GS算法在多輸入多輸出雷達(dá)信號(hào)集設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

GS算法在多輸入多輸出雷達(dá)信號(hào)集設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

杜曉林蘇濤

(西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西 西安 710071)

摘要為了高效地設(shè)計(jì)出性能良好的多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)雷達(dá)正交相位編碼信號(hào)集,提出一種改進(jìn)的Gerchberg-Saxton(GS)算法，將最小化信號(hào)集旁瓣能量的代價(jià)函數(shù)轉(zhuǎn)化為適合求解的極小化問(wèn)題;將原始GS算法擴(kuò)展至多維,并改進(jìn)其物面和頻譜面的約束條件,以適應(yīng)文中優(yōu)化問(wèn)題的求解;利用改進(jìn)的GS算法迭代優(yōu)化設(shè)計(jì)出信號(hào)集.仿真實(shí)驗(yàn)表明:該算法可以有效改善所得信號(hào)集的積分旁瓣和相關(guān)性能．

關(guān)鍵詞雷達(dá);信號(hào)處理;非周期相關(guān)函數(shù);Gerchberg-Saxton算法;信號(hào)集

中圖分類(lèi)號(hào)TN957

文獻(xiàn)標(biāo)志碼A

文章編號(hào)1005-0388(2015)04-0686-07

AbstractIn order to efficiently design good orthogonal phase coding signals for MIMO radar, an improved Gerchberg-Saxton(GS) algorithm is proposed. Firstly, a cost function minimizing the sidelobe energy of the signal set is constructed, and it is transformed into a easy-to-solve minimization problem. Then the original GS algorithm is extended to multi-dimensional form, and the object-domain and Fourier-domain constraints are improved accordingly for the optimization problem in this paper. Finally, the signal set is obtained by implementing the improved GS algorithm. Simulation results show that the proposed algorithm can improve the integrated sidelobes and the correlation property of the resulting waveform.

收稿日期：2014-08-23

作者簡(jiǎn)介

Signal sets design for MIMO radar via GS algorithm

DU XiaolinSU Tao

(NationalLaboratoryofRadarSignalProcessing,Xidian

University,Xi’anShaanxi710071,China)

Key wordsradar; signal processing; aperiodic correlation; Gerchberg-Saxton algorithm; signal sets

資助項(xiàng)目: 國(guó)家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金(61001204)； 中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)向資金(JY0000902020)

聯(lián)系人： 杜曉林 E-mail：duxiaolin168@163.com

引言

多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output, MIMO)雷達(dá)是一種新體制雷達(dá),其特點(diǎn)是具有多個(gè)發(fā)射天線和接收天線.天線陣列在布置上的靈活性以及發(fā)射單元發(fā)射波形的多樣性,使得MIMO雷達(dá)具有空間分集和波形分集能力.空間分集可以克服目標(biāo)的閃爍效應(yīng)從而提高雷達(dá)對(duì)目標(biāo)的探測(cè)性能;而波形分集可以提升雷達(dá)的目標(biāo)檢測(cè)、參數(shù)估計(jì)、目標(biāo)識(shí)別和跟蹤等性能.相比傳統(tǒng)的雷達(dá),MIMO雷達(dá)具有較大的優(yōu)勢(shì)[1-5].

為了抑制不同目標(biāo)回波的相互干擾以及從回波中提取獨(dú)立的目標(biāo)信息,MIMO雷達(dá)的發(fā)射信號(hào)一般采用正交信號(hào)集.文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]建立了極小化信號(hào)集旁瓣能量的代價(jià)函數(shù),分別采用混合模擬退火算法和混合遺傳算法設(shè)計(jì)了非周期相關(guān)性較好的正交信號(hào)集,但是由于算法本身的限制,非周期自相關(guān)峰值旁瓣(Autocorrelation Sidelobe Peak, ASP)、非周期互相關(guān)峰值(Crosscorrelation Peak, CP)和積分旁瓣比(Integrated Sidelobe Ratio, ISR)仍然較高;文獻(xiàn)[8]以極小化包含多普勒信息的信號(hào)集峰值旁瓣電平函數(shù)作為準(zhǔn)則,利用自適應(yīng)克隆選擇算法設(shè)計(jì)了一組具有較好多普勒容忍性的信號(hào)集,但其非周期相關(guān)性和積分旁瓣比并沒(méi)有得到改善.此外,文獻(xiàn)[6-8]所用算法的復(fù)雜度較大,所得信號(hào)集的碼長(zhǎng)受到了一定限制,計(jì)算存儲(chǔ)量較大,且求解信號(hào)集所需的時(shí)間較長(zhǎng).

