帶諾依曼邊界的非局部問題非平凡解的存在性

帶諾依曼邊界的非局部問題非平凡解的存在性

周靜,殷紅燕

(中南民族大學 數學與統計學學院，武漢 430074)

摘要主要考慮一類帶諾依曼邊界的分數階薛定諤方程的非平凡解的存在性，通過直接計算我們得到非局部算子的分部積分公式和格林公式.該問題具有變分結構.通過驗證該問題滿足山路引理條件，證明了該問題存在非平凡解的結論．

關鍵詞諾依曼問題；分數階非線性薛定諤方程；非局部法向導數；非平凡解

收稿日期2014-10-27

作者簡介周靜(1982-)，女，講師，研究方向：非線性偏微分方程，E-mail:zhouj@mail.scuec.edu.cn

基金項目中央高?；究蒲袠I務費專項資金資助項目(CZQ13017)

中圖分類號O175文獻標識碼A

The Existence of Nontrivial Solution of a Nonlocal

Problem with Neumann Boundary

ZhouJing,YinHongyan

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

AbstractThe main purpose of this paper is to investigate the existence of nontrivial solution of a Neumann type problem for fractional Schrodinger equations.Through direct computation, we obtain the integration by parts formula and Green′s identity.The problem has a variational structure.Through verifying the problem satisfying the Mountain pass theorem, we prove the existence of nontrivial solution of this problem．

KeywordsNeumann problem；fractional nonlinear Schrodinger equation；nonlocal normal derivative；nontrivial solution

本文主要考慮如下分數階非線性方程：

(1)

這里Cn,s是對應于分數階拉普拉斯算子(-Δ)s的標準化常數，滿足：

在本文給出主要結果之前，先來回顧關于經典條件下的一些工作，奇異的帶諾依曼邊界條件的次臨界指標的非線性薛定諤方程如下：

(2)

1記號與預備知識

分數階微分方程是許多工程和物理問題中的抽象形式，在分形和多孔介質的彌散、電解化學、半導體物理、凝聚態物理、粘彈性系統、生物數學及統計學等學科中有重要的應用，從而使得分數階微分方程的研究得以飛速發展. 分數階微積分理論主要研究任意階數的微分、積分算子的特性及應用，其發展幾乎與整數階微積分理論同步，是整數階微積分理論的延伸，而分數階微分算子與整數階微分算子最主要的區別在于：分數階微分算子為非局部算子而整數階微分算子為局部算子.

分數階拉普拉斯算子中的s,s∈(0,1)是一個帶有|ξ|2s的偽梯度算子，精確的說：

(-Δ)su=F-1(|ξ|2sF(u)(ξ)),

(3)

其中F為傅里葉變換.設u∈H2s(Rn),那么由(3)式所定義的分數階拉普拉斯算子與下面的公式等價[2]：

其中Cn,s是單位化常數.

記γ(x,y)=Cn,s|x-y|-(n+2s).定義：

注意到K(x,y)=-K(y,x)，且2K(x,y)·K(y,x)=γ(x,y).

x∈Rn.

通過直接計算不難得出[1],s滿足：

定義3對應于分數階拉普拉斯算子的交互算子N定義為：

x∈Ωc.

由以上定義我們可以推導出如下高斯型公式和分部積分公式：

∫Ωv(-Δ)sudx=∫R2nΩcsu·svdydx-

本文所考慮的問題具有變分結構，令：

定義空間Hs(Ω)={u:Rn→R可測，且u,vHs(Ω) <∞}，它為Hilbert空間,范數為‖·‖2=·,·Hs(Ω) ，詳見文獻[1]中命題3.1 g=0,ε=1 的情形．由索伯列夫定理可知，在Hs(Ω)上可以定義等價范數：

∫ΩV(x)u2dx.

顯然問題(1)的弱解為如下泛函的臨界點：

若u∈Hs(Ω)是問題(1)的弱解，則對任意的v∈Hs(Ω)，有：

∫R2n(Ωc)2(su·sv)(x,y)dxdy+

∫ΩV(x)uvdx-∫Ω|u|p-1uvdx=0.

(4)

由格林公式有：

∫R2n(Ωc)2(su·sv)(x,y)dxdy=

∫Ωv(-Δ)sudx-∫ΩcvN(su)dx,

最后一步具體由文獻[2]可得.從而(4)式變成：

∫Ω((-Δ)su+V(x)u-|u|p-1u)vdx-

∫ΩcvNsudx=0.

2主要結果及證明

引理1I的臨界點是問題(1)的解.

證明對任意的v∈Hs(Ω),有：

I(u+tv)=I(u)+t(∫R2n(Ωc)2(su·sv)(x,

y)dxdy+∫ΩV(x)uvdx-∫Ω|u|p-1uvdx)+

p∫Ω|u+θtv|p-1v2dx).

其中θ∈(0,1)，所以：

∫R2n(Ωc)2(su·sv)(x,y)dxdy+∫ΩV(x)uvdx-

∫Ω|u|p-1uvdx=u,vHs(Ω) -∫Ω|u|p-1uvdx.

從而可知若u∈Hs(Ω)是I的臨界點,那么u∈Hs(Ω)是問題(1)的弱解.

引理2I滿足PS緊性條件.

從而有‖un‖有界.

顯然有：

I′(un)-I′(u),un-uHs(Ω) →0,n→∞.

由索伯列夫不等式可得：

引理3I滿足山路引理結構.

證明由引理1可知泛函：

由于p>1，可找到r>0使得：

由山路引理[6]可知，I有臨界點，從而問題(1)有非平凡解.

參考文獻

[1]Dipierro S, Ros-Oton V, Valdinoci E. Nonlocal problems with Neumann boundary conditions[EB/OL]. [2014-07-11]. http://arxiv.org/abs/1407.3313v3.

[2]Nezza Eleonora Di, Palatucci G, Valdinoci E.

Hitchhiker′s guide to fractional Sobolev spaces[J]. Bull Sci Math, 2012,136:521-573.

[3]Lin C S, Ni W M, Takagi I. Large amplitude stationary solutions to a chemotaxis system[J]. J Differential Equations, 1988,72(1):1-27.

[4]Ambrosetti A, Malchiodi A, Ni W M. Singularly perturbed elliptic equations with symmetry: existence of solutions concentrating on spheres I[J]. Comm Math Phys, 2003,235(3):427-466.

[5]Ambrosetti A, Rabinowitz P H. Dual variational methods in critical point theory and applications[J]. J Funct Anal,1973,14:349-381.

[6]Brezis H,Coron J M, Nirenberg L. Free vibrations for a nonlinear wave equation and a theorem of P. Rabinowtiz[J].Comm Pure Appl Math,1980,33:667-689.