矩陣的秩的應(yīng)用

劉晶晶

（河北省承德市灤平縣第二小學(xué) 河北灤平 068250）

矩陣的秩的應(yīng)用

劉晶晶

（河北省承德市灤平縣第二小學(xué) 河北灤平 068250）

高等代數(shù)是門專業(yè)基礎(chǔ)課，線性代數(shù)占很大比重，矩陣作為線性代數(shù)的重要工具，把線性代數(shù)各章節(jié)貫穿成為一個(gè)整體。而矩陣的秩幾乎貫穿矩陣?yán)碚摰氖冀K，其有關(guān)理論是高等代數(shù)課程中極重要的內(nèi)容，在判斷矩陣是否可逆、判斷向量組的線性相關(guān)性、判斷線性方程組是否有解以及有多少解、求矩陣的特征值等方面都有著廣泛的應(yīng)用。說(shuō)到矩陣的秩就不能不提到向量組的秩，即向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，而極大無(wú)關(guān)組是一個(gè)向量組中的一組線性無(wú)關(guān)的向量，且向量組中任意的向量都可由這組線性無(wú)關(guān)的向量線性表出。我通過(guò)所學(xué)的知識(shí)，對(duì)矩陣的秩的應(yīng)用，特別是在向量的線性相關(guān)方面，做出一些總結(jié)和歸納。

矩陣的秩 向量組 向量組的秩 線性相關(guān)性 線性方程組

一、矩陣的秩在向量組的線性相關(guān)性中的應(yīng)用

1 定義：

則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱它線性無(wú)關(guān)。

2.判別方法：

對(duì)于n個(gè)n維向量構(gòu)成的向量組, 利用行列式進(jìn)行判別是一種比較便捷的方法.

推論1 n個(gè)n維向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)的充分必要條件是其做成的方陣的行列式等于零.

推論2 n個(gè)n維向量構(gòu)成的向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是這n個(gè)向量做成的方陣的行列式不等于零.

二、矩陣的秩在向量組的線性表示中的應(yīng)用

1.定義

?有矩陣K，使B=AK

?方程AX=B有解.

三、矩陣的秩在線性方程組中的應(yīng)用

1 定義 有了線性相關(guān)的判定和向量組的秩的概念，我們接下來(lái)討論矩陣的秩與線性方程組的關(guān)系.所謂線性方程組，其形式為：

2 非齊次線性方程組有解的判別

稱B為非齊次線性方程組（3.2）的增廣矩陣.

2.2 定理：設(shè)有非齊次線性方程組

解法1：對(duì)增廣矩陣B施行初等行變換變?yōu)樾须A梯型矩陣

由此我們得到以下結(jié)論：

[1] 張賢達(dá). 矩陣分析及應(yīng)用[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2004.

[2] 劉丁酋. 矩陣分析[M]. 武昌: 武漢大學(xué)出版社, 2003. 8.

[3] 林亨成, 陳群. 矩陣的初等變換在線性代數(shù)中的一些應(yīng)用[J]成都教育學(xué)報(bào)2006,91-92.

[4] 蘇芳，徐湛，成禮智.矩陣的秩在線性代數(shù)中的應(yīng)用[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，NO.27（2010），205.