“一元二次方程”常見(jiàn)錯(cuò)解原因分析及教學(xué)建議

柴國(guó)棟

【關(guān)鍵詞】《一元二次方程》 常見(jiàn)錯(cuò)解 原因分析 教學(xué)建議

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2015）10A-0084-02

《一元二次方程》是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重要的內(nèi)容，也是重要的考點(diǎn)。但我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)在學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)時(shí)，有些學(xué)生由于對(duì)一元二次方程概念所隱含的條件和實(shí)質(zhì)沒(méi)有充分認(rèn)識(shí)、理解和把握，導(dǎo)致思維出現(xiàn)偏差，理解錯(cuò)誤，進(jìn)而在運(yùn)用它來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)常會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤。現(xiàn)從一元二次方程概念的理解掌握以及解一元二次方程出現(xiàn)的常見(jiàn)錯(cuò)誤，并對(duì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因進(jìn)行分析，以期幫助學(xué)生提高對(duì)相關(guān)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解，培養(yǎng)其思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性和敏捷性，提升其解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

從定義上看，一元二次方程必須滿足三個(gè)基本要點(diǎn)，即“一元”“二次”“整式”，但是在這個(gè)定義中其實(shí)隱含了一個(gè)非常重要的前提——“經(jīng)過(guò)去分母、去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)等一系列化簡(jiǎn)、整理后”，再充分體現(xiàn)出“一元”“二次”“整式”的三個(gè)基本要求，這是我們判斷是否為一元二次方程的根本依據(jù)，必須予以足夠重視。

一、一元二次方程及相關(guān)概念理解中常見(jiàn)的錯(cuò)誤

（一）不能準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)和理解一元二次方程概念，導(dǎo)致錯(cuò)誤出現(xiàn)

例1.判斷下列方程中，是一元二次方程的是____________.

①x3-2x2+5=0；②x2=-1；③5x2-2x=x2；④5x2-6y-3=0；⑤x2-2x=x2+1；⑥2x3-x2=2x3+1；⑦x2+=2；⑧=x2-1

錯(cuò)解：答案中多了⑤⑦⑧，或少了②⑥.

錯(cuò)因分析：顯然⑦⑧都不符合題意，⑤似是而非，同樣⑥似非而是，應(yīng)注意“整理后”這一前提，再判斷是否為一元二次方程，也有部分學(xué)生認(rèn)為②無(wú)意義，不是一元二次方程，這又混淆了一元二次方程的概念和方程有無(wú)實(shí)根的概念。導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤的根本原因是概念理解不全面、不準(zhǔn)確，尤其是忽略了“一個(gè)前提”重要限制。

正解：②③⑥。

（二）對(duì)含有字母系數(shù)的一元二次方程，切不可忽視二次項(xiàng)系數(shù)不能為零的限制

例2.若（m-3）x|m-1|-2mx-1=0是關(guān)于x的一元二次方程，求m的值

錯(cuò)解：由題意可得|m-1|=2，∴m1=-1，m2=3即m的值為-1和3.

錯(cuò)因分析：忽視了一元二次方程概念中，強(qiáng)調(diào)未知數(shù)的最高次數(shù)是2這一要求，事實(shí)上當(dāng)m=3時(shí)，已知方程的最高次數(shù)是1，顯然不是一元二次方程。錯(cuò)誤的根本原因是概念的掌握不準(zhǔn)確，不到位，忽視了重要限制。

正解：由題意得：m-1=2

m-3≠0 ∴m=-1

（三）不可忽視了對(duì)一元二次方程一般式的這一重要概念的認(rèn)識(shí)和理解

例3.解方程x2-2x=12

錯(cuò)解：這里a=1，b=-2，c=12∴Δ=-44，故原方程無(wú)實(shí)數(shù)解.

錯(cuò)因分析：解法錯(cuò)誤就在沒(méi)有將方程化為一般形式，而盲目亂套用公式。我們知道無(wú)論是一元二次方程根的判別式，還是用公式法解一元二次方程，都要先得到a，b，c的值才能計(jì)算，而這三個(gè)值，必須先要將一元二次方程化為一般形式才能確定。錯(cuò)誤的根本原因是概念識(shí)記和理解不準(zhǔn)確，忽視了需先化為一般式這一前提條件。

正解：原方程可化為x2-2x-12=0，而a=1，b=-2，c=-12

可得Δ=52，∴x==1±∴原方程的解為x1=1+，x2=1-.

（四）因疏忽對(duì)“關(guān)于某一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程”的理解，導(dǎo)致錯(cuò)誤

例4.已知x2-2xy-5y2=0是關(guān)于x的一元二次方程，則一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是

錯(cuò)解：-2，-5.

錯(cuò)因分析：沒(méi)有對(duì)一元二次方程的定義進(jìn)行深刻理解，應(yīng)緊扣關(guān)于x的一元二次方程的定義，即說(shuō)明只有x這一個(gè)未知數(shù)，其他包括y的所有數(shù)都是已知數(shù)，所以一次項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該是-2y，常數(shù)項(xiàng)為-5y2。因此正解為-2y，-5y2。錯(cuò)誤的根本原因是概念的認(rèn)識(shí)不準(zhǔn)確、不全面，對(duì)一元二次方程中“一元”沒(méi)有足夠重視。

（五）利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系時(shí)，切莫忽視方程必須有根的前提

例5.小明同學(xué)設(shè)方程x2-2x+5=0的兩根是x1，x2，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）？

A.x1+x2=2 B.x1+x2=-2

C.x1x2=5 D.以上都不對(duì)

錯(cuò)解：選擇A或者C.