針對(duì)上述問(wèn)題,本文將改進(jìn)的Gerchberg-Saxton(GS)算法[9-13]應(yīng)用在MIMO雷達(dá)正交相位編碼信號(hào)集設(shè)計(jì)中.建立最小化信號(hào)集旁瓣能量的代價(jià)函數(shù),并將其轉(zhuǎn)化為適合求解的極小化問(wèn)題;將原始GS算法擴(kuò)展至多維,并改進(jìn)其物面和頻譜面的約束條件,以適應(yīng)本文優(yōu)化問(wèn)題的求解;最后利用改進(jìn)的GS算法迭代優(yōu)化設(shè)計(jì)出信號(hào)集.

1問(wèn)題描述

假定一個(gè)MIMO雷達(dá)系統(tǒng)具有M個(gè)發(fā)射天線,每個(gè)天線發(fā)射碼長(zhǎng)為N的相位編碼信號(hào).信號(hào)集可以表示為

S=[s1,s2,…,sM]N×M=[y1,y2,…,yN]Τ.

(1)

式中:(·)T表示轉(zhuǎn)置; sm=[sm(1),sm(2),…,sm(N)]T是第m個(gè)天線的發(fā)射信號(hào),yn=[s1(n),s2(n),…,sM(n)]T為M個(gè)天線發(fā)射信號(hào)的第n個(gè)碼元,sm(n)=ejφm(n) ,相位φm(n)的取值范圍是0≤φm(n)≤2π[6-8].

sm1(n)與sm2(n)的非周期互相關(guān)函數(shù)定義為

k=0,…,N-1.

(2)

式中,(·)*表示復(fù)共軛.當(dāng)m1=m2時(shí),式(2)變?yōu)閟m1(n)的非周期自相關(guān)函數(shù)[6-8].

進(jìn)而M×M維的信號(hào)協(xié)方差矩陣可表示為

(3)

式中,(·)H表示復(fù)共軛轉(zhuǎn)置.

完全正交的信號(hào)集需滿足如下條件

(4)

式中, I為M×M維的單位矩陣.

為了設(shè)計(jì)正交信號(hào)集,建立最小化信號(hào)集相關(guān)旁瓣能量的代價(jià)函數(shù)[6-7]為

(5)

式中下標(biāo)F表示矩陣的F范數(shù).本文要解決的問(wèn)題就是通過(guò)極小化式(5)中的代價(jià)函數(shù),得到正交相位編碼信號(hào)集S.

2基于GS算法的正交相位編碼信號(hào)設(shè)計(jì)

2.1代價(jià)函數(shù)的轉(zhuǎn)化

由于式(5)中的代價(jià)函數(shù)是關(guān)于變量S的4次函數(shù),利用優(yōu)化算法求解高次的極小化問(wèn)題較為復(fù)雜,故本文將代價(jià)函數(shù)先轉(zhuǎn)換成頻域內(nèi)的等價(jià)形式,經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn),最終轉(zhuǎn)化為較容易求解的2次形式.

(6)

由式(4)和式(6)可得

E=0?S(ω)=I .

(7)

即代價(jià)函數(shù)E=0與S(ω)=I是等價(jià)的.

式(5)可以轉(zhuǎn)化為頻域內(nèi)的等價(jià)形式為

(8)

(9)

式中下標(biāo)2表示向量的2范數(shù).為了化簡(jiǎn)代價(jià)函數(shù)ε,首先求式(9)關(guān)于z(ωk)的解.忽略與變量無(wú)關(guān)的常數(shù)可得

(10)

s.t. |sm(n)|=1,m=1,…,M,n=1,…,N;

‖ak‖2=1,k=1,…,2N.

(11)

可以看出式(11)中的極小化函數(shù)為變量S的2次函數(shù).

(12)

2.2改進(jìn)的GS算法求解極小化問(wèn)題

針對(duì)式(11)和式(12)中的極小化問(wèn)題,利用改進(jìn)的GS算法進(jìn)行求解.對(duì)原始GS算法進(jìn)行概述,闡述改進(jìn)的GS算法對(duì)本文問(wèn)題的求解過(guò)程.

