一類二階四元數方陣保左譜的線性映射表示*
2015-12-30 05:42:01
菏澤學院學報 2015年2期
?
一類二階四元數方陣保左譜的線性映射表示*
袁庚
(青島科技大學數理學院，山東青島266061)
摘要：設Q表示四元數集合，Mn(Q)表示n×n四元數矩陣的集合.對于四元數右線性映射Φ(A)=UAU-1或Φ(A)=UATU-1： M2(Q)→M2(Q)，若σl[ Φ (A) ] =σl(A)，則四元數酉陣U是實數矩陣.
關鍵詞：四元數方陣；保左譜；線性映射
引言
設R，C分別表示實數域與復數域，Q表示具有形式q=q0+ q1i + q2j + q3k∈Q的所有四元數集合，其中i2= j2= k2=-1，ij =-ji=k，jk =-kj=i，ki =-ik=j.對任意的q=q0+ q1i + q2j + q3k，=q0-q1i-q2j-q3k稱為q的共軛，記為.
設K=R，C或Q，元素屬于K的n×n階矩陣的全體記為Mn(K).對于A∈Mn(Q)，用、AT、A*分別表示四元數矩陣A的共軛矩陣、轉置矩陣、共軛轉置矩陣.若A*= A則稱A為四元數自共軛矩陣；若AA*= A*A=I，則稱A為四元數酉矩陣.用Un(Q)表示n階四元數酉陣的全體，SCn(Q)表示n階四元數自共軛矩陣的全體，GLn(Q)表示n階四元數可逆矩陣的全體，CM2(C)為所有元素為復數的2×2階矩陣.
對于A∈Mn(Q)，若存在μ∈Q與n維非零列矢量X使得AX=Xμ，稱μ為A的左特征值.稱A的左特征值的集合為A的左譜，記為σl(A).
Wood［1］利用代數拓撲的方法證明四元數矩陣A∈Mn(Q)時，σl(A)是非空的，并且指出可以通過解二次方程來計算2×2階四元數矩陣的左特征值.Huang和So［2］利用四元數二次方程給出了2×2階四元數矩陣左特征值的計算過程，同時刻畫了2×2階四元數矩陣的左譜.Zhang［3］給出下面例子說明四元數矩陣的左譜不是相似不變的.
A∈Mn(Q)，α1，α2∈Q，ζ1，ζ2∈Qn，
A(α1ζ1+α2ζ2)=Aα1ζ1+ Aα2ζ2
一般不再成立.但是
A(ζ1+ζ2)=Aζ1+ Aζ2，ζ1，ζ2∈Qn； A(ζq)=(Aζ) q，ζ∈Qn，q∈Q
總是成立的，滿足
A(ζ1+ζ2)=Aζ1+ Aζ2，ζ1，ζ2∈Qn與A(ζq)=(Aζ) q，ζ∈Qn，q∈Q
的矩陣A稱為四元數的右線性映射.
在過去的30年里，很多作者討論了線性保的問題以及線性保有關的問題，關于這方面的內容請參考文獻［4～7］.注意到四元數矩陣A的左譜不是酉不變的，而四元數矩陣作為線性變換的運算也不同于實數域和復數域上矩陣的運算，本文主要討論了一類四元數線性變換保左譜的具體形式.下面定理是本文的主要結果.
定理1設A∈M2(Q)，U∈U2(Q)，若四元數右線性映射Φ(A)=UAU*或Φ(A)=UATU*： M2(Q) →M2(Q)滿足σl[ Φ (A) ] =σl(A)，則四元數酉陣U是實矩陣.
1 定理1的證明
1.1輔助引理
引理1[2 ]設，如果bc=0則σl(A) ={ a，d } ；如果bc≠0，則：
σl(A) ={ a + bλ：λ2+ b-1(a-d)λ-b-1b =0}
引理2[2 ]設，則σl(A)是無限的當且僅當bc≠0，b-1(a-d)∈R，b-1c∈R，且.特別的，如果σl(A)是無限的.
