例3概率計算考查范例（2007年江蘇揚州卷）.

端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗．五月初五早上，奶奶為小明準備了四只粽子：一只肉餡，一只香腸餡，兩只紅棗餡，四只粽子除內部餡料不同外其他均相同．小明喜歡吃紅棗餡的粽子．

（1）請你用樹狀圖為小明預測一下吃兩只粽子剛好都是紅棗餡的概率；

圖3

（2）在吃粽子之前，小明準備用一枚均勻的正四面體骰子（如圖3所示）進行吃粽子的模擬試驗，規定：擲得點數1向上代表肉餡，點數2向上代表香腸餡，點數3、4向上代表紅棗餡，連續拋擲這個骰子兩次表示隨機吃兩只粽子，從而估計吃兩只粽子剛好都是紅棗餡的概率．你認為這樣模擬正確嗎？試說明理由．

評注：本例考查了學生應用列舉法分析預測概率這一核心技能，關注學生利用概率知識解決實際問題的意識和能力．本例的教學價值有兩點：一是幫助學生在具體的問題情境中辨別區分兩種常見模型——不可重復事件和可重復事件，可通俗地理解為“無放回再摸模型”和“有放回再摸模型”，有助于學生理解掌握概率預測的原理；二是澄清一個易錯點，就是古典概型的概率都是等可能條件下的概率.問題（1）中畫樹狀圖時吃第一個粽子切忌誤認為只有三種情況：肉粽、腸粽、棗粽，因為它們不是等可能事件，應有四種情況：肉粽、腸粽、棗粽1、棗粽2．

3．思想考查重數據分析觀念

數學基本思想是《標準（2011年版）》新增課程目標之一，是與時俱進的新基礎．在統計與概率領域，基本思想的考查應注重考查學生的數據分析觀念，包括：了解在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，通過分析做出判斷，體會數據中蘊含的信息；了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法；通過數據分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數據可能不同，另一方面只要有足夠的數據就可能從中發現規律．［2］

例4數據分析觀念和統計量考查范例（2014年江蘇揚州模擬卷）.

某市實行中考改革，需要根據該市中學生體能的實際狀況重新制定中考體育標準.為此抽取了50名初中畢業的女學生進行一分鐘仰臥起坐個數測試，測試情況繪制成表格如下：

（1）求這次抽樣測試數據的平均數、眾數和中位數；

（2）在平均數、眾數和中位數中，你認為用哪一個統計量作為該市中考女生一分鐘仰臥起坐項目測試的合格標準次數較為合適？簡要說明理由．

評注：本例通過學生都很熟悉的中考體育標準制定問題，滲透數據分析觀念，考查常用統計量的概念理解、計算和應用，背景公平．需要說明的是，這里的計算是為了應用的計算．本例的教學價值如下：

一是澄清兩個易錯點，有助于學生正確理解常用統計量的概念．第（1）題通過圖表形式呈現加權數據，其統計量的計算容易發生兩種錯誤：①混淆數據和數據的權，找眾數時學生容易把一組數據中出現次數最多的數據的權數當作眾數，如本題容易誤將“17人”當作眾數；②混淆數據的種類和數據的個數，計算中位數時學生容易把數據的種類數當作數據的個數去尋找中位數，忽視了權數，如本題以表格形式呈現了11種成績數據，容易誤將大小排序后的第6種成績數據“25個”作為中位數．

二是有助于學生形成數據分析觀念．第（2）題考查實際情境中統計量的選擇使用，重新制定中考體育標準需要進行調查研究，統計計算不是最終目的，最終目的是利用統計計算的結果去做出推斷和決策，讓學生體會數據統計的意義和作用，養成數據分析觀念．

4．經驗考查重現場體驗感悟

同基本思想一樣，數學基本活動經驗也是《標準（2011年版）》新增課程目標之一，是與時俱進的新基礎．在統計與概率領域，基本活動經驗的考查應為學生提供參與現場統計活動的機會，在活動（包括實踐活動和思維活動）中積累活動經驗，評分標準的設計應開放多元，鼓勵學生自由表達自己的體會和見解．

例5統計活動經驗考查范例（2014年江蘇義務教育質量監測卷改編）.

有關部門從甲、乙兩個城市所有的自動售貨機中分別隨機抽取了16臺，記錄下某一天各自的銷售情況（單位：元）：

甲：18，8，10，43，5，30，10，22，6，27，25，58，14，18，30，41

乙：22，31，32，42，20，27，48，23，38，43，12，34，18，10，34，23

小強用如圖4所示的方法表示甲城市16臺自動售貨機的銷售情況．

（1）請你仿照小強的方法將乙城市16臺自動售貨機的銷售情況表示出來；

圖4

（3）請說出此種表示方法的優點．

評注：本例為創新考查統計學習活動及基本活動經驗提供了一個示范．第（1）題通過示例讓學生現場學習并體驗制作“莖葉圖”，考查了學生的現場學習能力；制作莖葉圖是為了應用.第（2）題通過莖葉圖數據分布情況進行統計量大小比較的估計活動，有效考查學生是否真正理解平均數和方差的概念及意義，而不是能否準確記憶公式并正確計算.第（3）題通過前面的統計活動讓學生體會莖葉圖的作用，有效考查學生對基本活動經驗的積累情況．

三、必備新基礎與考查新趨勢對統計與概率教學的啟示

1．經歷統計過程，發展數據分析觀念

觀念是不能灌輸的，只有在活動中潛移默化的養成．統計學習的核心必備基礎是數據分析觀念的形成，數據分析觀念絕非等同于計算作圖等簡單技能，而是統計意識、信息感、數據感及隨機觀念．教學中應多提供一些能讓學生經歷統計活動過程的機會，引導學生從統計的角度思考與數據有關的問題，突出統計對決策的作用，不應讓計算統計量、畫統計圖表等內容占據學生過多的時間（如例2、例4）．

2．嘗試問題解決，提升統計應用能力

統計與概率的知識和方法的學習要盡可能地融于解決實際問題的活動中．統計與概率的內容具有非常豐富的實際背景，在現實世界中有著廣泛的應用，學習統計與概率時應從報刊雜志、電視廣播、網絡信息或學生的生活實際等多種渠道充分挖掘適合學生學習的材料（如本文范例），通過選擇現實情境中的數據、解決現實情境中的問題，使學生理解概念、原理的實際意義，激發學習興趣，提升統計應用能力．

3．提供討論機會，形成開放正確認識

教學中要為學生提供就概念模糊認識或數據展開充分討論的機會．對模糊認識，如例1中對概念現實意義的理解、例3中兩種概率模型的區別、例4中計算表格形式呈現數據的統計量都可以先讓學生充分討論甚至辯論；對數據，如例4、例5中的數據可以提出一些問題引發學生思考討論：數據呈現什么趨勢？能從這些數據中得到什么結論和推斷？既要能從數據中獲得盡可能多的有用信息，還要保持理智的心態，對數據的來源、收集數據的方法、數據的呈現方式、由此得出的結論進行合理的質疑，體會在分析數據的活動中沒有絕對正確的方法和答案．“真理只會越辯越明”，通過討論，認識會更加透徹，印象會更加深刻．

1.張奠宙，趙小平．“與時俱進”話“雙基”［J］．數學教學，2001（5）．

2.中華人民共和國教育部制定．義務教育數學課程標準（2011年版）［M］．北京：北京師范大學出版社，2012．H

*本文系單位科研基金“廣陵基礎教育行動創新與理論探索”項目資助、自主課題“本色數學教育主張的理論與實踐研究”的成果之一．