GS算法是一種較為著名的相位恢復(fù)算法.相位恢復(fù)是一種由可測(cè)量的光場(chǎng)振幅或強(qiáng)度確定光場(chǎng)相位分布的方法[9-13].該算法的核心思想是在物面(輸入面)和頻譜面(輸出面)之間交替進(jìn)行傅里葉變換,并分別在兩個(gè)平面上施加已知的約束限制條件,最大限度地恢復(fù)物面上的相位分布.GS算法具有收斂速度快、設(shè)計(jì)靈活、通用性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn).算法原理流程圖如圖1所示[9-10].

圖1　GS算法原理框圖

按照?qǐng)D1所示的步驟進(jìn)行迭代,若結(jié)果滿足收斂準(zhǔn)則,則迭代過(guò)程結(jié)束,否則下一次迭代繼續(xù)進(jìn)行,直到滿足收斂準(zhǔn)則為止.輸出的圖像為所預(yù)先設(shè)定的輸出振幅圖像,而在輸入平面上最終迭代所得的相位信息φ即為所需的相位分布.

原始GS算法是物面和頻譜面的一維變換,而本文中的極小化問(wèn)題是多維的,故先將GS算法擴(kuò)展至多維,并將其物面和頻譜面的約束條件進(jìn)行改進(jìn),以適應(yīng)本文優(yōu)化問(wèn)題的求解.

對(duì)式(11)的求解過(guò)程可以分為以下四個(gè)迭代步驟:

1) 求頻譜面輸出函數(shù)Q′

原始GS算法是針對(duì)一維的物面和頻譜面的波函數(shù)進(jìn)行交替傅里葉變換和傅里葉逆變換,從而實(shí)現(xiàn)相位的恢復(fù).而針對(duì)式(11)中的問(wèn)題,所求發(fā)射信號(hào)集S是N×M維形式的矩陣,如果利用GS算法求解該問(wèn)題,須首先將其擴(kuò)展至多維.

2) 頻譜面的幅度約束

(13)

則有

(14)

由式(13)和式(14)得,式(11)中‖ak‖2=1的約束條件成立.從式(14)還可以看出,頻譜面的幅度約束區(qū)別于原始GS算法簡(jiǎn)單的幅度代入操作,通過(guò)限定不同DFT通道系數(shù)的平方和為1使優(yōu)化問(wèn)題中的約束條件成立,改進(jìn)的約束條件更適合求解本文問(wèn)題.

3) 求物面輸入函數(shù)S′

對(duì)頻譜面函數(shù)Q(Q=[a1,a2,…,a2N]T)的每一列進(jìn)行逆離散傅里葉變換(Inverse Discrete Fourier Transfomr, IDFT),即DHQ,可得物面輸入函數(shù)S′.注意到,此步驟中的IDFT同步驟1中的DFT均為M維運(yùn)算.

4) 物面的幅度約束

S=J⊙exp(jarg(S′)).

(15)

式中,⊙表示Hadamard積.

按照步驟1)到4)進(jìn)行迭代操作,直到兩次迭代之間的誤差小于預(yù)定值ε為

‖S(i)-S(i+1)‖F(xiàn)<ε.

(16)

式中,S(i)為第i次迭代所得信號(hào)集.

綜上所述,算法的流程圖如圖2所示.

圖2　本文算法的流程圖

3仿真實(shí)驗(yàn)

3.1性能指標(biāo)

為了分析本文信號(hào)集的性能,給出信號(hào)集的ASP、CP和ISR[14-16]的定義

由式(2)給出信號(hào)集M個(gè)ASP的定義

(17)

其平均值描述了整個(gè)信號(hào)集的脈沖壓縮性能.并且定義信號(hào)集M(M-1)/2個(gè)CP為

max|(rm1,m2(n))/N|,

m1≠m2,m1,m2=1,…,M.

(18)

其平均值代表了信號(hào)之間的相互干擾程度.

信號(hào)集的ISR定義為信號(hào)集的積分旁瓣電平(Integrated Sidelobe Level, ISL)[15-16]與其主瓣能量的比值,即

(19)

3.2性能分析

本文算法的DFT和IDFT操作是基于快速傅里葉變換和逆快速傅里葉變換完成,故算法的復(fù)雜度較低,優(yōu)化耗時(shí)較短,當(dāng)信號(hào)集的碼長(zhǎng)較長(zhǎng)時(shí)仍然適用,如N～104.而文獻(xiàn)[6]所用模擬退火和貪心算法的組合算法、文獻(xiàn)[7]所用遺傳算法和貪心算法的組合算法以及文獻(xiàn)[8]所用自適應(yīng)克隆選擇算法的復(fù)雜度都較高,優(yōu)化耗時(shí)較長(zhǎng),計(jì)算存儲(chǔ)量較大,僅適用于信號(hào)集碼長(zhǎng)較短的情況.