錯(cuò)因分析：利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，必須注意方程有根（即Δ≥0）這一前提條件，不可忽視前提生搬硬套公式，事實(shí)上此題Δ=-16<0，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，更不存在和差的值的多少。其錯(cuò)誤的根本原因是對(duì)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的概念的沒(méi)有全面理解，必須要注意方程存在根這一前提。

正解：選D.

二、解一元二次方程中常見(jiàn)的錯(cuò)誤及分析

（一）忽視了等式性質(zhì)3成立的條件，導(dǎo)致方程失根

例6.解一元二次方程3y（2y-1）=（y+2）（2y-1）

錯(cuò)解：方程兩邊除以得（2y-1），得3y=y+2∴y=1原方程的解是y=1.

錯(cuò)因分析：等式性質(zhì)3要求方程兩邊除以一個(gè)不等于零的整式，等式仍成立，但2y-1完全可以為零，導(dǎo)致方程失去一根。應(yīng)移項(xiàng)，提取公因式后求解。

正解：移項(xiàng)得3y（2y-1）-（y+2）（2y-1）=0∴（2y-1）（2y-2）=0

∴x1=，x2=1，所以原方程的解是x1=，x2=1.

（二）對(duì)一元二次方程表面形式形成了思維定勢(shì)，盲目利用，導(dǎo)致錯(cuò)誤

例7.已知關(guān)于x的方程（m2-1）x2-（m+1）x+m=0，試求此方程有意義的條件。

錯(cuò)解：由題意得，（m2-1）≠0時(shí)，即m≠±1.

錯(cuò)因分析：看到形如ax2+bx+c=0，由思維定勢(shì)的影響，錯(cuò)誤地認(rèn)為非一元二次方程莫屬，而忽視了一元一次方程定義的要求和需滿足的條件，因此應(yīng)分類(lèi)進(jìn)行討論。其錯(cuò)誤的根本原因是想當(dāng)然地認(rèn)為具備了一元二次方程的表面形式，就是一元二次方程，而忽視了一元一次方程的可能。

正解：有兩種情況

1.由題意得，當(dāng)m2

-1=0

m+1≠0時(shí)，即m=1時(shí)，已知方程是一元一次方程-2x+1=0.

2.由題意，當(dāng)（m2-1）≠0時(shí)，即m≠±1時(shí)，已知方程是一元二次方程.

三、忽視了隱含的條件，導(dǎo)致解決問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤

例8已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1和x2.（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）當(dāng)x12-x22=0時(shí)，求m的值.

錯(cuò)解：⑴由已知一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ=-4m+1≥0，∴m≤

當(dāng)x12-x22=0時(shí)，即（x1+x2）（x1-x2）=0，∴x1+x2=0或x1-x2=0.

當(dāng)x1+x2=0時(shí)，依據(jù)題意可得x1+x2=-（2m-1），∴-（2m-1）=0，∴m=

錯(cuò)因分析：（2）出現(xiàn)了錯(cuò)誤，所求m的值一定在一元二次方程有根的前提下才有意義，這也是本題的隱含條件，是學(xué)生常常容易忽略而出錯(cuò)的地方。其錯(cuò)誤的根本原因是對(duì)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的概念沒(méi)有全面、準(zhǔn)確的理解，必須要注意有根這一基本前提。

正解：應(yīng)在解（2）的基礎(chǔ)上，注意到已知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，m的取值范圍是m≤，∴m=不成立，故m無(wú)解；當(dāng)x1-x2=0時(shí)，x1=x2，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ=-4m+1∴m=，綜上所述，當(dāng)x12-x22=0時(shí)，m=.

四、對(duì)概念教學(xué)的反思和教學(xué)建議

上面案例中出現(xiàn)的常見(jiàn)錯(cuò)誤，雖然形式上各有千秋，原因迥然不同，但是根本原因歸結(jié)起來(lái)都是學(xué)生對(duì)基本數(shù)學(xué)概念理解不透徹，對(duì)鄰近的數(shù)學(xué)概念區(qū)分和辨別不清，對(duì)數(shù)學(xué)概念不能準(zhǔn)確把握，導(dǎo)致解題的失誤，這也是值得我們深思的。筆者認(rèn)為，造成這種結(jié)果的原因是多方面的，一方面有些教師對(duì)數(shù)學(xué)概念的重要性沒(méi)有足夠重視，在教學(xué)數(shù)學(xué)概念的過(guò)程中，直接陳述定義，并讓學(xué)生熟記，或者由于課堂時(shí)間的關(guān)系，教師直奔例題，無(wú)暇顧及講透概念，并試圖以練代講，但這并不能提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的深刻理解，只能讓學(xué)生的理解停留在表面，或一知半解，似是而非，沒(méi)有從根本上理解透概念的內(nèi)涵；另一方面由于學(xué)生被動(dòng)地接受知識(shí)，對(duì)死記硬背基本概念感到索然寡味，對(duì)概念的理解也只是機(jī)械、表象和零散的認(rèn)識(shí)，沒(méi)有透徹理解，只會(huì)模仿老師解決某些典型題目，一旦遇到新的背景、新的題目便無(wú)所適從，因而在數(shù)學(xué)新課標(biāo)實(shí)施的背景下，引導(dǎo)學(xué)生重視中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)是很有必要的。

數(shù)學(xué)概念是客觀對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間位置的本質(zhì)屬性的反映，也是提高數(shù)學(xué)解題能力的必要條件。因此，教師應(yīng)轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，高度重視對(duì)數(shù)學(xué)概念的講解，全面、系統(tǒng)地傳授給學(xué)生概念知識(shí)，幫助學(xué)生形成良好的概念網(wǎng)絡(luò)，力求把數(shù)學(xué)概念講清講透，并使講和練有機(jī)結(jié)合、鞏固提高、相得益彰，提高教學(xué)效率。

（責(zé)編 林 劍）