非高斯噪聲驅動下Logistic系統的隨機共振

張曉燕

（西安建筑科技大學 數學系，陜西 西安 710055）

1 引言

近年來，運用非線性物理學性質及應用揭示生物系統的復雜性引起一些研究者的關注.大量的研究表明，噪聲在非線性隨機動力系統中占據非常重要的角色，并得出許多有意義的結論，如：隨機共振、噪聲誘導相變及激活共振等[1-4].而噪聲的這些影響效應在生物系統的研究中也陸續被發現[5-6].

Logistic增長模型是研究在有限空間內生物種群數量變化規律的重要數學模型，因此該模型被廣泛應用于生物系統、基因模型以及人口動力學的研究中[7-9].Ai等[7]研究了高斯白噪聲作用下Logistic生長模型的統計性質，發現系統噪聲能誘導相變.之前的研究中，多數情況下主要考慮高斯噪聲對生物系統的影響.但是對小龍蝦與老鼠皮毛進行的實驗結果表明，在這些感官系統中存在著非高斯噪聲.雖然由非高斯噪聲激勵的非線性系統性質會更復雜，理論研究比較困難，但是更具現實意義，目前已經成為熱點研究問題[10-11].

以往對Logistic系統的分析主要討論的是高斯噪聲對系統的影響，而考慮噪聲為非高斯噪聲的研究較少.本文主要研究在非高斯噪聲激勵下，Logistic模型在加性噪聲與乘性噪聲之間為色關聯情形下的隨機共振問題.

2 Logistic系統的信噪比

考慮色關聯高斯白噪聲與非高斯噪聲驅動的Logistic模型，對應的隨機微分方程可描述為；

其確定性勢函數為，

其中a是細胞增長率，b是細胞衰減率.并且可以得到(2)式的一個穩態解x1=a/b和一個非穩態解x2=0.

AcosΩt為一弱周期信號，η(t)為高斯白噪聲，ξ(t)為非高斯噪聲.兩個噪聲之間是色關聯的，且ξ(t)滿足如下方程：

參數q表示ξ(t)偏離高斯分布的程度，若q→1，則非高斯噪聲ξ(t)就退化為噪聲強度為D，自關聯時間為τ的高斯色噪聲.(3)式中的ε(t)為高斯白噪聲，其統計性質為：

非高斯噪聲ξ(t)的性質可以描述為：

在滿足條件|q-1|=1的情況下，運用路徑積分法[10]可以得到：

其中有效噪聲關聯時間為，

將(7)式代入(3)式可以得到，

其中ε1(t)為高斯白噪聲，滿足的統計性質為：

上式中，D1=[2(2-q)/(5-3q)]2D為有效的噪聲強度，由(7)和(8)式可知，當 q→1時，有 τ1→τ和 D1→D.ε1(t)與系統的加性高斯白噪聲η(t)之間具有色關聯性，它們滿足如下統計性質：

其中D1和α分別表示乘性和加性噪聲強度.λ為ε1(t)和η(t)之間的關聯強度，τ2表示兩個噪聲之間的互關聯時間，當τ2→0，那么兩個噪聲之間則具有白關聯形式.參數q表示非高斯噪聲ξ(t)偏離高斯分布的程度.

根據Novikov理論[12]、統一色噪聲近似[1]以及(1)-(10)式，可以得到相應的近似?？耍绽士朔匠?FPE)為：

其中

根據方程(11)可以得到如下準穩態概率密度函數：

其中，N是方程(12)的歸一化常數，U軒(x)為廣義勢函數，其表達式如下：

當 4D1α-k2>0時，

當 4D1α-k2<0時，

其中

根據最速下降法，可以得到系統的平均首次穿越時間表達式為：

相應的逃逸率為：

根據兩態模型理論，在絕熱近似條件下可以得到系統信噪比的表達式，

當 4D1α-k2>0時，

當 4D1α-k2<0時，

3 系統的隨機共振

圖1 信噪比SNR作為乘性噪聲強度D的函數隨著噪聲互關聯強度λ變化的曲線

圖2 信噪比SNR作為加性噪聲強度α的函數隨著乘性噪聲自關聯時間τ變化的曲線

根據(18)式所給出的系統信噪比表達式，我們運用數值方法分析乘性噪聲強度D,加性噪聲強度α,乘性噪聲自關聯時間τ,兩個噪聲之間的互關聯時間τ2以及參數q對信噪比SNR的影響.

圖1給出了系統信噪比SNR作為乘性噪聲強度D的函數隨著噪聲互關聯強度λ變化的曲線.從圖上可以看出，當D的取值較小時，信噪比曲線隨著D的增加快速下降，之后隨著D的增加三條曲線都有一個極大值，即是一個隨機共振現象.而且極大值的位置隨著噪聲互關聯強度λ的增加而升高且右移.

圖2給出了系統信噪比SNR作為加性噪聲強度α的函數隨著乘性噪聲關聯時間τ變化的曲線.當乘性噪聲關聯時間較小時(如：τ=0.5),信噪比曲線隨著α的增加是單調減小.而當τ的值增大時，信噪比曲線隨著α的增加出現了隨機共振現象，并且共振峰的位置隨著τ的增加快速提升且左移.

圖3 信噪比SNR作為加性噪聲強度α的函數隨著噪聲互關聯時間τ2變化的曲線

圖3給出了系統信噪比SNR作為加性噪聲強度α的函數隨著噪聲互關聯時間τ2變化的曲線.圖中的信噪比曲線隨著加性噪聲強度的增加先是快速降低，形成一個抑制，而后出現一個極大值，即出現了隨機共振現象.當α的值較小時，信噪比曲線隨著噪聲互關聯時間τ2的增加而增加；當α的值較大時，信噪比曲線隨著噪聲互關聯時間τ2的增加而減小.

圖4 信噪比SNR作為噪聲互關聯時間τ2的函數隨著噪聲關聯強度λ變化的曲線

圖4描述了系統信噪比SNR作為噪聲互關聯時間τ2的函數隨著乘性與加性噪聲互關聯強度λ變化的曲線.由圖4可以看出，圖中所給三條曲線的變化趨勢是不同的.當λ=0.3時，信噪比曲線隨著噪聲互關聯時間的增加是單調減小的；而當λ=0.5時，信噪比曲線上出現了一個極大值，隨機共振現象發生；當λ=0.7時，信噪比曲線上抑制與共振并存.

本文考慮了色關聯高斯噪聲與非高斯噪聲對Logistic增長模型的影響.通過分析系統的信噪比表達式，得到如下結論：在乘性與加性噪聲強度的影響下信噪比曲線上抑制與隨機共振現象共存.在信噪比作為噪聲互關聯時間的函數隨著噪聲互關聯強度變化的參數平面上發現隨著噪聲互關聯強度的增加，信噪比曲線經歷了從單調減小到存在一個極大值再到極大值與極小值共存的變化過程，說明噪聲互關聯時間對信噪比的影響依賴于噪聲互關聯強度的值.

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