在諸如合成孔徑雷達(dá)成像等應(yīng)用中,發(fā)射信號(hào)的序列長(zhǎng)度較長(zhǎng).而文獻(xiàn)[6-8]算法無(wú)法產(chǎn)生碼長(zhǎng)較長(zhǎng)的信號(hào)集,故對(duì)于碼長(zhǎng)較長(zhǎng)的信號(hào)集,通過(guò)隨機(jī)相位序列和無(wú)線通信系統(tǒng)中常用的正交Hadamard序列與本文序列進(jìn)行對(duì)比,來(lái)說(shuō)明其先進(jìn)性[17].雖然正交Hadamard序列的產(chǎn)生方法簡(jiǎn)單,但是正交性卻很好,它在通信領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用.利用偽隨機(jī)噪聲序列對(duì)正交Hadamard序列進(jìn)行擾碼操作,進(jìn)一步降低了正交Hadamard序列的相關(guān)旁瓣.圖3、圖4和圖5分別給出了本文序列和Hadamard序列以及隨機(jī)相位序列的平均ASP、平均CP和ISR的對(duì)比(M=3, N=256,512,…,819 2).由圖3、圖4和圖5可以看出,對(duì)于碼長(zhǎng)較長(zhǎng)的情形,本文算法所得信號(hào)集的平均ASP、平均CP和ISR比Hadamard序列和隨機(jī)相位序列要好.

圖3　平均ASP的對(duì)比

圖4　平均CP的對(duì)比

圖5　ISR的對(duì)比

對(duì)于碼長(zhǎng)較短的信號(hào)集的性能分析,選取大小為M=3, N=128的信號(hào)集進(jìn)行對(duì)比.表1給出了本文與文獻(xiàn)[6-8]中信號(hào)集的平均ASP、平均CP和ISR的對(duì)比.其中數(shù)據(jù)為100次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)的最好結(jié)果,而文獻(xiàn)[6-8]數(shù)據(jù)為對(duì)應(yīng)文獻(xiàn)中所列出的最好結(jié)果.由表1可得信號(hào)集的平均ASP、平均CP和ISR均優(yōu)于文獻(xiàn)[6-8],這表明信號(hào)集的正交性能較好,相關(guān)函數(shù)的峰值旁瓣較低,而且信號(hào)集的相關(guān)旁瓣能量較小,有利于接收端的匹配濾波處理.這也同時(shí)驗(yàn)證了本算法的有效性.

算法的執(zhí)行效率也是衡量算法優(yōu)劣的一個(gè)重要指標(biāo).表2給出了本文算法和文獻(xiàn)[6-8]算法的執(zhí)行時(shí)間對(duì)比.表2所得時(shí)間均為信號(hào)集大小為M=3, N=128時(shí),執(zhí)行10次算法所需時(shí)間的平均值.為了使算法執(zhí)行時(shí)間對(duì)比具有說(shuō)服力,僅列出時(shí)間的數(shù)量級(jí)(計(jì)算機(jī)硬件條件為:Pentium(R)雙核處理器,主頻是2.50GHz,內(nèi)存2GB.采用Matlab語(yǔ)言編寫(xiě)程序).由表2可得,本文算法在執(zhí)行效率上較文獻(xiàn)[6-8]算法具有一定的優(yōu)勢(shì),這為信號(hào)集的在線設(shè)計(jì)提供了可靠的保障.

表1　本文與文獻(xiàn)[6-8]信號(hào)集平均ASP、

表2　本文算法與文獻(xiàn)[6-8]算法的執(zhí)行時(shí)間對(duì)比

文獻(xiàn)[18]推導(dǎo)了陣元數(shù)為M,碼長(zhǎng)為N的信號(hào)集的ISL下界為

ISL≥N2M(M-1)=BISL

(20)

表3給出了信號(hào)集和隨機(jī)相位序列的ISL與ISL下界的比較.由表3得,對(duì)于不同大小的信號(hào)集,信號(hào)集的ISL均接近于ISL的下界,而隨機(jī)相位序列的ISL則遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于ISL的下界.