定義1 Φ： M2(Q)→M2(Q)稱為四元數右線性映射，如果它滿足：
引理3對于任意的A∈CM2(C)，U∈U2(Q)，若四元數右線性映射Φ(A)=UAU*滿足σl[ Φ (A) ] =σl(A)，則U具有以下形式：
證明當滿足命題條件且Φ(A)=UAU*時，確定U的表示.
因為U∈U2(Q)，設，由酉陣性質可得：
因為Φ(A)=UAU*，取，則：
顯然，σl(A)中的元素是無限的，由σl[ Φ(A)] =σl(A)，若方程有無限解，由引理2，則：
由a-112a21∈R且a21=-a12，a-112=∈R可以得到，即，從而a12∈R.又由，a12∈R，得到a11-a22∈R.
由酉陣性質可得：
若假設s3= 0，則由s1+ s23s2= 0可以得到s1= 0，從而有，這與U是酉陣矛盾，假設不成立，舍去.
當s3≠0時，由s3(1 + s1s2)=0，得到1 + s1s2= 0；由s1+ s23s2= 0，得到s2s3=±1.
當s2s3= 1時，由s1+ s23s2= 0，得到s1=-s3，繼而得到：
由U是酉陣，得到u211+ s21u211= 1，由1 + s21＞0得到u211＞0，即u11∈R，可以得到U的形式為：
當s2s3=-1時，由s1+ s23s2= 0得到s1= s3，繼而得到：
由U是酉陣，得到-u211-s21u211= 1，由1 + s21＞0，得u211＜0，繼而得到U的形式為：
1.2定理1的證明
令A=A1+ A2j，A1，A2j∈C，由定義1可以得到：
Φ(A1+ A2j) =Φ(A1) +Φ(A2j) =Φ(A1) +Φ(A2) j
若σl[ Φ (A) ] =σl(A)，由引理3，則：
Φ(A1)=UA1U*；Φ(A2)=UA2U*
顯然Φ(A2) j≠Φ(A2j)，舍去.
類似可證明Φ(A)=UATU*的情況.
2 結語
本文在M2(Q)→M2(Q)的條件下刻畫了右線性映射Φ保左譜的具體形式，這個結果，有利于提高復雜四元數矩陣左譜的計算效率，同時也有益于更一般四元數矩陣左譜問題的研究.
參考文獻：
［1］Wood R M W.Quaternionic eigenvalues［J］.Bull，London Math.Soc.，1985，17：137-138.
［2］Huang Liping，Wasin S.On Left Eigenvalues of a Quaternionic Matrix［J］.Linear Algebra and Its Application，2001，323：105-116.
［3］Zhang Fuzhen.Quaternions and Matrices of Quaternions［J］.Linear Algebra and its Applications，1997，251：21-57.
［4］Li C K，Tsing N K.Linear preserver problems： a brief introduction and some special techniques［J］.Lin.Alg.，1994，162-164： 217-235.
［5］Dokovic D Z，Li C.K，Overgroups of some classical linear groups with applications to linear preserver problems［J］.Lin，Alg.，1994，197-198：31-61.
［6］Guterman A，Li C K，Seml P.Some general techniques on linear preserver［J］.Lin.Alg.，2003，315：61-81.
［7］Li C K，Pierce S.Linear preserver problems［J］.Amer.Math.2001，108：591-605.
Linear Maps Preserving Left Spectrum of 2×2Quaternion Matrices
YUAN Geng
(Department of Mathematics，Qingdao University of Science and Technology，Qingdao 266042，China)
Abstract：Let Q be the set of quaternion numbers and Mn(Q) the set of n×n quaternion matrices.If quaternion right linear Maps Φ(A)=UAU-1or Φ(A)=UATU-1： M2(Q)→M2(Q) preserving Left Spectrum，then quaternion unitary matrix is real.
Key words：quaternion matrices； left spectrum； linear maps
作者簡介：袁庚(1985-)，男，山東曹縣人，在讀碩士研究生，研究方向：代數學及其應用.
*收稿日期：2015-03-02
文章編號：1673-2103(2015) 02-0006-04
中圖分類號：O151.24
文獻標志碼：A
