逆向思維在數學解題中的應用探析

蘇尼來

（赤峰學院 學報編輯部，內蒙古 赤峰 024000）

思維是人對客觀事物的本質特點和內在規律的反映，是人的理性認識的過程.根據思維過程的指向性，可以將思維分為正向思維和逆向思維.正向思維是指在思考數學問題時，按通常思維的方向進行.而逆向思維是從已知問題的相反問題著手解決原問題，其采用了與正常的思維方式完全相反的一種思維方式，“反其道思之”.所以在數學解題過程中，我們也可以采用與常規思想不同的逆向思維思考問題，順推解決不了問題就考慮逆推，直接解決不了就考慮間接，正面不好討論的問題就討論其相反面.

逆向思維也是創造思維的一個組成部分.在日常數學教學中，逆向思維的培養對于提高學生靈活運用數學知識，分析問題，解決問題的能力有很大的幫助.其在數學解題或研究中時常會遇到，比如利用逆用定義，逆用公式和法則等方式解決問題，證明題中常用的反證法運用的也是這樣一種思維方式.本文試圖從以下幾個方面來闡述逆向思維在解題中的重要性.

1 逆用定義

在數學解題過程中定義的作用不可替代，它是解題的航標.而定義的逆用在解題過程中也時常遇見.只要我們重視定義的逆用，進行逆向思維，有些題目的解決會很容易.

例1 解不等式|x-2|<1.

分析 掌握了絕對值的概念后，我們知道，正數的絕對值是它本身,負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0.如|3|=3,|-3|=3.|0|=0.于是我們應想到絕對值等于3的數有幾個？而如果兩個數的絕對值相等，這兩個數可能是什么關系？如果是一個式子的絕對值，在去絕對值符號時可能出現什么樣的情況？

解 由題

當x-2>0即x>2時

有|x-2|=x-2

此時原不等式等價于x-2<1

解得x<3

而當x-2<0即x<2時

有|x-2|=2-x

此時原不等式等價于2-x<1

解得x>1

綜上可以得出原不等式的解為1

分析 若x是方程ax2+bx+c=0的根，則有ax2+bx+c=0.那么若ax2+bx+c=0，則x是方程ax2+bx+c=0的根，所以可以根據方程根定義的可逆性解答此題.

解 由已知條件可知

又因為

所以

因此由韋達定理可知

所以

例 3 設 f(x)=9x-3x+1，求 f-1(0)

分析 我們通常的思路是先求出f(x)=9x-3x+1的反函數，然后再把0代入求出f-1(0)的值，顯然這樣做過程有些煩瑣.但是如果逆用反函數定義，令f(x)=0那么解出x的值就是為f-1(0)的值.

解 由題 令f(x)=0，即9x-3x+1=0

解得x=1

所以根據反函數定義f-1(0)=1.

2 公式的逆應用

公式的運用在數學解題過程中是非常重要的一部分，恰當的運用公式也是一種數學能力.我們運用公式時大都習慣遵循著由左向右順序.可是有些問題不能運用公式正面解決，那么逆用公式也是重要的數學方法.

例1 計算20002-19992+19982-19972+……+22-1.

分析 觀察原式的式子特點可考慮逆用平方差公式，這樣會使運算過程簡化.

又

且

所以

因此

3 利用逆向思維求函數值域

在函數這一部分學習中，求函數的定義域和值域是很重要的內容，但有時候通過一些函數的性質定義域很容易求出，可是值域卻不容易得出.于是我們可以利用函數和它的反函數的定義域的關系,通過求反函數的定義域而求得反函數的值域.

其反函數的定義域為

4 反證法

一個數學命題的證明按其所證的對象是原命題還是其等價命題分為直接證法和間接證法.證明原命題稱為直接證法，證明原命題的等價命題稱為間接證法.反證法就是一種間接證法，是許多問題在用直接證法很難解決時常常被采用的證法.這是一個很好的思想，很好的體現了哲學中的“矛盾”思想，也就是任何一個矛盾都存在著對立統一的兩方面，一方的轉化或消失，矛盾便不存在.“反證法”在我們探索數學的性質過程中，應當引起我們高度重視，正面想不出，從事情的反面考慮，也許就很容易得到想要的結果.

反證法證明問題的基本程序：

1 假定所要證的結論不成立,而設命題的反面成立.

2 用反設做條件,通過已知的定理,定義進行正確的推理,導出矛盾

3 因為推理正確，所以產生矛盾的原因在于“反設”的錯誤.既然結論的反面不成立，那么結論成立.

例1 圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.

分析 假設兩條不是直徑的相交弦能互相平分，那么交點到兩條弦在圓上的點的距離相等，所以交點為圓心.又因為這兩條相交弦不是直徑，所以圓還有一個圓心，這樣同一個圓有兩個圓心，而這不可能，所以假設錯誤，即圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.

例 2 已知 a>0，b>0，a+b>2,求證中至少有一個小于2.

分析 本題顯然用一般的方法去思考會非常復雜，會出現三種需要考慮的結果.因此，我們不妨從反面著手，用反證法來證明.

則

因為

所以

因此

即

這與a+b>2矛盾，故假設不成立.

5 分析法

在解決數學問題過程中，從題設出發，根據已有的定理和公式推出要證的結論，稱為綜合法.但是在解題過程中，有一些問題的解決用綜合法很難得到解決，有些問題如果從條件出發往往會感到無從下手.但是若從命題的結論出發進行推理，最后達到已知條件，問題就很容易得到解決.這就是分析法.

分析法在不等式證明中的作用尤為突出.我們可以從求證的不等式出發，逐步尋找使不等式成立的充分條件，直到所需要的條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立.

例 求證3(1+a2+a4)≥(1+a+a2)2

證明 因為

而

所以原不等式兩邊可約去1+a+a2得

移項得2-4a+2a2≥0

即2(1-a)2≥0

因為2(1-a)2≥0成立，以上每一步都可逆，所以原不等式成立.

逆向思維在數學中有廣泛的應用，這就要求我們在以后的學習中.遇到難題時不要退縮，要大膽創新，加強逆向思維的培養.在數學中，培養可逆思維能力的途徑還有很多，還需要我們不斷的探索，從而真正從思想高度上理解自己所學的知識.

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