表3　本文信號(hào)集和隨機(jī)相位序列的

當(dāng)陣元數(shù)M設(shè)定為1時(shí),信號(hào)集變?yōu)閱蝹€(gè)序列.利用算法設(shè)計(jì)正交信號(hào)集的問(wèn)題就變?yōu)樵O(shè)計(jì)性能良好的單個(gè)序列的問(wèn)題,即需要設(shè)計(jì)自相關(guān)峰值旁瓣電平和積分旁瓣電平均較低的單個(gè)序列.圖6和圖7分別給出了執(zhí)行一次算法所得單個(gè)序列與m序列、p4序列和隨機(jī)相位序列的自相關(guān)峰值旁瓣電平和積分旁瓣電平的對(duì)比.由圖6和圖7得,本文序列比m序列、p4序列和隨機(jī)相位序列的自相關(guān)峰值旁瓣電平和積分旁瓣電平要低,隨機(jī)相位序列的自相關(guān)峰值旁瓣電平和積分旁瓣電平最高,p4序列比m序列的要低.而且,隨著碼長(zhǎng)的增加,所有序列的自相關(guān)峰值旁瓣電平逐漸減小,積分旁瓣電平逐漸增大.

圖8給出了碼長(zhǎng)N固定為128時(shí),算法所得信號(hào)集平均ASP和平均CP隨陣元數(shù)M的變化規(guī)律.圖9為陣元數(shù)M固定為4時(shí),算法所得信號(hào)集平均ASP和平均CP隨碼長(zhǎng)N的變化規(guī)律.

圖6　本文單個(gè)序列和其他序列峰值旁瓣電平的對(duì)比

圖7　本文單個(gè)序列和其他序列積分旁瓣電平的對(duì)比

圖8　陣元數(shù)M對(duì)平均ASP和平均CP的影響

從圖8可以看出,當(dāng)碼長(zhǎng)固定時(shí),信號(hào)集平均ASP和平均CP隨陣元數(shù)的增加而增大,并且當(dāng)陣元數(shù)增大到一定程度時(shí),平均ASP和平均CP趨于平穩(wěn).由圖9可得,當(dāng)陣元數(shù)固定時(shí),信號(hào)集平均ASP和平均CP與log2N近似成負(fù)線性函數(shù)關(guān)系.

圖9　碼長(zhǎng)N對(duì)平均ASP和平均CP的影響

4結(jié)論

針對(duì)MIMO雷達(dá)正交相位編碼信號(hào)設(shè)計(jì)算法效率較低、所得信號(hào)集相關(guān)性較差和積分旁瓣較高的問(wèn)題,本文提出一種改進(jìn)的GS算法.建立最小化信號(hào)集旁瓣能量的代價(jià)函數(shù),并將其轉(zhuǎn)化為適合求解的極小化問(wèn)題;將原始GS算法擴(kuò)展至多維,并改進(jìn)其物面和頻譜面的約束條件,以適應(yīng)本文優(yōu)化問(wèn)題的求解;最后，利用改進(jìn)的GS算法迭代優(yōu)化設(shè)計(jì)出信號(hào)集.仿真結(jié)果表明了本文算法的執(zhí)行效率和所得信號(hào)集的性能相比已有算法具有一定的優(yōu)勢(shì).但是改進(jìn)的GS算法增加了原始算法的維度和復(fù)雜度,這對(duì)算法的實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)不利,如何進(jìn)一步提高算法的效率將是下一步工作的重點(diǎn).

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杜曉林(1985-),男,山東人,西安電子科技大學(xué)信號(hào)與信息處理專(zhuān)業(yè)博士研究生,主要研究方向?yàn)镸IMO雷達(dá)發(fā)射波形設(shè)計(jì).

蘇濤(1968-),男,陜西人,工學(xué)博士,西安電子科技大學(xué)教授,博士生導(dǎo)師,主要從事雷達(dá)系統(tǒng)設(shè)計(jì)、雷達(dá)信號(hào)處理、高速實(shí)時(shí)信號(hào)處理及認(rèn)知雷達(dá).

張娜曼, 楊峰, 楊鵬. 低剖面雙頻雙圓極化平板縫隙天線的設(shè)計(jì)[J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào),2015,30(4):693-698. doi: 10.13443/j.cjors. 2014082501

ZHANG Naman, YANG Feng, YANG Peng. Design of a novel low-profile dual-band and dual circularly polarized planar slot antenna[J]. Chinese Journal of Radio Science,2015,30(4):693-698. (in Chinese). doi: 10.13443/j.cjors. 2014082501