一類非凸自治Hamilton系統的周期解

鄭 波，邱俊雄

(廣州大學數學與信息科學學院，廣東廣州 510006)

0 引言

考慮如下二階離散Hamilton系統周期邊值問題

其中Δ是向前差分算子［1］，定義為 Δq(n)=q(n+1)－q(n)，Δ2q(n)= Δ(Δq(n))，V∈C2(RN，R)，V'(0)=0，T≥2 是給定的整數，Z(1，T)={1，2，3，…，T}.

早在2003年，臨界點理論(包括極小極大方法與Morse理論等)就被成功地應用到差分方程邊值問題和周期解的研究中［2］.自此，許多學者都開始應用臨界點理論來研究差分系統解的存在性與多重性，獲得了一系列有意義的結果［3－8］.對于具有變分結構的差分邊值問題的研究，極小極大方法已經成為一個有力的工具.而臨界點理論的另一個重要部分——Morse理論是更深刻、更精細的臨界點理論，它在研究微分方程邊值問題以及許多數學物理問題中已經發揮了巨大的作用.Morse理論應該仍然是討論差分邊值問題的重要的工具，但運用Morse理論來處理差分邊值問題解的存在性與多重性的文獻仍舊很少，主要難點在于精確計算離散系統中變分泛函臨界點的臨界群.本文將給出一系列條件以保證系統(1)對應的變分泛函J的臨界點的臨界群可比較，從而得到其非常值周期解的存在性定理.這是運用Morse理論討論非凸自治Hamilton系統的非常數周期解的存在性的成功嘗試.

關于差分方程的有關知識參見文獻［1］.關于臨界點理論的相關知識參見文獻［9－10］.

1 主要結論

定理1 假設V∈C2(RN，R)，若:

(V1)V'(0)=0，V″(0)至少有一個特征值大于0;對于?q≠0，V'(q)≠0;

(V2)存在C＞0，使V'(q)≤C，?q∈RN;

(V3)V(q)→－∞，q→+∞，則系統(1)至少存在一個非常值T周期解.

為了證明定理1，需要下面一系列引理.

引理1 對?k∈Z(0，T)且k≠0，k≠T，有

引理 2 對?k，j∈，其中表示取其整數部分，則

引理3 對?q∈ET={q|q(n+T)=q(n)}，

其中a，ak，bk是RN中常向量.

注:由引理3，

其中

從而，q(n)=a+u(n)并由引理1、2有0，并且有下列不等式成立.

引理4 (Wirtinger Type不等式)對任意的u∈Y，

現在，在ET上定義泛函:

其中Π為反差分算子，定義為

這意味著Πu(n)∈ET.

證明 注意到對任意的u，v∈ET有

通過直接計算并注意到Πu(n)∈ET，有:

也即

從而引理結論成立.

引理 6［9－10］設V∈C2(RN，R)滿足(V2)、(V3)，則ψ在ET上滿足Palais-Smale條件.即若{(uk，ak)}?ET，存在M＞ 0，對于 ?k∈N，ψ(uk，ak)≤M且 ψ'(uk，ak)→0，k→∞，則{(uk，ak)}具有收斂子列.

證明 由ψ'(uk，ak)→0知存在K＞0，使當k＞K時有

由(V2)及Wirtinger不等式 Πuk易知必存在C1＞0，使當k＞K時有

又由ψ(uk，ak)的有界性知存在C2＞0使得

由(2)，(V2)及 Wirtinger不等式知存在C3＞0，使，由(V3)即知存在C4＞0，使得

故{(uk，ak)}在ET有界，由于ET是有限維的，從而(PS)條件成立.

引理 7［9－10］設X是 Banach 空間，f∈C1(X，R)滿足PS條件且有下界，則f必能達到極小值，即存在x0∈X，使f(x0)=infx∈Xf(x)，f'(x0)=0.

定義1［9－10］設()∈ET中ψ的臨界點，令A(n)=V″(Π(n)+a).定義二次型:

引理8 設a1≤a2≤…≤aN是V″(0)的特征值，則

由引理8及條件(V1)即有:

引理9 ψ 在(0，0)的Morse指標iT(0，0)＞0.

2 主要結論的證明

有了上述的準備工作，現證明定理1.

定理1的證明 由(V3)知ψ(u，a)在ET上有下界，故由引理 7 知存在()∈ET，使 ψ()=inf(u，a)∈ETψ(u，a)且iT()=0.又由引理9知iT(0，0)＞0，故()≠(0，0).從而Π+必是(1)的非常值T周期解，若不然，Δ(Π+)=0 也即=0;而由()≠(0，0)，故≠0.由于Π+=是(1)的解，故V'()=0，這與假設?q≠0，V'(q)≠0相矛盾，定理證畢.

［1］ AGARWAL R P.Difference equations and inequalities［M］.New York:Marcel Dekker，Inc，2000.

［2］ GUO Z，YU J.Existence of periodic and subharmonic solutions for second superlinear difference equations［J］.Sci China Ser A，2003，46:506-515.

［3］ AGARWAL R P，PERERA K，O'REGAN D.Multiple positive solutions of singular and nonsingular discrete problems via variational methods［J］.Nonlin Anal，2004，58(1/2):69-73.

［4］ ZHENG B.Multiple periodic solutions to nonlinear discrete Hamiltonian systems［J］.Adv Differ Equ，2007，Art.ID 41830，13.

［5］ ZHOU Z，YU J，GUO Z.Periodic solutions of higher-dimensional discrete systems［J］.Proc R Soc Lond Ser A Math Phys Engin Sci，2004，134:1013-1022.

［6］ ZHOU Z，YU J，CHEN Y.On the existence of gap solitons in a periodic discrete nonlinear Schrodinger equation with saturable nonlinearity［J］.Nonlinearity，2010，23(7):1727-1740.

［7］ ZHOU Z，YU J，CHEN Y.Periodic solutions of a 2nd-order nonlinear difference equation［J］.Sci China Math，2010，53(1):41-50.

［8］ SHI H.Boundary value problems of second order nonlinear functional difference equations［J］.J Differ Equ Appl，2010，16(9):1121-1130.

［9］ CHANG K C.Infinite dimensional Morse theory and multiple solution problems［M］.Boston:Birkhauser，1993.

［10］ MAWHIN J，WILLEM M.Critical point theory and hamiltonian systems［M］.New York:Springer-Verlag，1989.